一個(gè)工科博士生對所受的大學(xué)數(shù)學(xué)教育的反思

1、一個(gè)工科博士生對所受的大學(xué)數(shù)學(xué)教育的反思一個(gè)工科博士生對所受的大學(xué)數(shù)學(xué)教育的反思高等幾何（仿射，射影幾何等）對于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，計(jì)算機(jī)視覺等研究是非常重要的基礎(chǔ)知識(shí)。我是國內(nèi)工科畢業(yè)，現(xiàn)在美國讀計(jì)算機(jī)視覺的博士。以前覺得自己的數(shù)學(xué)很好，其實(shí)只是會(huì)考試，會(huì)計(jì)算，會(huì)一些小技巧而已。并不真懂?dāng)?shù)學(xué)。真正使我在數(shù)學(xué)方面有了一些真切理解的，是我在深入的思考了線性代數(shù)和高等幾何之后的事情了。其實(shí)微積分是比較簡單的，而且學(xué)習(xí)的思路可以沿襲中國中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)

2、習(xí)思路。但是線性代數(shù)（以及泛函分析）和高等幾何其中蘊(yùn)涵的方法，思路跟我們傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容有較大的區(qū)別了。如果僅僅滿足于會(huì)做微積分，會(huì)解題，那并不困難，但是要真正理解數(shù)學(xué)，可能需要對線性代數(shù)和高等幾何下一番功夫了。我這里僅僅是就一個(gè)一般工程師所需要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而言的，對于特定的研究，可能還需要有一些專門的數(shù)學(xué)知識(shí)。對于數(shù)學(xué)專業(yè)的，我覺得你有足夠的時(shí)間去思考，揣摩數(shù)學(xué)到底本質(zhì)是什么了。1、線性代數(shù)，國內(nèi)的教學(xué)，以前一上來就是行列式，有很多復(fù)雜的

3、行列式計(jì)算題目，其實(shí)這根本不反映線性代數(shù)的根本的思想。我覺得線性代數(shù)從應(yīng)用方面，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)解方程組，包括矛盾方程組（最小二乘法）；在實(shí)際中最有用的是一般的矩陣（m！＝n），而不是方陣。就數(shù)學(xué)思想方面來說，向量空間，線性空間的概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)觀念，其重要性超過微積分。對工程實(shí)踐中大量存在的線性問題，線性代數(shù)，數(shù)值線性代數(shù)，是最重要的工具。數(shù)值線性代數(shù)的重要性超過數(shù)值分析。2、高等幾何，主要是向大家揭示了多種不同公理體系并行存在的可能

4、性。非歐幾何對一個(gè)人對數(shù)學(xué)的理解是非常必要的沖擊。光知道歐氏幾何，不知道射影幾何，非歐幾何，對公理化數(shù)學(xué)的理解必然保留在一個(gè)低的水平上。希爾波特的幾何公理一書本身沒有用到多少高深的概念，但是其反映的是現(xiàn)代公理化思想。射影幾何本身在數(shù)學(xué)研究內(nèi)，已經(jīng)死掉了，正如，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)家不會(huì)成天研究平面歐式幾何的難題一樣，盡管有些初中生就能看懂的平面幾何題目可能難倒不少數(shù)學(xué)家。但是射影幾何在應(yīng)用上，尤其是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)上，是個(gè)基礎(chǔ)。基于上面的分析，我覺得

5、一個(gè)真正希望打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人，應(yīng)該相當(dāng)注意代數(shù)，幾何的繼續(xù)學(xué)習(xí)，不要停留在滿足于知道一個(gè)名詞，會(huì)算，要真正去思考，領(lǐng)會(huì)這些東西的實(shí)質(zhì)。關(guān)于數(shù)學(xué)歷史學(xué)習(xí)的一些建議：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不了解歷史，很容易自卑。看著教科書上的嚴(yán)謹(jǐn)和美輪美奐，一個(gè)人很容易懷疑自己的智力。但是當(dāng)你了解了歷史上數(shù)學(xué)發(fā)展過程的種種曲折之后，你就知道，其實(shí)這些都是經(jīng)過整理，包裝后的結(jié)果。歷史上一些革命性的觀念，多是樸素的。最初的發(fā)現(xiàn)者，未必就清楚的明了其發(fā)現(xiàn)的價(jià)值。而很多有價(jià)值

6、的觀念，來自于科學(xué)，工程的實(shí)踐。了解一個(gè)觀念，一個(gè)理論產(chǎn)生，發(fā)展，修繕的歷史，對于真正的理解他，對于一個(gè)人真正進(jìn)入“角色”，有極其重要的意義。如果光是看教科書，而不看數(shù)學(xué)歷史的話，就如同歷史研究者光看正史，不看野史一樣，掌握的東西很可能是不完整，不全面的。夠了。我個(gè)人認(rèn)為，把泛函分析引入工科課程是一個(gè)比較合適的辦法。泛函分析深刻揭示微積分線性代數(shù)和幾何的內(nèi)在關(guān)系和內(nèi)在本質(zhì)。在德國，工科博士，如機(jī)械專業(yè)、計(jì)算機(jī)專業(yè)，泛函分析都是必修課（我

7、本人在寫量子數(shù)據(jù)方向的論文的時(shí)候也要用到如“希爾伯特空間上的空間算子”等概念）。樓主人為分析不如代數(shù)美，我個(gè)人也認(rèn)為值得商榷。分析研究的對象是“連續(xù)”的，而線性代數(shù)往往傾向于研究“離散”的東西。我可以在這里做一個(gè)或許不太恰當(dāng)?shù)恼f明，我們把一個(gè)向量的維度從一個(gè)自然數(shù)n拓展到無限的阿爾列夫1的時(shí)候，它就變成一個(gè)連續(xù)函數(shù)，而把一個(gè)算子，如積分算子看成是一個(gè)無窮維的矩陣。我們就發(fā)現(xiàn)其實(shí)，線性代數(shù)可以“分析化”，而“分析”也可以“線性代數(shù)化”。這

8、種一而二，二而一的思想，不是恰好體現(xiàn)出了兩者之美，數(shù)學(xué)之美嗎？再說關(guān)于抽象和直觀。也許是工科學(xué)生比較喜歡直觀，而理科學(xué)生喜歡抽象。但是我個(gè)人認(rèn)為，兩者也是應(yīng)該合二為一?；蛘撸姨嵋粋€(gè)小小的建議，工科學(xué)生盡量讓自己多“抽象”一點(diǎn)，而理科學(xué)生盡量讓自己多“直觀”一點(diǎn)。工科學(xué)生強(qiáng)調(diào)直觀，就導(dǎo)致了往往只觀察現(xiàn)象，而不思考本質(zhì)；而理科學(xué)生又往往只在抽象的空中樓閣中洋洋自得，自以為掌握了一切真理。我以前曾經(jīng)和不少工科計(jì)算機(jī)博士生接觸過，我發(fā)現(xiàn)他們當(dāng)

9、中很多人連一些最基本的概念都沒有弄懂，如什么是“模型”，什么是“對象”。我一問他們，他們就說“比如正態(tài)分布是一個(gè)模型”，一個(gè)公司可以看成“一個(gè)對象”，單純地把模型理解為“正態(tài)分布”，或者把對象就理解為“一個(gè)公司”，體現(xiàn)了缺乏對這些抽象概念本質(zhì)的理解。而一些理科學(xué)生，尤其是哲學(xué)博士生一談到什么，就是滿口的“公理定義定理”，而談不到實(shí)處，給人一種夸夸其談的感覺。以計(jì)算機(jī)科學(xué)為例，各位工科同學(xué)不妨思考一下，到底什么是“模型”“對象”“實(shí)體”屬