高一寒假(清北班)資料1(函數(shù)的周期性)

1、第1頁共9頁專題一：函數(shù)的周期性專題一：函數(shù)的周期性（一）函數(shù)的周期性（一）函數(shù)的周期性對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內的每一個值時，都有)(xfTx，則為周期函數(shù)周期函數(shù)，為這個函數(shù)的一個周期周期。若為一個周期，則)()(xfTxf??)(xfTT也為周期。若周期函數(shù)的正周期中有一個最小者，這個周期就叫最小正周期最小正周期。()nTnZ?)(xf（1）已知函數(shù)對任意實數(shù)，都有，則是的一個周期。()fxx()()fxmf

2、x???2m()fx證明：因為，所以，，()()fxmfx???(2)(())()()fxmfxmmfxmfx????????所以是以為周期的周期函數(shù)。()fx2m（2）已知函數(shù)對任意實數(shù)，都有，則是的一個周期。()fxx()()fxmfxm???2m()fx證明：因為，令，則，于是()()fxmfxm???xmt??2xmtm???對于恒成立，所以是以為周期的周期函數(shù)。(2)()ftmft??tR?)(xf2m（3）已知函數(shù)對任意實數(shù)

3、，都有，則是的一個周期。()fxx1()()1()fxfxmfx????2m()fx證明：由已知，所以1()11()1()(2)(())()1()1()11()fxfxmfxfxmfxmmfxfxfxmfx?????????????????是以為周期的周期函數(shù)。()fx2m（4）已知函數(shù)對任意實數(shù)，都有，則是的一個周期。()fxx1()()1()fxfxmfx?????4m()fx證明：由已知，于1()(2)(())1()fxmfxmf

4、xmmfxm??????????1()11()1()11()fxfxfxfx????????1()fx??是，所以是以為周期的周期函數(shù)。1(4)()(2)fxmfxfxm?????()fx4m如：還有“”、“”等也是周期函數(shù)。1()()fxmfx??1()()fxmfx???（二）函數(shù)的對稱性與周期性及關系：（二）函數(shù)的對稱性與周期性及關系：（1）函數(shù)對于定義域上的任意，如果都有或，)(xfx(2)()faxfx??()()faxfax

5、???則函數(shù)關于直線對稱，反之也成立。)(xfxa?（2）函數(shù)對于定義域上的任意，如果都有或)(xfx(2)()faxfx???，()()faxfax????則函數(shù)關于點對稱，反之也成立。)(xf(0)a（3）一般地，函數(shù)有兩種及以上的對稱性時，則函數(shù)是周期函數(shù)。（詳見補充中的定理3）第3頁共9頁（1）求證：是周期函數(shù)；()fx（2）已知，求的值。(3)2f?(2004)f變式訓練變式訓練（1）設偶函數(shù)對任意，都有，且當時，)(xfRx

6、?1(3)()fxfx???[32]x???，則的值是（）()2fxx?(113.5)f（A）（B）（C）（D）27?2715?15（2）已知，定義，則?)(xf?????????]121[)1(2)210[21xxxx)()())(()(11xfxfxffxfnn???其中（）20081()5f?ABCD515354522函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性與綜合應用：函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性與綜合應用：例2（1）定義在上的函數(shù)的圖象關于點成

7、中心對稱，對任意的實數(shù)R()fx3(0)4?都有，且，則的x3()()2fxfx=(1)1f=(0)2f=(1)(2)(3)(2008)ffff值為（）ABC0D121（2）已知是定義在上的且以2為周期的偶函數(shù)，當時，()fxR01x??，如果直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)的值是（2()fxx?yxa??()yfx?a）A.B.C.或D.以上答案都不對02()akkZ??2ak?12()4akkZ???（3）已知函數(shù)()fx是定義域為R