基與維數(shù)的幾種求法

1、線性空間基和維數(shù)的求法方法一方法一根據(jù)線性空間基和維數(shù)的定義求空間的基和維數(shù)即：在線性空間V中，如果有個(gè)向量滿足:nn??1?(1)線性無關(guān)。n???21?(2)中任一向量總可以由線性表示。V?n???21?那么稱為維（有限維）線性空間，為的維數(shù)，記為，并稱VnnVdimvn?為線性空間的一組基。n???21?V如果在中可以找到任意多個(gè)線性無關(guān)的向量，那么就成為無限維的。VV例1設(shè)，為數(shù)域上矩陣，為數(shù)域上維向量，求??0VXAX??AP

2、mn?XPn的維數(shù)和一組基。V解設(shè)矩陣的秩為，則齊次線性方程組的任一基礎(chǔ)解系都是的基，且Ar0AX?V的維數(shù)為。Vnr?例2數(shù)域上全體形如的二階方陣，對矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法所組P0aab???????成的線性空間，求此空間的維數(shù)和一組基。解易證為線性空間的一組線性無關(guān)的向01001001?????????????0aVabpab???????????????｜量組，且對中任一元素有V0aab???????001001001aaba

3、b???????????????????按定義為的一組基，的維數(shù)為2。01001001????????????VV方法二方法二在已知線性空間的維數(shù)為時(shí)，任意個(gè)向量組成的線性無關(guān)向量組均作成線nn性空間的基。例3假定是一切次數(shù)小于的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式添上零多項(xiàng)式所形成的線性空間，??nRxn證明：構(gòu)成的基。??????211111nxxx???????nRx證明證明考察????1121110nnkkxkx?????????由的系數(shù)為得，并代入上

4、式可得的系數(shù)1nx?00nk?2nx?10nk??11112121nnaaa?????????21212222nnaaa?????????1122nnnnnnaaa?????????令111212122212nnnnnnaaaAaaaaaa??????????????如果為的一組基，那么當(dāng)且僅當(dāng)可逆時(shí)，也是的一12n????VA12n????V組基。例5已知是的一組基，證明也是的一231xxx??4px????231111xxx????

5、?4px組基。證明證明因?yàn)?3111000xxx????????23111100xxxx???????????223111210xxxx???????????323111331xxxx?????????且11110123000120001A??所以也為的一組基。????231111xxx?????4px方法五方法五如果空間中一向量組與中一組基等價(jià)，則此向量組一定為此空間的一組VV基。例6設(shè)表示次數(shù)不超過2的一切實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式添上零多項(xiàng)