浙大學(xué)生建模比賽范例二

1、SARSSARS的傳染和防疫模型的傳染和防疫模型混合005張婧婧3003001103李黎3003001098王莉娜3003001099混合004孫易一摘要摘要為了預(yù)測(cè)SARS傳染趨勢(shì)的穩(wěn)定性，在不考慮人群具有遷移和人群具有出生和死亡的條件下應(yīng)用房室系統(tǒng)理論建立模型。并利用微分方程的穩(wěn)定性理論討論解的穩(wěn)定性，得出其閥值的表達(dá)式。并利用衛(wèi)生部公布的北京的SARS統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，從而估測(cè)出隔離措施對(duì)抑制SARS傳播的影響。二問題問題傳

2、染性非典型肺炎是中國(guó)廣東省首先發(fā)現(xiàn)的一種新的疾病。最早的病例出現(xiàn)在2002年11月中旬。目前已有17個(gè)國(guó)家報(bào)告發(fā)現(xiàn)了SARS病例。傳染性非典型肺炎是一種傳染性強(qiáng)的呼吸系統(tǒng)疾病，目前除在國(guó)內(nèi)部分地區(qū)有病例發(fā)生外，在世界其他多個(gè)國(guó)家和地區(qū)也有出現(xiàn)。世界衛(wèi)生組織將傳染性非典型肺炎稱為嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SevereAcuteRespiratySyndromes），簡(jiǎn)稱ＳＡＲＳ。ＳＡＲＳ是指主要通過近距離空氣飛沫和密切接觸傳播的呼吸道傳染病，臨

3、床主要表現(xiàn)為肺炎，在家庭和醫(yī)院有顯著的聚集現(xiàn)象。作為傳染病，SARS有著極強(qiáng)的傳染力，為了有效控制SARS的蔓延，人們給予了高度的重視，采取了特殊的防疫措施，即對(duì)任何疑似病例進(jìn)行隔離觀察，這在一定程度上起到了切斷病源的作用。根據(jù)這一點(diǎn)，我們建立了如下的模型。目的是通過這個(gè)模型，分析隔離防疫措施在SARS控制中所起到的作用，并且討論隨著時(shí)間的推移SARS是否會(huì)在廣大地區(qū)蔓延。三問題重述問題重述先讓我們看一組數(shù)據(jù)：中國(guó)內(nèi)地近期公布的資料中國(guó)

4、內(nèi)地近期公布的資料4月25日感染共2601例死115例4月24日感染共2422例死110例4月23日感染共2305例死106例4月21日感染共2001例死92例4月20日感染共1807例死79例4月15日感染共1435例死64例在這種情形下我們建立一個(gè)SARS的傳染和防疫模型這個(gè)模型以時(shí)間為參變量以受影響的人數(shù)為應(yīng)變量從這個(gè)模型我們可以對(duì)SARS的傳播和影響的范圍進(jìn)行預(yù)測(cè)對(duì)采取有效的防御措施以抑止病情的發(fā)展和形勢(shì)的過大有一定的實(shí)際意

5、義.我們主要以北京為例，根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算出相關(guān)的一些參數(shù)，再利用方程的求解結(jié)果，著重討論隔離措施對(duì)減小傳染系數(shù)的作用。四問題分析問題分析這個(gè)問題實(shí)際上是一個(gè)房室系統(tǒng)問題，可以把居民分為四類，第一類是正常易被感染者，設(shè)t時(shí)刻總數(shù)為S（t），第二類是傳染病患者，指已經(jīng)確診的在t時(shí)刻這類人口總數(shù)為I(t)第三類是恢復(fù)者，以R(t)來(lái)表示t時(shí)刻這類人口總數(shù)，包括病愈而具有免疫力者，已經(jīng)得病死亡的人，第四類是前期病人，總數(shù)用E（t）表示。我們認(rèn)

6、為所有的SARS染病者都經(jīng)過了前期階段在這個(gè)階段也是具傳染能力的但是由于采取了隔離措施使得他們對(duì)易感人dEdtdIdtdRdt??????????????????????R)R(3)其中?=??????????????????SS稱為傳染力八模型結(jié)果的理論分析模型結(jié)果的理論分析顯然系統(tǒng)(3)的零點(diǎn)是其平衡點(diǎn)故系統(tǒng)(2)有平衡點(diǎn)(1000)該平衡點(diǎn)即為系統(tǒng)(2)的疾病消除平衡點(diǎn).現(xiàn)在我們來(lái)求解系統(tǒng)(2)的其它平衡點(diǎn)令(3)的右端都等于0可

7、以用I表示其它所有變量我們現(xiàn)在來(lái)尋求方程的平衡點(diǎn)我們現(xiàn)在來(lái)尋求方程的平衡點(diǎn)：令方程的右端等于0，用I表示其它變量，則有：R??????????????????????????????S=將以上式子帶入方程R（t）＋I(xiàn)（t）＋G（t）＋S（t）＝1中則有I滿足以下方程??????????????????（4）)(1)(1(1)???????????????????????????????H)其中H=???????????(5)我們把H定義