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1、高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)高中函數(shù)對(duì)稱性總結(jié)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材上就函數(shù)的性質(zhì)著重講解了單調(diào)性、奇偶性、周期性,但在考試測(cè)驗(yàn)甚至高考中不乏對(duì)函數(shù)對(duì)稱性、連續(xù)性、凹凸性的考查。尤其是對(duì)稱性,因?yàn)榻滩纳蠈?duì)它有零散的介紹,例如二次函數(shù)的對(duì)稱軸,反比例函數(shù)的對(duì)稱性,三角函數(shù)的對(duì)稱性,因而考查的頻率一直比較高。以筆者的經(jīng)驗(yàn)看,這方面一直是教學(xué)的難點(diǎn),尤其是抽象函數(shù)的對(duì)稱性判斷。所以這里我對(duì)高中階段所涉及的函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)做一個(gè)粗略的總結(jié)。一、對(duì)稱性的概念及常
2、見函數(shù)的對(duì)稱性一、對(duì)稱性的概念及常見函數(shù)的對(duì)稱性1、對(duì)稱性的概念①函數(shù)軸對(duì)稱:如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折,直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合,則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱,該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。②中心對(duì)稱:如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合,則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱,該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心。2、常見函數(shù)的對(duì)稱性(所有函數(shù)自變量可取有意義的所有值)①常數(shù)函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱,其中
3、直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心,與該直線相垂直的直線均為它的對(duì)稱軸。②一次函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱,其中直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心,與該直線相垂直的直線均為它的對(duì)稱軸。③二次函數(shù):是軸對(duì)稱,不是中心對(duì)稱,其對(duì)稱軸方程為x=b(2a)。④反比例函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱,其中原點(diǎn)為它的對(duì)稱中心,y=x與y=x均為它的對(duì)稱軸。⑤指數(shù)函數(shù):既不是軸對(duì)稱,也不是中心對(duì)稱。⑥對(duì)數(shù)函數(shù):既不是軸對(duì)稱,也不是中心對(duì)稱。⑦冪函數(shù):顯然冪函數(shù)中
4、的奇函數(shù)是中心對(duì)稱,對(duì)稱中心是原點(diǎn);冪函數(shù)中的偶函數(shù)是軸對(duì)稱,對(duì)稱軸是y軸;而其他的冪函數(shù)不具備對(duì)稱性。⑧正弦函數(shù):既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱,其中(kπ,0)是它的對(duì)稱中心,x=kππ2是它的對(duì)稱軸。⑨正弦型函數(shù):正弦型函數(shù)y=Asin(ωxφ)既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱,只需從ωxφ=kπ中解出x,就是它的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)當(dāng)然為零;只需從ωxφ=kππ2中解出x,就是它的對(duì)稱軸;需要注意的是如果圖像向我總結(jié)為:設(shè)(xy)為原曲線圖像
5、上任一點(diǎn),如果(xy)也在圖像上,則該曲線關(guān)于x軸對(duì)稱;如果(xy)也在圖像上,則該曲線關(guān)于y軸對(duì)稱;如果(xy)也在圖像上,則該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;如果(yx)也在圖像上,則該曲線關(guān)于y=x對(duì)稱;如果(yx)也在圖像上,則該曲線關(guān)于y=x軸對(duì)稱。2、抽象函數(shù)的對(duì)稱性猜測(cè)①軸對(duì)稱例6如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x1)=f(4x),求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4),正中間2.5,從而該函數(shù)關(guān)于x=2.5對(duì)稱
6、)例7如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(x),求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。(按上例一樣的方法可以猜出對(duì)稱軸為x=0,可見偶函數(shù)是特殊的軸對(duì)稱)例8如果f(x)為偶函數(shù),并且f(x1)=f(x3),求該函數(shù)的所有對(duì)稱軸。(因?yàn)閒(x1)=f(x3),按上例可以猜出對(duì)稱軸x=1,又因?yàn)樗?為周期,所以x=k是它所有的對(duì)稱軸,k∈Z)②中心對(duì)稱例9如果函數(shù)y=f(x)滿足f(3x)f(4x)=6,求該函數(shù)的對(duì)稱中心。(因?yàn)樽宰兞考悠饋頌?時(shí)函
7、數(shù)值的和始終為6,所以中點(diǎn)固定為(3.5,3),這就是它的對(duì)稱中心)例10如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)f(x)=0,求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心。(按上例一樣的方法可以猜出對(duì)稱中心為(0,0),可見奇函數(shù)是特殊的中心對(duì)稱)例11如果f(x)為奇函數(shù),并且f(x1)f(x3)=0,求該函數(shù)的所有對(duì)稱中心和對(duì)稱軸。(由周期性定義知周期為4,又f(x1)=f(x3),從而f(x1)=f(x3),按上例知x=1為對(duì)稱軸,所以x=12n為對(duì)稱軸,(
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