相似三角形知識的專項復(fù)習(xí)及練習(xí)題1213

1、第1頁共5頁相似三角形知識點(diǎn)與經(jīng)典題型相似三角形知識點(diǎn)與經(jīng)典題型一、基礎(chǔ)知識(一).比例1.第四比例項、比例中項、比例線段；2.比例性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：bcaddcba???acbcbba???2（2）合比定理：ddcbbadcba?????（3）等比定理：)0.(??????????????ndbbandbmcanmdcba????3.黃金分割：如圖，若，則點(diǎn)P為ABPBPA??2線段AB的黃金分割點(diǎn)其中≈0.618即512APAB

2、??AB簡記為：512APBCABAP???512?長短＝＝全長注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形4平行線分線段成比例定理(二)相似1.定義:我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.2.相似多邊形的特性:相似多邊的對應(yīng)邊成比例對應(yīng)角相等.3.相似三角形的判定?（1）平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。?（2）如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。

3、?（3）如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似。?（4）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。4.相似三角形的性質(zhì)?（1）對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等.?（2）相似三角形的周長比等于相似比.?（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方.?（4）相似三角形的對應(yīng)邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比.5.三角形中位線定義:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三

4、角形中位線性質(zhì):三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。6.梯形的中位線定義：梯形兩腰中點(diǎn)連線叫做梯形的中位線.梯形的中位線性質(zhì):梯形的中位線平行于兩底并且等于兩底和的一半.7.相似三角形的應(yīng)用:１、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例（或等積式）；２、利用三角形相似，求線段的長等3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。(三)位似:位似位似位似::如果兩個圖形不僅是相似圖形，而

5、且是每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形。這個點(diǎn)叫做位似中心.這時的相似比又稱為位似比.位似位似位似性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比二、下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：二、下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：1如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、

6、“反A共角共邊型”、“蝶型”）（3）如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：（1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD

7、AB，CD2=ADBD，BC2=BDAB；EADCBEADCBADCB（3）滿足1、AC2=ADAB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB（4）當(dāng)或ADAB=ACAE時，△ADE∽△ACBADAEACAB?三、三、相似三角形中有關(guān)證相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法（解）題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：、證明四條線段成比例的常用方法：(1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)

8、備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系2、證明題常用方法歸納：、證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通過“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共各有三個不同的字母，并且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個三角形相似，然后由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.(3)找中間比：若沒有三角形(

9、即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。①②)(為中間比nmnmdcnmba??nnnmdcnmba???③)(nmnmnnmmnmdcnmba?????或(4)添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)

10、構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問題：常用處理方法是將“一份”看著k對于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）對于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來的辦法處理。經(jīng)典例題透析經(jīng)典例題透析1.1.如圖在44的正方形方格中，△ABC和△DEF

11、的頂點(diǎn)都在長為1的小正方形頂點(diǎn)上（1）填空：∠ABC=______，BC=_______（2）判定△ABC與△DEF是否相似？2.如圖所示，D、E兩點(diǎn)分別在△ABC兩條邊上，且DE與BC不平行，請?zhí)钌弦粋€你認(rèn)為適合的條件_________，使得△ADE∽△ABC3.如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走2米到達(dá)E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，ＱＱＱＱＱＱＱＱＱＱＱＱＱＱＱＱ

12、ＱＱＱＱＱＱEE124Ｑ2(1)EABCD(3)DBCAE(2)CDEABBAPEABC(D)EADCB_E_C_A_B_D第3頁共5頁24.如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E為BC中點(diǎn)，延長AC、DE相交于點(diǎn)F，求證＝BCACDFAF25.如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，連結(jié)BE交AC于F，求證AF＝FC26.已知：如圖，F(xiàn)是四邊形ABCD對角線AC上一點(diǎn)，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD求

13、證：＋＝1ABAECDCG27.如圖，BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，過D作DG⊥BC于G，分別交CE及BA的延長線于F、H，求證：（1）DG2＝BGCG；（2）BGCG＝GFGH28.如圖，∠ABC＝∠CDB＝90，AC＝a，BC＝b（1）當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時，△ABC∽△CDB？（2）過A作BD的垂線，與DB的延長線交于點(diǎn)E，若△ABC∽△CDB求證四邊形AEDC為矩形（自己完成圖形）29.如圖，在矩形ABCD中

14、，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，連結(jié)FC（AB＞AE）（1）△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；（2）設(shè)＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，BCAB證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，說明理由30.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6cm，CA＝8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2cm的速度沿CA、AB運(yùn)動到點(diǎn)B，則從C點(diǎn)出發(fā)多少秒時，可使S△BCP＝S△ABC？4

15、131.如圖，小華家（點(diǎn)A處）和公路（L）之間豎立著一塊35m長且平行于公路的巨型廣告牌（DE）廣告牌擋住了小華的視線，請在圖中畫出視點(diǎn)A的盲區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路設(shè)為BC一輛以60kmh勻速行駛的汽車經(jīng)過公路段BC的時間是3s，已知廣告牌和公路的距離是40m，求小華家到公路的距離（精確到1m）32.某老師上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考題：如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于O，試問：△AOB和△

16、DOC是否相似？某學(xué)生對上題作如下解答：答：△AOB∽△DOC理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，AODOOCOB?∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC請你回答，該學(xué)生的解答是否正確？如果正確，請在每一步后面寫出根據(jù)；如果不正確，請簡要說明理由33.如圖：四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90，①過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點(diǎn)E、F，求證：；②如圖：若過BD上另一點(diǎn)E作BD的垂DADFCD??2線交BA、B

17、C延長線于F、G，又有什么結(jié)論呢？你會證明嗎？ABCDFEABCDFEG34.陽光通過窗口照射到室內(nèi)在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)(如圖所示)已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m窗口高AB=1.8m求窗口底邊離地面的高BC.35.（1）如圖一，等邊△ABC中，D是AB上的動點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連結(jié)AE。求證：AEBC；（2）如圖二，將(1)中等邊△ABC的形狀改成以BC為底邊的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△AB