函數(shù)周期性分類解析以及習(xí)題練習(xí)

1、 共 14 頁 第 1 頁 函數(shù)周期性分類解析 函數(shù)周期性分類解析 一．定義：若 T 為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一 x，使 ) ( ) ( x f T x f ? ? 恒成立 則 f(x)叫做周期函數(shù)，T 叫做這個函數(shù)的一個周期。 二．重要結(jié)論 1、 ? ? ? ? f x f x a ? ? ，則 ? ? y f x ? 是以T a ? 為周期的周期函數(shù)； 2、 若函數(shù) y=f(x)滿足 f(x+a)=-f(x)(a>0),則

2、 f(x)為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。 3、 若函數(shù) ? ? ? ? f x a f x a ? ? ? ，則 ? ? x f 是以 2 T a ? 為周期的周期函數(shù) 4、 y=f(x)滿足 f(x+a)= ? ? x f1(a>0),則 f(x)為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。 5、若函數(shù) y=f(x)滿足 f(x+a)= ? ? x f1 ? (a>0),則 f(x)為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。 6

3、、 1 ( ) ( ) 1 ( )f x f x a f x? ? ? ?，則 ? ? x f 是以 2 T a ? 為周期的周期函數(shù). 7、 1 ( ) ( ) 1 ( )f x f x a f x? ? ? ? ?，則 ? ? x f 是以 4 T a ? 為周期的周期函數(shù). 8、 若函數(shù)y=f(x)滿足 f(x+a)= ) ( 1) ( 1x fx f?? (x∈R， a>0),則f(x)為周期函數(shù)且4a是它的一個周期。9

4、、 若函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a,x=b(b>a)都對稱,則 f(x)為周期函數(shù)且 2（b-a）是它的一個周期。 10、函數(shù) ( ) y f x ? ? ? x R ? 的圖象關(guān)于兩點 ? ? 0 , A a y 、 ? ? 0 , B b y ? ? a b ? 都對稱，則函數(shù)( ) f x 是以 ? ? 2 b a ? 為周期的周期函數(shù)； 11、 函數(shù) ( ) y f x ? ? ? x R ? 的圖象關(guān)于 ?

5、? 0 , A a y 和直線 x b ? ? ? a b ? 都對稱， 則函數(shù) ( ) f x 是以 ? ? 4 b a ? 為周期的周期函數(shù)； 12、若偶函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a 對稱，則 f(x)為周期函數(shù)且 2 a 是它的一個周期。 13、若奇函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a 對稱，則 f(x)為周期函數(shù)且 4 a 是它的一個周期。 14、若函數(shù) y=f(x)滿足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(

6、a>0),則 f(x)為周期函數(shù),6a 是它的一個周期。 共 14 頁 第 3 頁 4.（05朝陽模擬）已知函數(shù) ( ) f x 的圖象關(guān)于點 3 ,0 4? ? ? ? ? ? ?對稱，且滿足 3 ( ) ( ) 2 f x f x ? ? ? ，又 ( 1) 1 f ? ? ， (0) 2 f ? ? ，求 (1) (2) (3) f f f ? ? ? … (2006) f ? 的值 高三數(shù)學(xué)恒成立問題的類型及求解策略

7、 恒成立問題， 涉及到一次函數(shù)、 二次函數(shù)的性質(zhì)、 圖象， 滲透著換元、 化歸、 數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法， 有利于考查學(xué)生的綜合解題能力， 也為歷年高考的一個熱點?，F(xiàn)將高中數(shù)學(xué)中常見的恒成立問題進行歸類和探討。 一、 一次函數(shù)型： 給定一次函數(shù) y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有 f(x)>0， 則根據(jù)函數(shù)的圖象 （直線）可得上述結(jié)論等價于 ?。? ? ???0 ) (0m fa或ⅱ）?

8、 ? ???0 ) (0n fa亦可合并定成? ? ???0 ) (0 ) (n fm f同理，若在[m,n]內(nèi)恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范圍。 二、 二次函數(shù)型 若二次函數(shù) y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于 0 恒成立，則有? ? ?? ??00 a若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。 例 2．定義在 R 上的減函數(shù) ? ? x f ，如果不等式組 ? ? ?