拓?fù)?012

1、拓?fù)湓囶}拓?fù)湓囶}（共（共80分）請(qǐng)將答案寫在本頁及背面。分）請(qǐng)將答案寫在本頁及背面。一敘述定義（20分，每問4分）：拓?fù)湫再|(zhì)、可分空間、鄰域基、疏集、相對(duì)緊、二證明題（60分，每題10分）1.證明：的子集族是若干個(gè)球形鄰域的并集滿足拓?fù)涔怼??Xd?dOUU??2.舉例說明是連續(xù)雙射推不出連續(xù)。3.證明擴(kuò)充直線緊致。f1f?RR????4.證明的連通分支是單點(diǎn)集。5.證明不存在連續(xù)映射將映成Q??11???11?6.設(shè)都是的開集，且設(shè)

2、是上的一條弧，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在12XXX12.XXX??cX中。證明非空。12XX??112cXX??一個(gè)點(diǎn)是一條弧的端點(diǎn)一條弧是一條簡(jiǎn)單弧（自身無交點(diǎn)）一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域的邊界上一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域的內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域的外部一個(gè)區(qū)域是開區(qū)域（不包含其邊界）一個(gè)區(qū)域是閉區(qū)域（包含其邊界）一個(gè)區(qū)域是簡(jiǎn)單區(qū)域（不包含任何洞）一個(gè)區(qū)域是連通區(qū)域（從區(qū)域中的任一點(diǎn)通過區(qū)域內(nèi)的一條路徑可以到達(dá)任一其它點(diǎn)。）如果任何拓?fù)淇臻g或它的點(diǎn)集的性質(zhì)能在每個(gè)拓

3、撲變換下都保持不變，那么，這個(gè)性質(zhì)就叫拓?fù)湫再|(zhì).若拓?fù)淇臻gX有一個(gè)可數(shù)的稠密子集則稱X為可分空間分離的拓?fù)淇臻gE的子集稱為相對(duì)緊的對(duì)設(shè)Ux是的鄰域系若VxUx滿足:?Ux?Vx使則稱VxXx?x???U??VUV?是的鄰域基若更設(shè)Vx中每一元都是開的則稱Vx是x的開鄰域基或局部基.x4.的連通分支都是單點(diǎn)集不是的開子集由定理4.2.1不存在的連QQQyx??Q通子集同時(shí)含有所以的連通分支都是單點(diǎn)集yxQ定理4.2.1設(shè)則連通是區(qū)間.RE