ch.05-熱流體工程和微系統(tǒng)設計

1、I like the dreams of the future better than the history of the past. ---- T.Jefferson (the third president of USA）,微流體器件概述 流體力學基本知識流體對固體的作用力流體動力學的N-S方程表面張力及毛細效應流體模型固體中的熱傳導微納米尺度的流體流動

2、,第五章 熱流體工程和微系統(tǒng)設計,微流體器件概述,微流體器件是MEMS的一個重要分支，包括如微泵、微閥、微管道、微混合器、微噴、微限流器和微攪拌器等。 微流體器件的制作材料：玻璃、塑料/聚合物、金屬、陶瓷、半導體等。微流體器件具有可批量生產、可集成化等特點。,(1)微流體傳感器,微流量傳感器 微流量傳感器是利用MEMS技術加工制作的，把液體或氣體的流量、流速和（或）方向轉換為電信號輸出的器件。 微流量傳感器按作用原理分：機械式

3、微流量傳感器和熱流式微流量傳感器。,1993年，V.Gass等人研制了基于粘滯力的機械式微流量傳感器，其結構如圖所示。該傳感器利用壓阻效應檢測流量：流體從入口流入傳感器，產生的粘滯力作用于懸臂梁，使懸臂梁產生形變，從而引起壓敏電阻阻值的變化。壓阻式微流量傳感器的特點是制作工藝相對簡單，響應速度快，但一般受溫度的影響比較大。,熱流式微流量傳感器設計的基本思路是：流體流動時會把熱源的熱量帶走，或把熱量從上游帶到下游，利用加熱元件和測溫元件，

4、通過測量帶走或帶來的熱量，可得到流體流動的速度和（或）方向。 熱流式微流量傳感器主要由一個加熱元件(H)和兩個測溫元件(T1)和(T2)構成，如圖所示。這里測溫元件可以是熱敏電阻、晶體管和熱電偶等。,,如圖所示是基于上述原理制作的一個微流量傳感器，由一個中央加熱器和前后兩個溫度傳感器組成，懸臂梁長0.8mm，結構厚度為1um。,熱流式微型流量傳感器實例,黏度/密度傳感器,微機電系統(tǒng)中一般采用振動方法度量流體的黏度。這類粘度計的設計思想是

5、：與流體相接觸的共振器的黏度衰減同流體的密度和粘度的矢量積成比例。,(2)微流體執(zhí)行器,微流體通道,通常將水力學直徑在1～1 000μm之間的通道或管道定義為微通道。微通道是微流體系統(tǒng)的重要部件之一。 微通道除了充當微泵、微閥、微傳感器的連接器外還用于流體的輸送、樣品的混合和分離。 用微通道對高速芯片或大功率器件進行冷卻。,,香港科技大學研制的微器件,如圖所示是香港科技大學采用表面微機械加工工藝制作的微通道，中間有一條40μm

6、15;1μm×4000μm微通道，在通道兩邊分布有微壓力傳感器，在微通道的中心處有一10μm寬的小孔，小孔附近微通道的寬度為10~34μm。輸入壓力達到34.5kPa時，在器件中通以氮氣，首先可測得流速，同時隨著小孔寬度的減小，流速呈單調遞減。隨后可得到沿通道的壓力分布情況。,左圖所示為中國臺灣國立成功大學設計的新型微加熱通道結構。右圖所示為微加熱通道晶片。內部有21組多晶硅微溫度傳感器，11組多晶硅微壓力傳感器和2組微加熱器

7、。經測試發(fā)現(xiàn)，當微通道高度為因此可以利用該器件設計開發(fā)新型冷卻散熱晶片，有效地解決目前CPU的散熱問題。,含壓力傳感器陣列的微加熱通道芯片,微閥,微閥是微流量控制系統(tǒng)的關鍵部件，具有結構簡單、制造方便、性能可靠等優(yōu)點，容易形成產品，可作為微泵、微化學分析系統(tǒng)的組件，也可單獨用于醫(yī)療和工業(yè)領域。微閥一般可分為微被動閥和微主動閥。,微被動閥是指不需要外部動力或控制就能對流體的流動進行開關控制的器件，一般與微泵一起應用。,主動閥可以是單向的，

8、也可以是雙向的，它們通過微執(zhí)行器件控制其開合。,德國的Meckes等人研制的電磁致動微閥，閥片是用犧牲層技術制作出的多晶硅膜。這是一個為小型氣體分析儀設計的微閥結構，設計的壓力指標為10~50kPa，過流能力為2~20mL/min，響應時間為5ms。,美國MIT于1993年設計的壓力平衡靜電致動微閥，用于控制高壓流體。其設計思想是通過流體的壓力在移動閥堵上產生平衡力，通過集合參數(shù)的優(yōu)化，可以用很小的致動力使閥開啟或關閉。該微閥由三塊硅晶

9、片熔融鍵合而成。在大約200V的靜電作用下，可控制空氣的流速范圍為0~,,微泵,微泵在微流體供給和控制、微量元素分析、芯片冷卻等方面有著廣闊的應用前景。微流體泵分類方式繁多，按泵內有無閥部件，可以將微泵分為有閥型微泵與無閥型微泵；按泵內流體的運動方式不同，又可分為往復式泵與蠕動式泵；最常見的是根據(jù)致動方式的不同將微泵分為壓電致動泵、靜電致動泵、電磁致動泵、熱致動雙金屬泵，形狀記憶合金泵等。,美國斯坦福大學研制的壓電致動蠕動泵。順序施加電

10、壓，使壓電片彎曲變形，三個單元分別執(zhí)行出、入口單向閥和泵腔的功能，循環(huán)往復導致流體的定向流動。施加電壓80V，無背壓時流量約為100?L/min。流量在頻率小于15Hz時隨驅動頻率線性增加，頻率大于15Hz時逐漸減小。,荷蘭Twente大學于1983年開始進行微泵的研究，于1988年研制成功硅基壓電驅動的有閥型微泵。圖示是其研制的壓電致動微泵，利用壓電片驅動玻璃泵膜實現(xiàn)功能。該泵流量小于10?L/min，最高背壓為19.6kPa，工作頻

11、率低。,靜電驅動微泵的特點是功耗低，大約為1mW，薄膜的形變可簡單地通過供電電壓控制，響應速度快，工藝簡單； 其不足之處是驅動電壓較高。為了降低驅動電壓，法國南巴黎大學于1997年研制了如圖所示的靜電致動微型泵，將驅動電壓降低到10V以下。該微泵主要應用于藥物傳送。,微混合器,微混合器是一種在硅晶片或薄塑料片上制作成千上萬個微通道使流體分成數(shù)千股細微流束并迅速混合的微型流體混合機械，由微量流體定量器、微泵、微閥及微管道等連接而成，它可以

12、在極短時間內實現(xiàn)微量液體混合、流體方向控制等。 微混合器可應用于微量化學分析與檢測、微量液體或氣體配給、打印機噴墨陣列、IC芯片的散熱與冷卻、微型部件的潤滑等領域 。,Robin H.Liu等人設計的一種三維蛇型管道微流體混合器如圖所示。整個三維立體結構由KOH雙面腐蝕而成，混合器中帶有”C”型重復單元。蜿蜒曲折、具有二維(或三維)結構的微管道中存在著與主流垂直的次流，次流的加強使流體中形成對流，進而使流體扭曲拉長，增加流

13、體接觸的面積，增強了流體混合能力。,分流式混合器是先分別將兩流束分成很多細小的支流，匯合后進行混合，如左圖所示 。截流式混合器是在管道中放入阻隔物，以此擾亂流場，如右圖所示，這種混合器又稱之為靜態(tài)混合器。這兩種混合器都可有效地增加兩種流體的接觸面積。,流體力學基本知識,流體力學主要研究運動中（流體動力學）或者靜止中的流體（流體靜力學）以及固體/流體的相互作用。流體的基本類型不可壓縮流體，如液體可壓縮流體 ，如氣體,流體的特點

14、流體是分子的集合，分子間距遠大于分子本身尺寸 流體具有粘性，流體運動時會產生摩擦,(1)流體的粘性,粘性是流體運動時所產生的剪切阻力的度量 粘度是粘性的程度，也稱為動力粘度、粘性系數(shù)或內摩擦系數(shù)粘度是流體一個很重要的特性 粘度和穩(wěn)態(tài)流動中的剪切力有密切的關系,微小的剪切力都能夠引起流體的流動。如圖所示，剪切變形可被認為是由放置在塊狀流體上下表面的一對平板的相對運動產生。,剪應力τ可表示為,在δt→0的情況下，可得：,,,比例常

15、數(shù)µ就是流體的動力粘度或粘度。,切應力和切應變率之間是線性關系。具有這種線性關系的流體稱為牛頓流體。,,切應力與切應變率之間是線性關系。具有這種線性關系的流體被歸類為牛頓流體，如圖所示。,流體的分類,由運動平板引起的流體流動速度分布如圖所示。,容易證明d?/dt=du(y)/dy，u(y)代表距底板為y的流體速度。則有,流體力學分析中采用了另一種流體粘性的度量，稱為運動粘度υ。運動粘度是動力粘度與同溫下的密度之比值，

16、υ＝μ/ρ（帕·秒）。動力粘度是穩(wěn)態(tài)流動中的剪切應力與剪切速率之比值。（米2／秒）,運動粘度與動力粘度,流線定義：運動流體中任意一點的軌跡。流線方向：與流體中運動點的運動方向一致流線特性：沒有流動能夠穿越流線任意兩條流線都不相交流動的任何邊界線一定也是流線在穩(wěn)態(tài)流中，流線可隨時改變其位置和形狀,(2)流線,（3）雷諾數(shù),流體流動模式：層流，流體沿著流線平緩的流動 紊流 ，劇烈的，沒有軌跡性 雷諾數(shù)定義為:,

17、ρ－量密度，L－特征長度μ－動力粘性系數(shù)， V－速度,雷諾數(shù)決定了流體流動的模式:可壓縮流體，當Re<10到100時發(fā)生層流流動不可壓縮液體，Re<1000時發(fā)生層流,（4）連續(xù)流動方程,流體流動的連續(xù)性方程被用來計算體積流動速率流動速率可以用以下方式表示質量流速 m (質量／時間)體積流速 Q (體積／時間)流速 V (距離／時間),流動速率表達式的推導過程,模

18、型如圖所示。選擇通過流管的流體為控制體。,根據(jù)質量守恒定律得,,m－質量流速Δt －流體流過兩控制面的時間ds －兩控制面這間距離，為無窮小A－流管的平均截面面積ρ －流體的質量密度,當Δt→0，可得 則一維流動的連續(xù)性方程為：,,對于穩(wěn)態(tài)流動， 可得出在穩(wěn)態(tài)流動情況下質量流速為常數(shù) ：,,A1、A2為截面面積；通過A1、A2的流體流速分別為V1、V2,對于不可壓縮流體，上式可用來計算體積流速,式中 Q的單位為m3/s

19、,例題5-1,在一個微流體系統(tǒng)中流動的不可壓縮流體,以每分鐘1微升的流速流過直徑為1mm的管路。采用一個節(jié)流器將管路與微管路連接起來。節(jié)流器的出口直徑為20?m。求節(jié)流器入口和出口的流速。系統(tǒng)如圖所示。,微流量系統(tǒng)的液體供給,解:由于流速較低，假定流體處于層流狀態(tài)，進一步假定液體保持穩(wěn)態(tài)流動狀態(tài) 由題意得 Q=1×10－6 cm3/min=1.67×10－14 m3/s節(jié)流器的進口和

20、出口的截面積為,將上面的已知條件代入體積流速方程，可以得到節(jié)流器進口和出口的流速分別為,（1）動量方程,動量方程建立在動量守恒定律和牛頓動力平衡定律基礎之上，用于求流體作用在固體上的力。,流體對固體的作用,如圖所示的二維穩(wěn)態(tài)流動，控制體ABCD經過一個微小的運動到達A’B’C’D’位置。,在dt 時間內控制體內的動量變化為,其中， 和 分別是上圖中流過控制面1-1和2-2的質量流速。,穩(wěn)態(tài)流動的條件下 ，即,,根據(jù)

21、 ，可得出誘導力,,,V1和V2分別是控制面1-1和2-2的速度矢量。,（2）伯努力方程,流體動力學中運動方程的作用：計算流體運動與所需驅動力(即壓力)之間的關系確定驅動流體所需泵的功率,伯努力方程的推導,假設前提：忽略流體與所接觸管道表面的摩擦力下圖中給出了沿流線中運動的單位厚度的二維流體單元。,推導的關鍵：對所有作用在單元切向和法向的力的分量求和，并根據(jù)牛頓定律建立所施加的壓力和單元運動速度的關系式。牛頓定律表達為

22、,,切線方向：,法線方向：,加速度分量與流體單元的速度關系為,因此，可得運動方程 (即歐拉方程)為,當x軸與流線方向一致，則運動方程為,,,,式中u=u(x,y,z) — 沿x方向的流體速度v=v(x,y,z) — 沿y方向的流體速度w=w(x,y,z) — 沿z方向的流體速度x,y,z分別是沿x,y和z方向流體體的分量,根據(jù)上面的方程可導出伯努利方程為,,狀態(tài)屬性變化的流體流動如圖所示,,例題5-3,求流過10cm長的錐形管的

23、酒精液流的壓差。入口流速為600μm/s。酒精的質量密度為789.6kg/m3。如圖所示，管與水平面的傾斜角為30o。,流體在錐形管中的流動,解： 由題意可以計算出錐管的截面面積 A1=0.784×10－8m2 A2 =0.1964×10－8m2 又已知入口速度 V

24、1=600×10－6m/s 由體積流速方程可求得出口流速,,整理伯努利方程，可得ΔP表達式為,,式中錐管出口和入口的高度差等于L×sin30o=5×10-2m因此由上式可求得壓差為387.3 N/m2 或387Pa 。,（3）水頭損失,在一個直徑為d，長度為L的圓管中，由于流體之間和流體與接觸壁的摩擦而引起的等效水頭損失表示為,式中f 為達西摩擦因子,其中τw是在管壁上的剪應力y=d/2=a，

25、其中d為管的內徑,則式中τw的表達式為,對于層流情況，達西摩擦因數(shù)可表示為,Re－雷諾數(shù)，其表達式中需要用管徑d代替特征長度L 。,例題5-4,計算例5-3中由于摩擦引起的等效水頭損失。,解: 采用平均值研究這個問題: 管的平均直徑d=75μm， 入口和出口的平均速度V=1.5×10-3m/s （如何求解？？） 查表4.3，得酒精的動態(tài)粘性系數(shù) μ=1199.87×

26、;10-6 N-s/m2 可得出雷諾數(shù)：,于是可得摩擦因數(shù),,等效水頭損失hf為,與水頭損失相關的一些公式,流體在半徑為a的圓管流動的層流示意圖。,圓管中的流體流動,壓差ΔP 作用下體積流量Q的運動方程為,,其中y為參考平面與管之間的高度。 沿管長L的流體壓降為,等效水頭損失與體積流量Q的關系為,從流體壓降公式與水頭損失和流體流量之間的關系式可觀察到：　對于層流，壓降和摩擦水頭損失與管徑的四次方成反比。這意味著如果管徑減小一

27、半，驅動相同體積流量的驅動功率需要提高16倍 式中參數(shù)d代表充滿流體的圓管直徑，圓管直徑可由水力學直徑dh代替,水力學直徑定義為,其中，A－液流的截面面積　　　p－濕周，即與流體接觸部分的周長則寬為w，高為h的長方形截面管路的水力學直徑dh為,,N-S方程,著名的Navier-Stokes方程是流體動力學的控制方程現(xiàn)代計算流體動力學的代碼也是在其基礎上建立起來的,流體動力學的N-S方程,求解三維空間中，運動流體分別沿x，y

28、和z坐標的速度矢量u，v和w的方程,,其中ρ為流體的質量密度，g為重力加速度，P為驅動壓力，μ為流體的動態(tài)粘度， t為時間。,流體控制體中一個小的立方單元如圖所示。,這個立方單元的應力分量可通過對N-S方程各種速度分量的微分求得,,運動流體中全部應力分量的表達為,,（1）表面張力,流休動力學中兩普遍現(xiàn)象在管道中流體流動的速度分布沿管道的中心方向逐漸增加 在一個平面上粘性流體液滴的表面是球狀的 不可壓縮流體的表面張力 液滴的球狀

29、表面存在超過流體內部靜壓力的張力——表面張力,表面張力及毛細效應,液體的表面張力與分子的內聚力有關 流體中的表面張力Fs可被表示為,水的γ值可通過下面的經驗公式得出,其中 T為溫度，單位為℃ γ的單位為N/m,表面張力引起額外壓降的公式,圖中給出了在一個圓柱形和球形液滴的內部由于表面張力引起的壓力變化。,在上圖a中的圓柱液體中，合力(2aL)ΔP等于濕周2L乘以表面張力系數(shù)γ，得,在圖b的球狀液體中，合力

30、(πa2)ΔP等于濕周(2πa)乘以表面張力系數(shù)γ，得,因此，可估算出下圖中直徑d≈2a的小管中的孤立液體的壓力變化等于上述兩式子的壓力變化和,小管中的流體體積,例題5-5,確定克服內徑為0.5mm小管中水的表面張力所需的壓力。假定水溫為20℃。 解:首先根據(jù)表面張力系數(shù)的計算公式得到γ 20℃水的γ＝0.073 N/m 又已知管徑為a＝250×10-6m 根據(jù)

31、壓力變化計算公式 得出克服表面張力所需的壓力為:,,（2）毛細效應,流體的毛細效應涉及流體的表面張力和流體管道的尺寸 毛細效應是將兩端開口的細管一端插入一定體積的液體時，管內的液體會升起，如圖所示。,小管中毛細高度計算公式為,其中， w=ρg是液體的比重 θ是自由流體表面與管壁之間的夾角 a是毛細管的半徑,例題5-16,求圖5.16中小管中水柱升起的高度h，管的 直徑為1mm

32、 解： 假定水表面的夾角θ≈00 已知管半徑為0.5mm 在20℃時，水的γ＝0.073N/m 水的ρ＝1000 kg/m3， 則比重為 9810 N∕m3 根據(jù)小管中毛細高度的計算公式，可得出管 中水柱的高度：,,（3）微泵—壓電泵,壓電泵利用表面力代替容積壓力促使液流在微管道中流動。,壓電泵的工作原理

33、（如圖5-17）幾微米厚的薄壁使管子有很高的柔性外壁涂了一層壓電薄膜換能器，當射頻電壓加到換能器上時，壓電層中將產生機械應力機械應力將在管壁薄膜上產生柔性聲波管壁的波動將產生泵效應以驅動流體,如圖5.18，由物理規(guī)律可知管壁表面產生的力與壓電效應在管壁處所產生的聲波幅度成正比，并且沿管子中心成指數(shù)規(guī)律衰減（如圖5-17中F的變化）力的變化導致管內的流體流速更加均勻（如圖5-17中V的變化）,流體模型,流場建模的基本途徑有兩類

34、 一類將流體考慮為分子的集合 一類將流體當作連續(xù)不可分的物質前者又可劃分為確定性方法及隨機性法后者可在每一空間和時間點處定義出速度密度及壓力等，從而建立一系列偏微分守恒方程，如Euler方程、(N—s)方程、Burnett方程等,(1)努森數(shù),連續(xù)介質流體力學理論用于流體流動的有效性依賴于努森數(shù)的大小努森數(shù)的定義為,式中， L為特征長度尺度 （可以是流體的密度、速度或溫度）

35、 λ為流體的平均自由程 （λ=65 ）,(2)馬赫數(shù),運動氣體的馬赫數(shù)是其速度和氣體壓縮性的量度它的定義為 Ma=V/α 其中　V－運動氣體的速度　　　　α－氣體中的聲速 理想氣體相應的聲速為,,定壓下氣體的比熱容；,定容下氣體的比熱容。,（3）微氣體流動建模,在微米/納米范圍，N-S方程的可適用程度由如圖所示為氣體流動狀態(tài)譜

36、說明。,努森數(shù),從譜中我們可知 :當努森數(shù)Kn10時 ，氣流處于自由分子運動的形式,當Kn>10時,自由氣體分子的質量流速公式:,其中， d和L是管的直徑和長度(d≤L≤λ) λ為氣體分子的平均自由程 ΔP是壓降 R為氣體常數(shù)（J/kg·K） T為溫度（K）,例題5-7,求氮氣在直徑為30nm，長為50nm的細管

37、中的流動速度。驅動流體的壓差為0.5Pa。流體在室溫20℃下流動。,解: 由自由氣體的質量流速公式求解氣體的質量流動速度，需要知道下面的參數(shù) 對于氮氣 R=286J/kg·K 氣體的平均自由程 λ＝65nm 可得 Kn=λ/d=65/30=2.17 又已知L=50nm d=30nm

38、 ΔP＝0.5Pa T＝293K 將參數(shù)代入質量流速公式，得,,熱傳導,基本概念傅立葉定律熱傳導方程牛頓冷卻定律固體-流體相互作用邊界條件例子講解（多個）,(1)基本概念,許多MEMS器件采用熱驅動，涉及這些執(zhí)行器設計的關鍵問題是 產生預期致動所需的熱量啟動和結束運動所需要的時間器件中的相關熱應力和變形加熱對器件中的精巧部件可能引起的破壞,熱傳導的一般原理,如圖所示的固體平板的熱傳導平板

39、，平板左壁的溫度Ta，右壁的溫度Tb，且Ta>Tb,有如下的定性關系,,其中： Q為通過板的熱量 A為板的橫截面積 t為熱量流過的時間 d為板的厚度 比例系數(shù) k 為固體的熱導率,上述關系可用等式表示為,,(2)熱傳導的傅立葉定律,熱通量q 定義為單位面積和單位時間的熱流量。 平板內的熱通量可由下式表示,,熱傳導傅立葉定律的數(shù)學表達式的導出,如圖所示，在坐標系r:

40、 (x,y,z)中，空間固體的熱通量可由下式表示,,上式就是熱傳導傅立葉定律的數(shù)學表達式，負號說明熱通量是沿著固體表面的外法線方向,在直角坐標系中對上面的等式進行擴展：,其中,其中，qx, qy, qz分別是x,y,z方向的熱通量分量 kx,ky和kz分別是固體在x,y,z方向的熱導率 (對于 各向同性材料，kx＝ky＝kz ),(3) 熱傳導方程,熱傳導方程 [溫度場T(r,t) ],,在直角

41、坐標系中，拉普拉斯算子可定義為,在柱坐標系中,,,熱傳導方程中Q(r,t)是材料單位體積和單位時間產生的熱量常數(shù)α叫做材料的熱擴散率 微系統(tǒng)中的常見熱源為電阻加熱，電阻產生的熱量表示為：,常數(shù)α數(shù)學表達式為,,其中 ρ是固體的質量密度 c是固體的比熱 很明顯，固體的α值越高其導熱越快。因此，由高α值材料制成的熱驅動器件的響應速度更快。,（4）牛頓冷卻定律,牛頓冷卻定律是分析流體對流熱

42、傳遞的基礎 如圖5.22，溫度為Ta和Tb兩點的熱通量與兩點的溫度差成正比，于是牛頓冷卻定律表示為：,,牛頓冷卻定律中的常數(shù)h稱為熱傳遞系數(shù)，它通常包含在努塞爾數(shù)中(Nu=hL/k, L為特征長度)。對于強迫對流，努塞爾數(shù)的數(shù)值為,,對于低速自由對流,參數(shù)α，β，γ和δ是由實驗決定 Re一雷諾數(shù)，Pr一普朗特數(shù) Gr一Grashoff數(shù),雷諾數(shù) 、普朗特數(shù)和Grashoff 數(shù)的定義為,式中

43、 cp為恒壓下流體的比熱 β是熱膨脹的體積系數(shù) Δt為時間 g為重力加速度,（5）固體－流體相互作用,如圖所示，是熱從溫度場為T(r,t)的固體傳到周圍溫度為Tf的流體的過程 (可逆)。,圖中，使從固體這邊進入邊界層的熱流矢量qs與離開邊界層進入流體的熱流量qf相等，可得到下面的關系,,固體這邊進入邊界層的熱流矢量qs與離開邊界層進入流體的熱流量qf相等，

44、可得到下面的關系,(6) 邊界條件,從熱傳導方程可求出MEMS器件的溫度分布，這是與熱效應相關的微系統(tǒng)設計的一個重要步驟。熱傳導方程的求解需要合適的邊界條件公式。有三種類型的邊界條件可用于熱分析。下面將分別給出。,給定表面溫度,這種類型的邊界條件主要用于溫度已知的特定表面特定位置上的固體。參見下圖。 rs處的邊界條件可表示為,,給定邊界的熱通量,圖5.24b給出了一個具體事例 邊界條件為,,,下表給定上述等式正確的溫度梯度符

45、號,例題5-9,給出長方形物體四面的熱通量的邊界條件(如圖5.25)。長方形物體在x-y平面內熱傳遞的溫度分布為T(x,y)。穿過四面的熱通量分別為q1,q2,q3和q4,解：由熱通量邊界條件和上表可得出下面的邊界條件,在左表面：,在右表面：,在上表面：,在下表面：,,,,,對流邊界條件,這種邊界條件應用于固體邊界與溫度為Tf的流體相接觸的情況（如圖所示）。,,流邊界條件的表達式,從上式可看出當h→∞時，與rs 邊界條件所指定表面的

46、邊界條件是等價的當h=0時，得到熱通量邊界條件中的絕熱邊界條件,,例題5-10,寫出圖5.27所示的熱致動微梁的微分方程和合理的初始邊界條件。一片薄銅膜粘到硅梁的上表面做為加熱電阻。執(zhí)行器的初始溫度為20℃?？紤]與梁下表面接觸空氣的兩種情況：(1) 靜止空氣，(2) 空氣的溫度為20℃，熱傳遞系數(shù)為10-4W/m2·℃,解： 考慮到溫度場主要沿梁的厚度方向上變化, 可假定梁的溫度函數(shù)為T(x,t)，x為厚度方向的坐標

47、（如圖所示）。,根據(jù)熱傳導方程的一般形式，可得出本題的微分方程為,,上式中硅梁的熱擴散率?可查表得到 α＝0.9752cm2/s 初始條件為,,由上表面的邊界條件為x=0，可得熱通量的輸入條件,其中，q為銅膜產生的熱通量，q=I2R/A k為硅梁的熱導率上面表達式的邊界條件等價于,,(a),(b),可應用于下表面的可能邊界條件為：1)靜止空氣的絕熱邊

48、界條件2)對流邊界條件 在梁的下表面(x=40μm)的絕熱邊界條件(即h＝0)，可得此條件的數(shù)學表達式,,在梁下表面(x=40μm)的對流邊界條件。數(shù)學表達式用對流邊界條件表示為：,,(c),(d),利用條件(a),(b),(c)或(a),(b),(d)，梁的溫度場T(x,t)可通過求解本題的微分方程得出 對于微分方程的求解可采取多種方法，如分離變量法或積分變換法。也有多種的數(shù)值方法可求解。,亞微米尺度固體中的熱傳導,基礎理論薄

49、膜的熱傳導率薄膜的熱傳導方程,(1) 基礎知識,圖5.33給出了熱如何從A 面?zhèn)鬟f到B 面。由于固體中的熱傳遞主要由聲子流完成，因此假設熱傳遞為聲子的移動。 一聲子（黑色）在時刻t1從平面A上的一點p1處開始它的傳熱旅程。,如圖所示 ，對于單個聲子，值得注意的現(xiàn)象:移動的聲子在每次碰撞之后改變其路線——散射效應。自由移動的距離，稱為自由程，在每次碰撞間是不同的。由于自由程的改變，聲子在每次碰撞之間的移動時間也是變化的。,用于

50、分子熱傳遞的關鍵專有名詞的定義平均自由程(MFP),平均自由時間(MFT),,,平均自由程均值的物理意義是當載體在體材料中移動時導致其失去過剩能量的平均距離。,下面是在亞微米和納米尺度中用來定性評價固體熱傳輸?shù)慕浦凳覝叵拢娮拥腗FP約為10-8m氣體的平均自由程約為65nm，而液體的平均自由程約為氣體的兩倍金屬平均自由時間典型值的量級為10-12 s。,在亞微米和納米尺度，熱傳導的不同點:一是熱導率的改變一是熱傳導方程式

51、的變化 H<7λ是亞微米和微/宏熱傳導之間的近似界限，其中H是薄膜的厚度，λ是聲子平均自由程,(2) 薄膜的熱傳導率,在亞微米尺度，關于薄膜熱導率k 的簡化模型是由分子熱傳導的動力學模型得出,,更直接的估算薄膜熱導率的模型如下,,上式針對垂直于薄膜的熱導率，當熱導率方向沿著薄膜的表面時，有,式中k為在宏觀尺度下，同類材料的熱導率式中 提供了一個更直接的方法估算亞微米和納米尺度固體熱傳導分析的熱導率,利用上面公式得出的預

52、計值與實驗得出的測量值存在一定的偏差：對于H<7λ，熱導率與其垂直的薄膜，誤差為5%對于H<4.5λ，熱導率與其平行的薄膜，誤差也為5%。,例題5-12,求0.2μm厚硅膜的熱導率。 解： 根據(jù)薄膜熱導率的參數(shù)表，得聲子平均自由程的 均值長度為 λs=10-7m。 由垂直于薄膜的熱導率估算模型可得出0.2μm厚硅膜的熱導率:,,查

53、表7.3（MEMS材料的力學和熱物理性能表）可得出 k=1.57W/cm-℃垂直于膜表面的硅膜的熱導率為keff=0.833╳1.57W/cm-℃=1.308W/cm-℃。利用沿著薄膜表面的熱導率模型可得出平行膜表面的硅膜的熱導率為keff=0.894k=1.404W/cm·℃,(3) 薄膜的熱傳導方程,修正的熱傳導方程表達如下,,式中，變量τ為弛豫時間，由下式求