02 第二節(jié) 極限的概念

1、第二節(jié)極限的概念極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的.例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)（參看光盤演示）就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在《莊子.天下篇》一書中對“截丈問題”（參看光盤演示）有一段名言：“一尺之棰日截其半萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想.極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分

2、、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上.極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法.本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義.分布圖示分布圖示★極限概念的引入★數(shù)列極限的定性描述★例1★數(shù)列極限的定量描述★例2★例3★數(shù)列極限隱含的辯證思想★函數(shù)極限的引入★自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限★例4★例5★例6★自變量趨向有限值時函數(shù)的極限★例7★函數(shù)的左極限與右極限★例8★例9★函數(shù)極限的定量描述★極限的性質(zhì)★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)內(nèi)容要點內(nèi)容要點一、一、數(shù)列的極限

3、數(shù)列的極限：論證法，其論證步驟為：N??(1)任意給定的正數(shù)令；????||axn(2)上式開始分析倒推推出；)(???n(3)取，再用語言順述結(jié)論.)]([???NN??二、函數(shù)二、函數(shù)的極限的極限：自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限；自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、三、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性有界性有界性保號性保號性例題選講例題選講數(shù)列的極限數(shù)列的極限例1(E01)下列個數(shù)列是否收斂若收斂試指出其收斂于何值.證由于)3

4、1(317323125nnn????????????3917??n)1(?n故要使只要解得323125????????????nn3917???n3917??n?.31917???n因此，對任給的取則時成立即0??31917?????????NNn?????????????323125nn.323125lim??????nnn函數(shù)的極限函數(shù)的極限例4(E03)求極限.11lim?????????xx解因為當(dāng)?shù)慕^對值無限增大時無限接近于0

5、即函數(shù)無限接近于常數(shù)1xx1x11?所以.111lim??????????xx例5討論極限.sinlimxx??解觀察函數(shù)的圖形(見系統(tǒng)演示)易知:當(dāng)自變量的絕對值無限增大時xysin?x||x對應(yīng)的函數(shù)值在區(qū)間上振蕩不能無限接近于任何常數(shù).y]11[?所以極限不存在.xxsinlim??例6(E04)討論極限及arctanlimxx???xxarctanlim???.arctanlimxx??解觀察函數(shù)的圖形(見圖122)易知：xya

6、rctan?當(dāng)時，曲線無限接近于直線即對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于???xxyarctan?2???yy常數(shù)當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于所以極限2?????xy.2?2arctanlim??????xx由于所以極限不存在..2arctanlim?????xxarctanlimarctanlimxxxx???????xxarctanlim??例7(E05)試根據(jù)定義說明下列結(jié)論：(1)(2)(為常數(shù)).00limxxxx??CCxx??0lim