第十章排列、組合、概率與統(tǒng)計(jì)

1、第1頁(yè)第2頁(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題（第十章排列、組合、概率與統(tǒng)計(jì)）排列與組合1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理:完成一件事，有n類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第2類(lèi)辦1m法中有種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=2mnmn1n2n3…nM種不同的方法2.分步計(jì)數(shù)原理:完成一件事需要分成n個(gè)步驟做第一步有種不同的方法做第二步有種1m2m不同的方法……做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1n2n3…nM

2、種不同的方nm法注：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來(lái)推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來(lái)直接解題。它們的共同點(diǎn)都是把一個(gè)事件分成若干個(gè)分事件來(lái)進(jìn)行計(jì)算。只不過(guò)利用分類(lèi)計(jì)算原理時(shí)，每一種方法都獨(dú)立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，重在分“類(lèi)”，類(lèi)與類(lèi)之間具有獨(dú)立性和并列性；利用分步計(jì)數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性.比較復(fù)雜的問(wèn)題，常先分類(lèi)再分步先分類(lèi)再分步。3.⑴排列的定義

3、：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.⑵排列數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.其中mnAn，m∈，并且m≤nN?⑶排列數(shù)公式:!(1)(1)()()!mnnAnnnmmnnmNnm????????≤當(dāng)m=n時(shí)，排列稱(chēng)為全排列，排列數(shù)為=記為n!且

4、規(guī)定nnA(1)21nn??????O!=1.注：!(1)!!nnnn????11???mnmnnAA4.⑴組合的定義:從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.⑵組合數(shù)的定義:從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)表示.mnC⑶組合數(shù)公式:.(1)(1)!!!()!mmnnmmAnnnmnCAmmnm????????規(guī)定，

5、其中m，n∈N，m≤n.01nC?注:排列是“排成一排”，組合是“并成一組”前者有序而后者無(wú)序.排列與組合⑷組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下nm個(gè)元素，因此從n個(gè)mnmnnCC??不同元素中取出nm個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的.②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n1個(gè)不同元素中取m個(gè)11mmmnnnCCC????元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再

6、取m1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元1?mn素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類(lèi)原理有.mnmnmnmnCCC11????5解排列、組合題的基本策略與方法(Ⅰ)排列、組合問(wèn)題幾大解題方法：①直接法②排除法③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問(wèn)題”④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法

7、主要解決“元素不相鄰問(wèn)題”.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能nnA()mmn?mmA取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排

8、成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法.mmnnAA(Ⅱ)排列組合常見(jiàn)解題策略：①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問(wèn)題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問(wèn)題插空處理策略；⑥不相鄰問(wèn)題插空處理策略；⑦定序問(wèn)題除法處理策略；⑧分排問(wèn)題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略.6.二項(xiàng)式定理:⑴對(duì)于，這個(gè)公nN

9、??00110()nnnrnrrnnnnnnabCabCabCabCab???????????式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的展開(kāi)式.()nab?注:展開(kāi)式具有以下特點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)；1?n系數(shù)：依次為組合數(shù)210nnrnnnnCCCCC??且每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開(kāi)式依a的降冪排列，b的升冪排列展開(kāi).⑵二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：的展開(kāi)式第r1為.()nab?1(0)rnrrrnTCabrnrZ????≤≤⑶二項(xiàng)式系

10、數(shù)的性質(zhì).①二項(xiàng)展開(kāi)式中的叫做二項(xiàng)式系數(shù)(012)rnCrn??第5頁(yè)第6頁(yè)從集合的角度看，由事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集I中由事A件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.概率4.相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.注:獨(dú)立事件是對(duì)任意多個(gè)事件來(lái)講，而互斥事件是對(duì)同一實(shí)驗(yàn)來(lái)講的多個(gè)事件，且這多個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立

11、事件.⑴兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B).證明：設(shè)甲試驗(yàn)共有N1種等可能的不同結(jié)果，其中屬于A發(fā)生的結(jié)果有m1種，乙試驗(yàn)共有N2種等可能的不同結(jié)果，其中屬于B發(fā)生的結(jié)果有m2種，由于事件A與B相互獨(dú)立，N1，m1與N2，m2之間是相互沒(méi)有影響的，那么，甲、乙兩試驗(yàn)的結(jié)果搭配在一起，總共有N1N2種不同的搭配，顯然這些搭配都是具有等可能性的.另外，考察屬于事件AB的試驗(yàn)結(jié)果，顯然，

12、凡屬于A的任何一種試驗(yàn)的結(jié)果同屬于B的任何一種乙試驗(yàn)的結(jié)果的搭配，都表示A與B同時(shí)發(fā)生，即屬于事件AB，這種結(jié)果總共有m1m2種.因此得：P(AB)＝＝∴P(AB)＝P(A)P(B)2121NNmm??11Nm22Nm注:當(dāng)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之和，這時(shí)我們也可稱(chēng)這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件.⑵推廣:如果事件相互獨(dú)立那么12nAAA?1212()()()()nnPAAAPAPAPA?????⑶獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n

13、次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱(chēng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率：.(注:此式為二項(xiàng)式[(1P)P]n展開(kāi)式的第k1項(xiàng).)()(1)kknknnPkCPP???注:①一般地，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與與B，與也都相互獨(dú)立.BAAB②對(duì)任何兩個(gè)事件都有()()()()PABPAPBPAB?????概率例11.10張獎(jiǎng)券中只有

14、3張有獎(jiǎng)，5個(gè)人購(gòu)買(mǎi)，至少有1人中獎(jiǎng)的概率是()(A)(B)(C)(D)310112121112例12.2006年6月7日甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12.假定在這天兩地是否下雨相互之間沒(méi)有影響那么甲、乙都不下雨的概率是()(A)0.102(B)0.132(C)0.748(D)0.982例13.從1，2，……，9這九個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是()(A)(B)(C)(D)959421112

15、110例14.袋中有紅球、黃球、白球各1個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽取3次，則下列事件中概率是的是()89(A)顏色全相同(B)顏色不全相同(C)顏色全不同(D)顏色無(wú)紅色例15.袋中裝有白球和黑球各3個(gè)，從中任取2球，在下列事件中：(1)恰有1個(gè)白球和恰有2個(gè)白球；(2)至少有1個(gè)白球和全是白球；(3)至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球；(4)至少有1個(gè)白球和全是黑球。是對(duì)立事件的為()(A)(1)(B)(2)(C)(3)(D)(4)例1

16、6.甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p1，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是了()(A)(B)(C)(D)21pp)1()1(1221pppp???211pp?)1)(1(121pp???例17.某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程從班級(jí)中任選兩名學(xué)生他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)概率例18.某商場(chǎng)開(kāi)展促銷(xiāo)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，搖出的中獎(jiǎng)號(hào)碼是8，2，5，3，

17、7，1，參加抽獎(jiǎng)的每位顧客從0～9這10個(gè)號(hào)碼中任意抽出六個(gè)組成一組，若顧客抽出的六個(gè)號(hào)碼中至少有5個(gè)與搖出的號(hào)碼相同(不計(jì)順序)即可得獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率是________(用數(shù)字作答)例19.某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響.有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.930.1；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是10.14.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_

18、_(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).例20.A有一只放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球，z個(gè)黃球的箱子（x、y、z≥0，且），B有一只放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黃球的箱子，兩人各自從自己6???zyx的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時(shí)為A勝，異色時(shí)為B勝.（1）用x、y、z表示B勝的概率；（2）當(dāng)A如何調(diào)整箱子中球時(shí)，才能使自己獲勝的概率最大？隨機(jī)變量與統(tǒng)計(jì)1.隨機(jī)試驗(yàn):⑴試驗(yàn)如果滿足下述條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明

19、確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.它就被稱(chēng)為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).⑵如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量可以按一定次序一一列出這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.注:若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量：設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為：??21ixxxξ取每一個(gè)值的概率，則表稱(chēng)