拋物線(xiàn)經(jīng)典例題

1、11拋物線(xiàn)習(xí)題精選精講拋物線(xiàn)習(xí)題精選精講（1）拋物線(xiàn)）拋物線(xiàn)——二次曲線(xiàn)的和諧線(xiàn)二次曲線(xiàn)的和諧線(xiàn)橢圓與雙曲線(xiàn)都有兩種定義方法，可拋物線(xiàn)只有一種：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線(xiàn)相依相伴，又鼎立在圓錐曲線(xiàn)之中.由于這個(gè)美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與y軸（）pxy22?相交相切相離位置由P確定.A.B.C.D

2、【解析】如圖，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)是02pF??????.作PH⊥于H，交y軸于Q，那么，:2plx??lPFPH?且.作MN⊥y軸于N則MN是梯形PQOF的2pQHOF??中位線(xiàn)，.故以??111222MNOFPQPHPF????PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評(píng)注】相似的問(wèn)題對(duì)于橢圓和雙曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，其結(jié)論則分別是相離或相交的.（2）焦點(diǎn)弦）焦點(diǎn)弦——?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦常考常新的亮點(diǎn)弦有關(guān)拋物線(xiàn)的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握

3、這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有幫助的.【例2】過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，求證：??022?ppxy?????1122AxyBxy（1）（2）12ABxxp???pBFAF211??【證明】（1）如圖設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，作l，1AAl?111112pABBlBAAx????于，則AF.兩式相加即得：122pBFBBx???12ABxxp???（2）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，有成立；AFBFp??，112AFBFp???當(dāng)AB與x軸

4、不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：.代入拋物線(xiàn)方程：2pykx????????.化簡(jiǎn)得：2222pkxpx????????????222222014pkxpkxk????XYPHMNO(0)2pF:2plx=22ypx=QXYFA(xy)11B(xy)22A1B1l33【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線(xiàn)的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的距離為p，可知該圓必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).由此我們猜想：一切這樣的圓都過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).以下我們

5、對(duì)AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為，????1122AxyBxy那么：22121112.yypCACByyp??????設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于C，那么.CFp?.2111111.90AFBCFCACBAFB???????中故這就說(shuō)明：以A1B1為直徑的圓必過(guò)該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).●通法通法特法特法妙法妙法（1）解析法）解析法——為對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解困排難為對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易

6、解決的幾何問(wèn)題（如對(duì)稱(chēng)問(wèn)題等）.【例5】（07.四川文科卷.10題）已知拋物線(xiàn)y=x23上存在關(guān)于直線(xiàn)xy=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于（）A.3B.4C.3D.422【分析】直線(xiàn)AB必與直線(xiàn)xy=0垂直，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)必在直線(xiàn)xy=0上，因得解法如下.【解析】∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)xy=0對(duì)稱(chēng)，∴設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：.由yxm????223013yxmxxmyx?????????????設(shè)方程（1）之兩根為x1，x2，則.12

7、1xx???設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則.代入xy=0：y0=.故有.120122xxx????121122M???????從而.直線(xiàn)AB的方程為：.方程（1）成為：.解得：1myx???1yx??220xx???，從而，故得：A（2，1），B（1，2）.，選C.21x??12y??32AB??（2）幾何法）幾何法——為解析法添彩揚(yáng)威為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足的發(fā)展，但伴之而來(lái)的卻是難以避免的繁雜計(jì)算，這又使得許多