數(shù)學(xué)金融學(xué)第二章遠(yuǎn)期1

1、長沙理工大學(xué)備課紙長沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第二章遠(yuǎn)期第1頁共24頁第二章第二章遠(yuǎn)期2.12.1遠(yuǎn)期及其價(jià)格和價(jià)值遠(yuǎn)期及其價(jià)格和價(jià)值一、基本概念一、基本概念(P13)1.遠(yuǎn)期合約遠(yuǎn)期合約定義1.1甲乙雙方在(目前)時(shí)刻簽訂一份合約:在將來給定時(shí)刻以(當(dāng)前)設(shè)定價(jià)格成交t一種物品這樣一份合約稱為上的一個(gè)遠(yuǎn)期(合約)(fward(contract)).合約中成交的物品??tT稱為標(biāo)的資產(chǎn)(underlyingasset)或標(biāo)的物品(und

2、erlyingcommodity)所設(shè)定的成交價(jià)格稱為交割價(jià)格(deliveryprice)也稱為遠(yuǎn)期價(jià)格(fwardprice)記為(只依賴于和).時(shí)刻稱為到??qtTtTT期時(shí)刻(maturity).在到期時(shí)刻將成為標(biāo)的資產(chǎn)的買方與賣方分別稱為多頭(longposition)與空T頭(shtposition).例1.2(P13)甲乙簽訂了一份在3個(gè)月以后以交割價(jià)格為8.23人民幣元美元(匯率為8.23:1)標(biāo)的資產(chǎn)為美元其數(shù)量為10

3、萬元的買賣合約(遠(yuǎn)期).其中甲方為買方(多頭)乙方為賣方(空頭).假如在到期日美元的價(jià)格漲到了8.30元?jiǎng)t甲方獲利10000008.30－10000008.23=7000(人民幣元)乙方損失為7000(人民幣元)假如在到期日美元的價(jià)格跌到了8.30元?jiǎng)t乙方獲利10000008.23－10000008.20=3000(人民幣元)甲方損失為3000(人民幣元).▲2.遠(yuǎn)期合約的價(jià)值遠(yuǎn)期合約的價(jià)值從例2.1看出當(dāng)雙方敲定交割價(jià)格后標(biāo)的資產(chǎn)到期

4、價(jià)格上漲對多頭有利而對空頭不利標(biāo)的資產(chǎn)到期價(jià)格下跌對空頭有利對多頭不利.所以多空雙方如何敲定交割價(jià)格對雙方損益(payoff也稱為收益或回報(bào))至關(guān)重要.假設(shè)簽約雙方均是理性的(不愿意吃虧)、對稱的(資產(chǎn)、能力等均對等)那么得到遠(yuǎn)期價(jià)格確定原則為:在簽約時(shí)刻遠(yuǎn)期本身的(期望)價(jià)值為0.設(shè)為標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻處即期價(jià)格.由遠(yuǎn)期價(jià)格確定原則可知??????PsstT?s(1.3)????qtTPT?由于確定遠(yuǎn)期價(jià)格時(shí)雙方可利用的信息是到時(shí)刻為止的

5、所有市場信息但沒有時(shí)刻??qtTtt后的信息那么上述遠(yuǎn)期價(jià)格確定原則對如何確定遠(yuǎn)期價(jià)格不方便.于是我們需要從所??qtT謂“遠(yuǎn)期的價(jià)值”來考慮如何確定遠(yuǎn)期價(jià)格.定義1.1.1稱(1.4)??fstT??????????????????rTsrTsPTqtTPTqsTeqsTqtTe??????????????????????為當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)時(shí)時(shí)間上遠(yuǎn)期合約在時(shí)刻的價(jià)值其中表r??tT??stT?????PsqsT?示遠(yuǎn)期的多頭在時(shí)刻

6、的損益.??stT?當(dāng)利率(常數(shù))時(shí)由第一章(1.17.1)知時(shí)間上遠(yuǎn)期合約在時(shí)刻的價(jià)??rrtc????tT??stT?值為.(1.5)??fstT??????TsrdqsTqtTe??????????說明:長沙理工大學(xué)備課紙長沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第二章遠(yuǎn)期第3頁共24頁定理1.2假設(shè)市場無套利則時(shí)間上無收益證券的遠(yuǎn)期合約在時(shí)刻的價(jià)值為??tT??stT?(1.9)??fstT??????rTsPsqtTe????證明??fst

7、T??????????????????1.8(1.4)rTsrTsrTtrTsqsTqtTePsePtee??????????????????.▲??????rTsPsqtTe????證券組合價(jià)值相等原則相等:如果在時(shí)間(為初始時(shí)刻)上的兩個(gè)證券組合在到時(shí)??tTt刻的價(jià)值相等那么在市場無套利條件下這兩個(gè)證券組合在時(shí)刻的價(jià)值也應(yīng)該相T??stT?等.下面我們從這個(gè)角度出發(fā)來討論時(shí)間上遠(yuǎn)期合約在時(shí)刻的價(jià)值.??tT??stT???fstT

8、假定在(初始)時(shí)刻有兩個(gè)重要證券組合:??0tT?組合1:多頭有一份在時(shí)間上遠(yuǎn)期合約外加數(shù)額為的現(xiàn)??tT????0fttT?????rTtqtTe??金其中為該遠(yuǎn)期的價(jià)格.??qtT組合2:價(jià)值為的一股標(biāo)的證券.??Pt討論:在時(shí)刻假定組合1中現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資則多頭將擁有資金恰好可以按遠(yuǎn)Tr??qtT期合約購買一股標(biāo)的證券(此時(shí)市價(jià)為)故此時(shí)組合1的價(jià)值(不是遠(yuǎn)期合約的價(jià)值)為??PT.于是在時(shí)刻組合1價(jià)值等于組合2價(jià)值()??P

9、TT??PT在任何時(shí)刻組合1的價(jià)值為??stT?｛在時(shí)刻遠(yuǎn)期合約的價(jià)值｝＋｛在時(shí)間上現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資收益｝s??tsr???fstT????????????rTtrstrTsqtTeefstTqtTe?????????????組合2的價(jià)值為.在市場無套利條件下時(shí)刻這兩個(gè)組合的價(jià)值應(yīng)該相等即??Pss.▲(1.10)??fstT??????rTsqtTePs????顯然(1.10)與(1.9)是等價(jià)的.當(dāng)時(shí)由知(1.10)就可化為(1

10、.8).st???fttT0?例1.4(P17)假定一個(gè)還有9個(gè)月將到期的遠(yuǎn)期合約標(biāo)的資產(chǎn)是一年期的貼現(xiàn)債券遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為1000元.假設(shè)9個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)(連續(xù)復(fù)利)年利率為6%債券的現(xiàn)價(jià)為960元.求在市場無套利條件下在當(dāng)前時(shí)刻遠(yuǎn)期(多頭)的價(jià)值.s解=0.75.Ts?912???0.06960rPs????1000qtT?由(1.9)知當(dāng)前時(shí)刻在市場無套利條件下遠(yuǎn)期(多頭)的價(jià)值s元??fstT??????rTsPsqtTe?

11、???0.060.7596010004e?????從而在當(dāng)前時(shí)刻空頭的價(jià)值為元.▲s4?三、己知現(xiàn)金收益的證券三、己知現(xiàn)金收益的證券(P17)設(shè)一份時(shí)間(為初始時(shí)刻)上遠(yuǎn)期合約中標(biāo)的資產(chǎn)是在時(shí)間內(nèi)在??tTt??tT??1nn????個(gè)時(shí)刻有已知收益的證券(例如在時(shí)間內(nèi)有附息的債券).又設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)且以連??tTr續(xù)復(fù)利計(jì)算投資所獲得資金或貼現(xiàn)值.又假定為遠(yuǎn)期合約有效期內(nèi)的現(xiàn)金收益總額的現(xiàn)值??It(貼現(xiàn)率為無風(fēng)險(xiǎn)利率).在此假定