第2章 運動方程建立

1、第2章結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)的離散及運動方程的建立,2.1 質(zhì)點與剛體慣性力的描述,試由該式推導出矩形、橢圓及三角形的質(zhì)量慣性矩J？,2.2 結(jié)構(gòu)的動力自由度,在結(jié)構(gòu)動力分析模型中，確定慣性力分布所需考慮的獨立位移數(shù)稱為結(jié)構(gòu)的動力自由度。,質(zhì)點有3個平動自由度，3個轉(zhuǎn)動自由度，共6個自由度,質(zhì)量連續(xù)分布，慣性力必須沿桿長逐點定義，無限自由度,1、離散質(zhì)量體系（質(zhì)點）,2、連續(xù)質(zhì)量體系,舉例：忽略轉(zhuǎn)動的平面體系的動力自由度確定,W=2,彈性支座不

2、減少動力自由度,為減少動力自由度，梁與剛架不計軸向變形。,,W=1,5),W=2,W=2,,舉例：忽略轉(zhuǎn)動的平面體系的動力自由度確定（續(xù)）,W=1,,8) 平面上的一個剛體,W=3,9)彈性地面上的平面剛體,W=3,W=2,W=1,11),,,,,W=13,自由度數(shù)與質(zhì)點個數(shù)無關(guān)，但不大于質(zhì)點個數(shù)的2倍。自由度為1的體系稱作單自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系;自由度無限多的體系為無限自由度體系。,系統(tǒng)離散：（

3、1）集中質(zhì)量法,該模型中，梁端部的集中質(zhì)量為什么不出現(xiàn)？,系統(tǒng)離散：（2）廣義位移法,對于四邊簡支的矩形板，如何假設(shè)其位移坐標？,系統(tǒng)離散：（3）有限元法,有限元法是一種將連續(xù)系統(tǒng)離散化的方法。這種方法先把復雜結(jié)構(gòu)分割成若干個彼此之間只在結(jié)點處相互連接的單元，每個單元都是一個彈性體，單元內(nèi)位移用節(jié)點位移（即廣義位移）插值函數(shù)來表示。對每個單元，由位移插值函數(shù)和動力學基本原理確定剛度矩陣、質(zhì)量矩陣及其它特征矩陣。,運動方程的建立: (1

4、）達朗貝爾原理,按牛頓第二定理：,達朗貝爾原理：如將慣性力當成靜力看待，動力系統(tǒng)在所有力作用下應(yīng)保持靜力平衡。,,y(t),運動方程建立：（2）虛位移原理,虛位移原理：如果給定一個平衡系統(tǒng)一個虛位移（即系統(tǒng)約束相容的位移形態(tài)），則作用在該平衡系統(tǒng)上所有的力（外力及內(nèi)力）對該虛位移所做的虛功之和等于零。,,,運動方程建立：（2）虛位移原理（舉例）,,,給定一個虛位移 ， 按虛位移原理：,運動方程建立：（3）變分方法,

5、由虛位移原理，在t時刻所有力所做的虛功之和等于零。即：,將上式重新安排，并在[ t1, t2 ]區(qū)間積分：,運動方程建立：（3）變分方法（續(xù)）,運動方程建立：（3）變分方法（續(xù)）,Hamilton原理特點：在虛功方程中力和位移均為矢量；而在Hamilton公式中，外力、慣性力和恢復力不以顯式方式出現(xiàn)，而分別以動能和勢能的變分項所取代；因此， Hamilton公式能較好處理純標量能量值。Hamilton原理也可以應(yīng)用到靜力問題

6、，但是動能項T將消失，而其余各項不隨時間變化，即：此即為最小勢能原理。在以上Hamilton方程中，如將T、V 和Wnc用廣義坐標q1、q2、…、qN表示，可以導出N個自由度體系的運動方程，即拉格朗日（Lagrange）方程。,運動方程建立：（3）變分方法（續(xù)）,廣義坐標： N個自由度體系的廣義坐標可以定義為任何相互獨立的量，用于完全確定體系各點的位置；為了完全獨立，廣義坐標需不以任何方式與系統(tǒng)的幾何約束發(fā)生關(guān)系。,

7、但 用來定義質(zhì)點位置時，顯然可以獨立變化，因此可以作為廣義坐標。,運動方程建立：（3）變分方法（續(xù)）,將上式代入到Hamilton公式中，得：,用廣義坐標表示結(jié)構(gòu)體系中動能、勢能及非保守力做的虛功:,舉例：有限元法動力分析模型－梁元,1、結(jié)構(gòu)的離散化先把梁分成S個單元，再分別對單元和結(jié)點進行編號（見圖）。對于平面梁，結(jié)點的位移為結(jié)點所在截面的撓度和轉(zhuǎn)角，并被取作結(jié)點的廣義坐標。每個結(jié)點有兩個自由度,梁的離散化,舉例

8、：有限元法動力分析模型－梁元,2、單元特征 在梁上任取一單元，單元長度為l，如左圖所示。圖中坐標原點取在單元左端，x軸沿單元軸線。這種與單元相聯(lián)系的坐標系也稱為局部坐標系。設(shè)單元抗彎剛度為El(x)，單位長度的質(zhì)量為ρ，由于單元長度一般較小，所以 El(x) 、ρ均當作常量。,,梁單元的位移模式,,,,,,,,,,,,,形函數(shù)N(x),,舉例：有限元法動力分析模型－梁元,? 位移模式,舉例：有限元法動力分析模型－梁元,建立了單元的位移

9、模式后，其動能、勢能均可用結(jié)點的位移表示。單元的動能為,其中m為單元質(zhì)量矩陣，并有,? 質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,將插值函數(shù)矩陣表達式代入上式，經(jīng)積分后得到 ：,舉例：有限元法動力分析模型－梁元,單元的勢能可表示為：,其中k為單元剛度矩陣，并有：,同樣，代入插值函數(shù)矩陣，得：,舉例：有限元法動力分析模型－梁元,? 阻尼矩陣和廣義力矩陣,單元桿端力向量記為：,如果限于討論粘性阻尼，則單元長度分布的阻尼力可表示為：,當梁上發(fā)生虛位移δqe時，作用

10、在單元上所有外力的虛功為：,舉例：有限元法動力分析模型－梁元,按廣義力的定義有：,故廣義力列陣為：,其中,c是單元的阻尼矩陣。,舉例：有限元法動力分析模型－梁元,將得到的單元動能、勢能、廣義力的表達式代入拉格朗日方程中，便可寫出梁單元的運動微分方程為：,3、由拉格朗日方程建立單元運動方程：,拉格朗日運動方程：,,注意： 上面推導中要求質(zhì)量陣和剛度陣是對稱矩陣；,系統(tǒng)離散各方法的優(yōu)缺點,本章小結(jié),1、動力系統(tǒng)離散化方法