第3章 立體的投影

1、第3章 立體的投影,一、立體及其表面上的點與線,二、平面與平面立體表面相交,三、平面與曲面立體表面相交,四、兩曲面立體表面相交,常見的基本幾何體,,,平面立體,曲面立體（回轉(zhuǎn)體）,,平面立體：所有表面均為平面的立體,曲面立體：部分或全部表面為曲面的立體,3.1、立體及其表面上的點與線,一、平面立體——,1、棱柱（正六棱柱）,,,,,（1）、投影分析,平面立體由多邊形圍成，畫平面立體就是畫形成多邊形的邊、棱線、頂點的投影。,,,,,,,

2、,,,（2）、三視圖的畫法,（d）畫左視圖（高平齊、寬相等）,（a）畫中心線、對稱線,（b）畫俯視圖-反映底面實形,（c）畫主視圖（長對正）,點的可見性規(guī)定： 若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。,,,⑶ 棱柱表面上取點,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2、棱錐（正三棱錐）,⑵ 三視圖畫法,,,,b?,a?(c?),b?,,,,,⑴ 投影分析,,,由一個底面和若干側(cè)棱面組成。

3、側(cè)棱線交于有限遠的一點——錐頂。,棱錐處于圖示位置時，其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平面。,素線法：利用過A點的素線SⅠ為橋梁求A點的投影。,輔助平面法：利用過A點的輔助平面P求A點的投影。,素線,,S,Ⅰ,,輔助平面P,⑶ 棱錐表面上取點,,,,,,,,,,,,a′,Ⅰ′,,Ⅰ,,,,,素線,,S,Ⅰ,,A,1,2,3,Ⅰ?,解法一（素線法）,先求立體表面過A點的素線SⅠ的投影；

4、,再在SⅠ上求A點的投影,,水平面,,,,,,,,,,,a′,,,S,,A,1,2,3,解法二（輔助平面法）,先求過A點的水平面的投影；,再在SⅠ上求A點的投影,,( ),,,,,,,,,,,,,,,,(1)求K點投影采用輔助平面法；,側(cè)面投影不可見,,,(2)求N點投影采用素線法；,,,,,投影m?n?不可見,(3)求KMN線段的投影。,例：求正三棱錐表面線段 KMN的投影。,回轉(zhuǎn)面：一動線繞一定線 回轉(zhuǎn)一周后形成的曲

5、面。,定線----軸線,動線----母線,素線----母線在回轉(zhuǎn)面上的任意位置,緯圓----母線上任意一點的軌跡,,,母線,軸線,素線,緯圓,二、曲面立體（回轉(zhuǎn)體）,回轉(zhuǎn)體的形成及性質(zhì),畫曲面立體就是畫圍成立體的輪廓線、轉(zhuǎn)向輪廓線、尖點的投影。,1、圓柱體,圓柱面上與軸線平行的任一直線稱為圓柱面的素線。,⑴ 圓柱體的組成,由圓柱面和上、下兩個底面組成。,圓柱面是由直線AA1繞與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。,直線AA1稱為母線。,,⑵ 圓

6、柱體的三視圖,,,,,,,,,,,,①俯視圖積聚成一個圓。,②主視圖上的投影輪廓線a?a?和b?b? ，是最左、最右兩條素線AA、BB(稱轉(zhuǎn)向輪廓線)的投影。,③左視圖上的投影輪廓線c?c?和d?d?，是最前、最后兩條素線CC、DD (稱轉(zhuǎn)向輪廓線)的投影。,,,⑶ 圓柱表面上取點,利用圓柱面投影的積聚性作圖,,,,,① 過1?作一條輔助素線,② 作I點的水平投影——長對正,③ 作I點的側(cè)面投影——寬相等、高平齊,,,,,,,,,,,,

7、,,,圓柱面在俯視圖上的投影有積聚性，利用投影的積聚性,例：求圓柱表面AB線段的側(cè)面投影和水平投影。,,,,,,,,,,,,,,1、先求三個特殊點A、B、C 的三個投影；,2、再利用描點法求AB的側(cè)面投影；,3、判別投影的可見性；,,A,B,②圓錐面是由直線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。,⑴ 圓錐體的組成,2、圓錐體,①由圓錐面和底面組成。,③S稱為錐頂，直線SA稱為母線。,④圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面上的素線。,

8、,,⑤母線上任一點K的軌跡稱為圓錐面上的緯圓。,緯圓的半徑如何確定？,,,s,,,,,,⑵ 圓錐體的三視圖,① 俯視圖為一圓，另兩個視圖為等腰三角形。 ②主視圖上的投影輪廓線s?a?和s?b? ，是最左、最右兩條素線SA、SB(即對正面的轉(zhuǎn)向輪廓線)的投影。 ③左視圖上的投影輪廓線s?c?和s?d?，是最前、最后兩條素線SC、SD (對側(cè)面的轉(zhuǎn)向輪廓線)的投影。,,,,轉(zhuǎn)向輪廓線的另外兩個投影不必

9、畫出,如何在圓錐面上作輔助素線？,連接錐頂S和K點作輔助素線SA,⑶ 圓錐表面上取點,A、輔助素線法,,,s,,,,,,,,,,,,如何在圓錐面上作輔助緯圓？,過I點作輔助緯圓 。,緯圓的半徑？,⑶ 圓錐面上取點,B、輔助緯圓法,s,,,,,,,注意：該輔助緯圓的正面投影和側(cè)面投影積聚成與直徑等長的一直線，水平投影反映其實形。,三個視圖的投影輪廓線均為與球的半徑相等的圓，它們分別代表球在主視、俯視、左視三個投影方向的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。

10、,3、球,由半圓母線以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。,⑵ 球的三視圖,⑴ 球的形成,,,,,,,,,,（3） 球表面上取點,輔助緯圓法,,緯圓的半徑？,,,,,,,A、過K點作一個與水平面平行的輔助緯圓,注意：該輔助緯圓的正面投影和側(cè)面投影積聚成與直徑等長的一直線，水平投影反映其實形。,,,輔助緯圓法,,,,,B、過K點作一個與正面平行的輔助緯圓,注意：該輔助緯圓的正面投影反映其實形，水平投影和側(cè)面投影積聚成與直徑等長的一直線。,,,? 用平面

11、與立體相交，截去體的一部分——截切。,什么是截交線？,,? 用以截切立體的平面——截平面。,? 截平面與立體表面的交線——截交線。,截平面,截交線,3.2、平面與平面立體表面相交——求截交線,常見的截交線,,,,2、是一封閉的平面折線或平面曲線。,3、截交線的形狀取決于被截立體的形狀 及截平面與立體的相對位置。 截交線的投影的形狀取決于截平面與 投影面的相對位置。,1、截交線是截平面與立體表面的共有線, 同時位

12、于截平面和立體的表面上。,,截交線的性質(zhì),,′,1、運用“還原”的思想，畫出完整立體的投影；2、分析截平面是何種位置面；3、分析截平面通過立體的哪幾個表面，就會相應(yīng)產(chǎn)生幾條 截交線；4、注意求多個截平面之間的交線；5、判斷可見性，將各點順次連接即為所求的截交線；6、最后分析運用“還原”的方法所畫出的立體的完整投影， 哪些輪廓線被截平面真正切割掉了，其投影應(yīng)該去掉。,平面與平面立體表面的交線——截交線的求法,例1

13、、如圖a所示，補畫出立體的W面投影圖。,a) 題圖,空間分析：,解題過程：,b) 作W面投影圖,c) 加深、整理,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,p',,a,b,c,d,e,a',b',c',d',(e'),,,,,,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,立體圖示：,,交線的形狀？,★ 投影分析,,例2、求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,★ 空間分析,★ 求截交線,★ 分析棱線的投影,★ 檢查 尤其注意檢查截 交線投影的類似性,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3?,2?,1?,(4?),,,,,,,,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,例2、求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,注意： 要逐個截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有

15、局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例3、求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,1,2,1?(2?),,Ⅰ、Ⅱ兩點分別同時位于三個面上。,例3、求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,例4、補全三棱錐被平面截切后的俯、左視圖。,,,,,,,,,(4 "),,,,空間模型,完成結(jié)果,,,,,,,,,,,,,例5、求帶缺口的三棱錐的俯視圖和左視圖。,,,,,

16、,,,,,,,,b,a,b?,a?,1、分析兩截平面與棱錐的相對位置及與投影面的相對位置；,分析步驟：,2、分析截交線的空間形狀及投影形狀;,3、畫出截交線的投影。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例5、求帶缺口的三棱錐的俯視圖和左視圖。,,1?≡8?,8,,,例6、求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。,,,P?,,,,,,截交線的形狀？,1?,5?,4?,3?,2?,8?,7?,6?,截交線的投影特性？,2?≡3?≡6?≡

17、7?,4?≡5?,,求截交線,1,,5,4,7,6,3,2,分析棱線的投影,,,,檢查截交線的投影,例6、求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。,3.3、平面與曲面立體表面相交——求截交線,平面與曲面立體表面的交線——截交線的求法,1、先求特殊點：截交線與轉(zhuǎn)向輪廓線的交點；截交線在對稱軸線上的重影點；以及最高、低，最前、后，最左、右點，即控制截交線范圍及變化趨勢的點；2、再求一般點；3、判別可見性，將特殊點、一般點順次光滑連接。,一、圓柱

18、體表面的截交線,平面與圓柱相交的三種方式,截交線的已知投影？,,,,,,,,,,,,,,●,●,●,●,,,例1：求左視圖,★找特殊點,★補充中間點,★光滑連接各點,★分析輪廓素線的投影,截交線的側(cè)面投影是什么形狀？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2：求左視圖,,,(1)作圓柱的W面投影,,,,,,,,,,,,,,,,例3、如a所示，根據(jù)V 面投影和H 面投影補出立體的W 面投影。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

19、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a) 題圖,解：,(2) 作左切塊上的投影,,(3) 作下部通槽的投影,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4) 判別可見性，整理、加深完成全圖,,例4：求左視圖,★空間及投影分析,★求截交線,★分析圓柱體輪廓素線的投影,截交線的形狀,截交線的投影特性,解題步驟：,同一立體被多個平面截切，要逐個截平面進行截交線的分析和作圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,

20、,,,,例4：求左視圖,★空間及投影分析,★求截交線,★分析圓柱體輪廓素線的投影,截交線的形狀,截交線的投影特性,解題步驟：,,,,,,,例5：求左視圖,,,,,,,,,,,,,,,,例5：求左視圖,分析、比較,,,,例6：求俯視圖,,,●,●,●,●,,,,,例6：求俯視圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例7：求俯視圖,,,例7：求俯視圖,分析、比較,,,平面與圓錐體相交的各種形式,二、圓錐體表面的截交線,例1、補全

21、立體的三面投影,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,,,,

22、,,,,,,,,,輔助平面,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圓錐體截交線的應(yīng)用舉例,平面與球體相交的各種形式,,,三、球體表面的截交線,平面與球體相交舉例,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

23、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例1、補全立體的三面投影,球體截交線的應(yīng)用舉例,平面與球體相交模型,3.4 兩曲面立體相交——相貫,一、相貫線的概念二、兩圓柱體相貫三、相貫線的特殊情況,平面立體與

24、平面立體相貫,平面立體與曲面立體相貫,曲面立體與曲面立體相貫,一、相貫線的概念,2、相貫的形式,1、定義： 兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫做相貫線。,3、相貫線的主要性質(zhì),其作圖實質(zhì)是找出相貫的兩立體表面上的若干共有點的投影。,★ 共有性,★ 表面性,相貫線位于兩立體的表面（內(nèi)、外）上。,相貫線是兩立體表面的共有點的集合。,★ 封閉性,相貫線一般是封閉的平面折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線。,1、畫法 利用圓柱面上取

25、點法作圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、兩圓柱體相貫,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,空間及投影分析： 小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。,,求相貫線的正面投影：,☆ 作特殊點,☆ 作一般點,☆ 光滑連接,極限點,,,2、相貫線的三種基本形式：,3、圓柱直徑大小變化

26、對相貫線的影響：,交線向大圓柱軸線彎曲,交線為兩條平面曲線（橢圓）,4、軸線相對位置的變化對相貫線的影響：,5、 相貫線的簡化畫法,,兩正交異徑圓柱相貫線的簡化畫法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,條件：1）兩圓柱正交；2）兩圓柱直

27、徑不相等。,作圖方法：,2）以o’為圓心，較大圓柱半徑為半徑畫圓弧，即為簡化相貫線。,1）以a’或c’為圓心，以較大圓柱半徑為半徑畫圓弧，得圓心o’。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,★ 外形交線,◆ 兩外表面相貫,◆ 一內(nèi)表面和一外表面相貫,★ 內(nèi)形交線,◆ 兩內(nèi)表面相貫,●,,,例1：補全V投影,,6、圓柱與圓柱相貫的綜合舉例,例1：補全V投影,無輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表

28、面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。,小 結(jié)：,三、相貫線的特殊情況,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,相貫線,相貫線,相貫線,1、具有公共回轉(zhuǎn)軸的兩曲面立體相貫——相貫線為垂直于公共回轉(zhuǎn)軸線的圓。,具有公共回轉(zhuǎn)軸的兩曲面立體相貫,軸線相

29、互平行的兩圓柱相貫及共錐頂?shù)膬蓤A錐相貫,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2、軸線相互平行的兩圓柱相貫，或共錐頂?shù)膬蓤A錐相貫——相貫線為直線 。,具有公共內(nèi)切球的兩曲面立體