奧數(shù)專題_定義新運算(帶答案完美排版)

1、小學奧數(shù)專題之定義新運算1定義新運算定義新運算我們學過的常用運算有：＋、－、、等.如：2＋3＝523＝6都是2和3，為什么運算結(jié)果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應法則不同.可見一種運算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應方法，對應法則不同就是不同的運算.當然，這個對應法則應該是對任意兩個數(shù)，通過這個法則都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應.只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“

2、＋”，“－”，“”，“”運算不相同.我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算”.例1、設a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3a－2b，①求3△2，2△3；②這個運算“△”有交換律嗎？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④這個運算“△”有結(jié)合律嗎？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定義新運算這類題的關鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運算的本質(zhì)是：用運算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解：①3△2＝33－22＝9－4＝52△3＝

3、32－23＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”沒有交換律.③要計算（17△6）△2，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝317－26＝39；再計算第二步39△2＝339－22＝113，所以（17△6）△2＝113.對于17△（6△2），同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，6△2＝36－22＝14，其次17△14＝317－214＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也沒有結(jié)合律.⑤因為4△b＝34－2b＝12－2b，那么12－2b＝2，

4、解出b＝5.例2、定義運算※為a※b＝ab－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③這個運算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝57－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝75－（7＋5）＝35－12＝23.②要計算12※（3※4），先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝34－（3＋4）＝5，再計算第二步12※5＝125－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.對于（

5、12※3）※4，同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，12※3＝123－（12＋3）＝21，小學奧數(shù)專題之定義新運算3＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交換律）所以（a?b）?c＝a?（b?c），因此“?”滿足結(jié)合律.說明：“?”對于普通的加法不滿足分配律，看反例：1?（2＋3）＝1?5＝15＋1＋5＝11；1?2＋1?3＝12＋1＋2＋13＋1＋3＝5＋7＝12；因此1?（2＋3）≠1?2＋1?3.例4、有一個數(shù)學運算符號“?”，使

6、下列算式成立：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通過對2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25這幾個算式的觀察，找到規(guī)律：a?b＝2a＋b，因此7?3＝27＋3＝17.例5、x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“”及“△”如下：xy=mxny，x△y=kxy，其中m、n、k均為自然數(shù)，已知12=5，（23）△4=64，求（1△2）3的值.分析：我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2）3的

7、值，首先我們要計算1△2，根據(jù)“△”的定義：1△2=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值，k值求出后，l△2的值也就計算出來了.我們設1△2=a，(1△2）3=a3，按“”的定義：a3=ma3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a3的值.因此要計算（1△2）3的值，我們就要先求出k、m、n的值.通過12=5可以求出m、n的值，通過（23）△4=64求出k的值.解：因為12=m1n2=m2n，所以有m2n=5.又因為m、

8、n均為自然數(shù)，所以解出：①當m=1，n=2時：（23）△4=（1223）△4=8△4=k84=32k有32k=64，解出k=2.②當m=3，n=1時：（23）△4=（3213）△4=9△4=k94=36k有36k=64，解出k=，這與k是自然數(shù)矛盾，因此m=3，n=1，k=971971這組值應舍去.所以m=l，n=2，k=2.（1△2）3=（212）3=43=1423=10.在上面這一類定義新運算的問題中，關鍵的一條是：抓住定義這一點不