重慶科創(chuàng)學(xué)院微分方程電子教案第1節(jié)

1、重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院授課方案（教案）重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院授課方案（教案）課名：高等應(yīng)用數(shù)學(xué)（下）教師：?jiǎn)绦癜舶嗉?jí)：編寫(xiě)時(shí)間：授課時(shí)數(shù)課題：6.1微分方程的基本概念2節(jié)教學(xué)目的及要求：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的階，微分方程的通解、特解及微分方程的初始條件等。教學(xué)重點(diǎn)：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件教學(xué)難點(diǎn)：微分方程的通解概念的理解。教學(xué)步驟及內(nèi)容：一、兩個(gè)實(shí)例一、兩個(gè)實(shí)例例1一條曲線通過(guò)點(diǎn)，且在該曲線

2、上任一點(diǎn)處的切線的斜(12))(yxM率為橫坐標(biāo)平方的倍，求這條曲線的方程。3解：設(shè)曲線方程為。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)滿)(xyy?)(xyy?23dyxdx?(1)同時(shí)還滿足以下條件：時(shí)，1?x2?y(2)把式兩端積分，得(1)即23yxdx??3yxC??(3)其中是任意常數(shù)。C把條件代入式，得，(2)(3)1?C由此解出并代入式，得到所求曲線方程：C(3)??314yx??旁批欄：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫

3、做微分方程的階。例如，方程是一階微分方程；方程是二階微分方程方程。又如，方程(1)(5)??xyyyyy2sin5121044???????????是四階微分方程。2微分方程的解、通解與特解若將某個(gè)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程，能使微分方程成為恒等式，則稱此函數(shù)為微分方程的解。例如，函數(shù)和都是微分方程的解；函數(shù)和都是微分(3)(4)(1)(8)(9)方程的解。(5)如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且所含相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階

4、數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。例如，函數(shù)是(3)方程的解，它含有一個(gè)任意常數(shù)，而方程是一階的，所以函數(shù)是(1)(1)(3)方程的通解。又如，函數(shù)是方程的解，它含有兩個(gè)任意常數(shù)，而(1)(8)(5)方程是二階的，所以函數(shù)是方程的通解。(5)(8)(5)由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性，必須確定這些常數(shù)的值。為此，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況提出確定這些常數(shù)的條件。例如，例1中的條件，例2中的條件，便是這