2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、—1—第十章第十章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分(第一部分)(第一部分)曲線積分曲線積分Ⅰ、對弧長的曲線積分(第一型曲線積分)、對弧長的曲線積分(第一型曲線積分)一、對弧長的曲線積分的概念一、對弧長的曲線積分的概念1定義定義.?????????niiiiLsfdsyxf10)(lim)(???????????niiiiisfdszyxf10)(lim)(2物理意義物理意義表示線密度為表示線密度為的弧段的弧段的質(zhì)量的質(zhì)量.???Ld

2、syxM)()(yx?ABL?二、對弧長的曲線積分的性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的性質(zhì)1線性性質(zhì):線性性質(zhì):.????Ldsyxgyxf)]()([??????LLdsyxgdsyxf)()(2可加性:若可加性:若,則,則.21LLL???Ldsyxf)(????21)()(LLdsyxfdsyxf3的弧長:的弧長:.L??Ldss4單調(diào)性:設在單調(diào)性:設在上,上,.則.L)()(yxgyxf????LLdsyxgdsyxf)()(5與積分

3、曲線的方向無關性:與積分曲線的方向無關性:???BAABdsyxfdsyxf)()(三、對弧長的曲線積分的計算方法三、對弧長的曲線積分的計算方法方法:化為定積分計算(方法:化為定積分計算(注:下限:下限上限)上限)(1)若)若;則;則)()(:tytxL????)(????t.?Ldsyxf)(???????????22)()()]()([dtttttf(2)若)若;則;則)(:xyL??)(0Xxx??.?Ldsyxf)(????Xx

4、dxxxxf20)(1)]([??(3)若)若;則;則):?r(rL?)(21?????—3—數(shù)中又含有中又含有,故可將,故可將代入,從而簡化被積函代入,從而簡化被積函22432yxxy??2243yx?124322??yx數(shù),然后再計算;對于積分數(shù),然后再計算;對于積分,由于,由于關于關于軸(軸(軸)對稱,函數(shù)軸)對稱,函數(shù)關于關于?Lxyds2Lyxxy2(或關于(或關于)為奇函數(shù),故有)為奇函數(shù),故有.xy02??Lxyds解由奇

5、偶對稱性可知由奇偶對稱性可知,所以,所以02??Lxyds???Ldsyxxy)432(22???Ldsxy)122(.????LLdsxyds122aa12120???例3求,其中,其中.???????????LdsyxI22)12()21(1:22??yxL分析分析此題若用選取參數(shù)方程計算,將會很麻煩。注意到積分曲線是此題若用選取參數(shù)方程計算,將會很麻煩。注意到積分曲線是,122??yx而由輪換對稱性可知:而由輪換對稱性可知:,由奇

6、偶對稱性知:,由奇偶對稱性知:.故本題故本題???LLdsydsx220)(???Ldsyx有如下簡單的解法。有如下簡單的解法。解????????????LdsyxyxI)()454(22????????????Ldsyxyx)()454(22????Ldsyx)454(22???????LLdsdsyxyx222245)82(.??????245)8121(Lds??????4152545例4設曲線設曲線是球面是球面與平面與平面的交線

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