數(shù)學(xué)物理方程第1章

1、定義: 主要是指從物理學(xué)及其他各門(mén)自然科學(xué)、技術(shù) 科學(xué)中所產(chǎn)生的偏微分方程(有時(shí)也包括積分 方程、微分積分方程等), 例如特點(diǎn): 反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于 空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。范疇: 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基 本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍。,數(shù)學(xué)物理方程,“一切科學(xué)的理論，總是從實(shí)踐中來(lái)，又回到實(shí)踐中去，接受檢

2、驗(yàn)，指導(dǎo)實(shí)踐，同時(shí)在實(shí)踐中豐富和發(fā)展自己。”,力學(xué)問(wèn)題,,弦線振動(dòng)問(wèn)題,流體運(yùn)動(dòng)、彈性體振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、電磁作用、原子核-電子作用、化學(xué)反應(yīng),,,,,偏微分方程（基本規(guī)律）,偏微分方程（基本規(guī)律）,,求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題,,,,預(yù)測(cè)自然現(xiàn)象變化（氣象預(yù)報(bào)等）,各種工程設(shè)計(jì)（機(jī)械強(qiáng)度計(jì)算等）,物理問(wèn)題,數(shù)學(xué)問(wèn)題（方程）,求解的方法,分離變量法,特殊函數(shù),,,,,,邊界與初始泛定方程與定解條件,數(shù)學(xué),,數(shù)學(xué)物理方程,偏微分

3、方程理論,,偏微分方程理論,,新課題、新方法,,自然現(xiàn)象實(shí)際問(wèn)題,歷史悠久,對(duì)象、內(nèi)容、方法,,,,純粹數(shù)學(xué),,泛函分析復(fù)變函數(shù)微分幾何計(jì)算數(shù)學(xué),,,,多樣,復(fù)雜,,,解決問(wèn)題的工具,純粹數(shù)學(xué)、分支,自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué),數(shù)學(xué)物理方程,,,,分支,課 程 概 覽,二、熱傳導(dǎo)方程（拋物型）三、調(diào)和方程 （橢圓型）四、二階方程的分類總結(jié)五、一階偏微分方程組七、偏微分方程的數(shù)值解,一、波動(dòng)方程 （雙曲型）,1.

4、方程導(dǎo)出、定解條件2. 初值問(wèn)題求解3. 初邊值問(wèn)題求解,,,,,,,,,第一章 波動(dòng)方程,物理背景：波的傳播和彈性體振動(dòng)。,§1-1 一維波動(dòng)方程的導(dǎo)出、定解條件 首先，考察下面的物理問(wèn)題： 給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設(shè)其長(zhǎng)度為 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,基本假設(shè)：1. 弦是均勻的，弦的截面直徑與長(zhǎng)度相比可以忽略。 弦可以視

5、為一條曲線，線密度為常數(shù)。2. 弦在某平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)。弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小振動(dòng)。,基本規(guī)律： 牛頓第二定律 F=m*a,沖量定理 F?t=m*(v1-v2),,3. 弦是柔軟的，它在形變時(shí)不抵抗彎曲。 弦上各質(zhì)點(diǎn)的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長(zhǎng)變形 與張力的關(guān)系服從虎克定律。,,,,F?t=m*a* ?t,用u(x, t)表示弦點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于x軸的

6、位移。,由基本假設(shè)2可知，,與1相比可以忽略不計(jì)，所以,因此，可以認(rèn)為弦在振動(dòng)過(guò)程中并未伸長(zhǎng)，即可認(rèn)為張力大小與時(shí)間無(wú)關(guān),T(x,t),,T(x),（2）由于弦只在x軸的垂直方向作橫振動(dòng)，所以水平方向的合力為零，即,,,由基本假設(shè)2可知，,,,，所以,,因此，弦的張力大小與空間變量x無(wú)關(guān) ，可以把弦線的張力T(x)在x軸方向的分量看成常數(shù)Ｔ。,（1）任取一弦段(x, x+Δx)，它的弧長(zhǎng)為,（3）對(duì)于圖中選取的弦段而言，張力在x軸垂直

7、 方向上的合力為：,在時(shí)間段(t, t+Δt)內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量為：,（4）另一方面，在時(shí)間段(t, t+Δt)內(nèi)弦段(x, x+Δx)的動(dòng)量變化為：,（5）因此，根據(jù)沖量定理，得到：,從而有,進(jìn)一步由Δt， Δx 的任意性，有,假定有垂直于x軸方向的外力存在，并設(shè)其線密度為F(x,t)，則弦段(x, x+Δx)上的外力為：,它在時(shí)間段(t, t+Δt)內(nèi)的沖量為：,于是有：,進(jìn)一步由Δt， Δx 的任意性，有下面的弦振動(dòng)方程（

8、一維波動(dòng)方程）：,,,二維波動(dòng)方程（如薄膜振動(dòng)）,三維波動(dòng)方程（如電磁波、聲波的傳播）,弦振動(dòng)方程描述的是弦作微小橫振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)u(x, t)所應(yīng)滿足的一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦的具體運(yùn)動(dòng)狀況。這是因?yàn)橄业倪\(yùn)動(dòng)還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關(guān)系。 在前面的推導(dǎo)中，弦的兩端被固定在x=0和x=l兩點(diǎn)，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，這兩個(gè)等式稱為

9、邊界條件。此外，設(shè)弦在初始時(shí)刻t=0時(shí)的位置和速度為,這兩個(gè)等式稱為初始條件。邊界條件和初始條件總稱為定解條件。把微分方程和定解條件結(jié)合起來(lái)，就得到了與實(shí)際問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的定解問(wèn)題。,2. 定解條件,對(duì)于弦振動(dòng)方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問(wèn)題可以描述為：,要在區(qū)域,上（見(jiàn)右上圖）求上述定解問(wèn)題的解，就是,要求這樣的連續(xù)函數(shù)u(x, t) ，它在區(qū)域00中滿足波動(dòng)方程(1.19)；在x軸上的區(qū)間[0,l]上滿足初始條件(1.20)；

10、并在邊界x=0和x=l上滿足邊界條件(1.21)和 (1.22)。,一般稱形如(1.21)和(1.22)的邊界條件為第一類邊界條件，也叫狄利克雷（Dirichlet）邊界條件。,弦振動(dòng)方程的邊界條件通常還可以有以下兩種：,（a）設(shè)弦的一端（x=0）處于自由狀態(tài)，即可以在垂直于x軸的直線上自由滑動(dòng)，且未受到垂直方向的外力。由于在邊界右端的張力的垂直方向分量是,于是邊界處應(yīng)有,考慮更一般的情況，上述邊界條件可以寫(xiě)為,（b）弦的一端（x=l）

11、處于固定在伸縮符合胡克定律的彈性支承上，如果支承的初始位置為（u=0），那么在端點(diǎn)的u值表示支承的伸長(zhǎng)量，于是,這種邊界條件稱為第二類邊界條件，又稱諾依曼（Neumann）邊界條件,數(shù)學(xué)上，可以考慮更一般的情況，上述邊界條件寫(xiě)為,（第三類邊界條件）,偏微分方程的分類,分類依據(jù)：階數(shù)、線性性質(zhì)、齊次性。 階：偏微分方程所含有的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) 線性方程：方程對(duì)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)總體來(lái)說(shuō)是線性的。

12、 方程（1）,（2）,（3） 擬線性方程：方程對(duì)未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)總體來(lái)說(shuō)是線性的。 方程（4）,（5） 完全非線性方程：方程對(duì)未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)不是線性的。 方程（6） 齊次性：以方程（1）為例，函數(shù) f (x,y,z,t)與未知函 數(shù)無(wú)關(guān)（自由項(xiàng)），若該項(xiàng)恒為

13、零，則該 方程為齊次方程。反之，為非齊次方程。 邊界條件和初始條件也有齊次和非齊次之分。,3. 定解問(wèn)題適定性概念,解的存在性：定解問(wèn)題的解是否一定存在？解的唯一性：定解問(wèn)題的解是否只有一個(gè)？解的穩(wěn)定性：當(dāng)定解條件或自由項(xiàng)作很小的變化時(shí)，問(wèn)題的解是否也作很小的變化？定解問(wèn)題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定性。如果一個(gè)定解問(wèn)題的解是存在的，唯一的，而且是穩(wěn)定的，

14、我們就稱這個(gè)問(wèn)題是適定的，即認(rèn)為這樣的定解問(wèn)題的提法是合適的。除了研究定解問(wèn)題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究的問(wèn)題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）和定解問(wèn)題的求解方法（精確解、漸近解、數(shù)值解）等。,定解問(wèn)題的提法是否合適？,§1-2 達(dá)朗貝爾（d’Alembert）公式、波的傳播,1. 疊加原理,從本節(jié)開(kāi)始我們討論弦振動(dòng)方程的各類定解問(wèn)題。先介紹疊加原理。,在物理學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因

15、的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)（假設(shè)其他原因不存在）產(chǎn)生的效果的累加。這就是疊加原理。它對(duì)于用線性方程和線性定解條件描述的物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，都是成立的。,例如：若u1(x, t)是方程,的解，而u2(x, t)是方程,的解，則對(duì)于任意的常數(shù)C1、C2，函數(shù),是方程,的解。,典型例子：聲學(xué)中把弦線振動(dòng)時(shí)所發(fā)出的復(fù)雜的聲音分解成各種單音的疊加。,2. 弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法,為了考察波動(dòng)方程的定解問(wèn)題，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，即首先考察

16、邊界的影響可以忽略不計(jì)的情況。如果所考察的物體（弦線）長(zhǎng)度很長(zhǎng)，而我們所關(guān)注的又只是在較短時(shí)間內(nèi)且距離邊界較遠(yuǎn)的一段范圍中的運(yùn)動(dòng)情況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長(zhǎng)度視為無(wú)限長(zhǎng)。這樣的情況下，定解問(wèn)題歸結(jié)為如下形式：,在這個(gè)定解問(wèn)題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問(wèn)題(也稱柯西（Cauchy）問(wèn)題）。相應(yīng)地，前一節(jié)中的定解問(wèn)題(1.19)~ (1.22)由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為初邊值問(wèn)題或混

17、合問(wèn)題。,方程(2.5)中的自由項(xiàng)f(x,t)是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程(2.5)中f(x,t)恒為零的情況對(duì)應(yīng)于自由振動(dòng)；f(x,t)不為零的情況對(duì)應(yīng)于強(qiáng)迫振動(dòng)。,下面，我們求解上述初值問(wèn)題。首先注意到微分方程及定解條件都是線性的。對(duì)于這種定解問(wèn)題，同樣存在疊加原理，即若u1(x, t)和u2(x, t)分別是下述初值問(wèn)題,和,的解，那么u=u1(x, t)+u2(x, t)就一定是原初值問(wèn)題(2.5)、(2.6)的解。這樣求解初

18、值問(wèn)題(2.5)、(2.6)就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件的初值問(wèn)題(I)和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問(wèn)題(II),單獨(dú)初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)振動(dòng)過(guò)程的影響。,單獨(dú)考慮外力因素對(duì)振動(dòng)過(guò)程的影響。,首先，考察初值問(wèn)題(I)，它可以通過(guò)自變量變換的方法求解。引入新自變量：ξ=x-at， η=x+at，有,類似地，,代回原來(lái)的自變量，得通解為 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) （2.

19、14）,從而，得到,其通解為 u(ξ,η)=F(ξ)+G(η)，其中，F(xiàn)和G是任意可微分的單變量函數(shù)。,利用這個(gè)通解表達(dá)式，就可以利用初始條件(2.8)來(lái)決定函數(shù)F和G，進(jìn)而求出初值問(wèn)題(I)的解。把上述通解表達(dá)式代入初始條件(2.8)，得到：,(2.16)式是一個(gè)簡(jiǎn)單的常微分方程，求解它得到,由(2.15)和(2.17)式聯(lián)立求解可以得出函數(shù)F和G,把它們代入方程(2.7)的通解表達(dá)式(2.14)就得到了初值問(wèn)題(I)的

20、解,這個(gè)公式(2.19)稱為達(dá)朗貝爾公式。從以上推導(dǎo)過(guò)程可以看出：如果初值問(wèn)題(I) 有解，則解一定可以根據(jù)初始條件由達(dá)朗貝爾公式表達(dá)出來(lái)，因此該問(wèn)題的解是唯一的。 同時(shí)，若函數(shù)φ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，ψ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么可以驗(yàn)證公式(2.19)給出的的確是初值問(wèn)題(I)的解。存在性 另外，初值問(wèn)題(I)的解關(guān)于初始條件的連續(xù)依賴性也可以很容易地從達(dá)朗貝爾公式中看出。

21、穩(wěn)定性,定理2.1 設(shè),，那么初值問(wèn)題(2.7),(2.8)存在唯一的,解u(x,t)，它由達(dá)朗貝爾公式(2.19)給出。,如右圖所示，在t=0時(shí)， ?(x,0)=F(x)，它對(duì)應(yīng)于初始振動(dòng)狀態(tài)（弦在初始時(shí)刻各點(diǎn)位移狀態(tài)）。經(jīng)過(guò)時(shí)刻t0后， ?(x,t0)=F(x-at0)，在(x,u)平面上 ，它相當(dāng)于原來(lái)的圖形向右平移了一段距離at0。這說(shuō)明振動(dòng)的波形以常速度a向右傳播。因此，齊次波動(dòng)方程的形如F(x-at)的解所描述的運(yùn)動(dòng)規(guī)律稱為

22、右傳播波，同樣形如G(x+at)的解稱為左傳播波。并且，我們知道了方程(2.5)中的常數(shù)a實(shí)際上表示了波動(dòng)的傳播速度。（行波法）,3. 傳播波,由前文中推導(dǎo)可見(jiàn)，自由振動(dòng)情況下的波動(dòng)方程的解可以表示為形如F(x-at)和G(x+at)的兩個(gè)函數(shù)的和。由此可以特別清楚地看出波動(dòng)傳播的性質(zhì)。 考察?(x,t)=F(x-at) (a>0)，顯然它是齊次波動(dòng)方程的解。給出不同的t值就可以看出作一維振動(dòng)的物體在各個(gè)時(shí)刻的

23、相應(yīng)位置。,自己思考、討論,4. 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域,從達(dá)朗貝爾公式立即可以看出，初值問(wèn)題(I)的解在上半平面 (t>0)上點(diǎn)(x,t)處的值u(x,t)由初始資料φ(x)和ψ(x)在x軸的區(qū)間[x-at，x+at]上的值所唯一確定,而與φ(x)和ψ(x)在該區(qū)間以外的值無(wú)關(guān)。這個(gè)區(qū)間稱為點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)間。,對(duì)初始軸t=0上的一個(gè)區(qū)間[x1,x2]，過(guò)點(diǎn)x1作斜率為1/a的直線x=x1+at，過(guò)點(diǎn)x2作斜率為-1/

24、a的直線x=x2-at，它們和區(qū)間[x1,x2]一起構(gòu)成一個(gè)三角形區(qū)域。顯然，這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的依賴區(qū)間都在區(qū)間[x1,x2]內(nèi)部，因此，解在此三角形區(qū)域內(nèi)部的數(shù)值完全由區(qū)間[x1,x2]上的初始條件決定，與該區(qū)間外的初始條件無(wú)關(guān)。這個(gè)三角形區(qū)域稱為區(qū)間[x1,x2]的決定區(qū)域。,另一方面，如果在初始時(shí)刻t=0，初始資料φ(x)和ψ(x)的值在區(qū)間[x1,x2]上有變動(dòng)(初始擾動(dòng))。那么，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后該擾動(dòng)所影響到的范圍就由不等

25、式,所限定，而在此范圍外的區(qū)域則感受不到區(qū)間[x1,x2]上初始影響。在(x,t)平面上，上式所表示的區(qū)域(如下圖所示)稱為區(qū)間[x1,x2]的影響區(qū)域。區(qū)間[x1,x2]上的初始條件只能對(duì)上述區(qū)間的影響區(qū)域中初值問(wèn)題(I)的解u(x,t)產(chǎn)生影響，而不會(huì)影響到此區(qū)域外的 u(x,t)的數(shù)值。特別地，如果區(qū)間[x1,x2]收縮為一點(diǎn)，那么就得到了點(diǎn)的影響區(qū)域。,在前面的討論中，我們看到在(x,t)平面上斜率為1/a的直線x=x0-at和

26、x=x0+at對(duì)波動(dòng)方程的研究起著重要作用，它們稱為波動(dòng)方程的特征線。我們看到，擾動(dòng)實(shí)際上沿特征線傳播。擾動(dòng)以有限速率傳播，是弦振動(dòng)方程的一個(gè)重要特點(diǎn)。,例題：利用行波法來(lái)討論一端固定的半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問(wèn)題,為了求解此問(wèn)題，我們可以設(shè)想在x=0的左側(cè)仍然有弦存在,只是在振動(dòng)過(guò)程中x=0點(diǎn)始終不動(dòng)。問(wèn)題于是轉(zhuǎn)化為：如何將x>0上已知的初始函數(shù)延拓為整個(gè)直線-∞<x<+∞上的函數(shù)，并使得用延拓后的函數(shù)作初值的柯西問(wèn)題的解

27、在x=0點(diǎn)恒為零。,記Φ(x)及Ψ(x)是由φ(x)和ψ(x)分別延拓而得到的函數(shù)。由達(dá)朗貝爾公式，以Φ(x)及Ψ(x)為初值的柯西問(wèn)題的解為,要使U(x,t)在x=0點(diǎn)恒為零，就應(yīng)當(dāng)成立,為此只需要將φ(x)和ψ(x)分別作奇延拓就可以滿足上式，也就是說(shuō)，令,于是將上面定義的Φ(x)及Ψ(x)的表達(dá)式代入(2.25)式即得到問(wèn)題的解,(2.26),(2.27),(2.28),5. 齊次化原理,現(xiàn)在我們考察強(qiáng)迫振動(dòng)情形的初值問(wèn)題,為了求

28、解此問(wèn)題，我們可以利用下述的齊次化原理，把非齊次方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程的問(wèn)題來(lái)解決，這樣就可以直接利用前面關(guān)于齊次方程的結(jié)果。,由弦振動(dòng)方程的推導(dǎo)過(guò)程來(lái)看，自由項(xiàng)f(x,t)= F(x,t)/ρ表示時(shí)刻t時(shí)在x處單位質(zhì)量受到的外力，而?u/ ?t表示速度。如果我們把一個(gè)時(shí)間段[0,t]劃分成若干小的時(shí)段?tj = tj+1-tj (j=1,2,…,l)，在每一個(gè)小的時(shí)段?tj中， f(x,t)可以看作與時(shí)間無(wú)關(guān)，從而以 f

29、(x,tj)來(lái)表示。于是在時(shí)段?tj中自由項(xiàng)所產(chǎn)生的速度改變量為f(x,tj) ?tj。如果把這個(gè)速度改變量看作在時(shí)刻t = tj 時(shí)的初始速度，它所產(chǎn)生的振動(dòng)可以由下面的齊次方程的初值問(wèn)題描述：,將其解記為?(x,t; tj,?tj)，按照疊加原理，自由項(xiàng)f(x,t)所產(chǎn)生的效果可以看成無(wú)數(shù)個(gè)這種瞬時(shí)作用的疊加，這樣定解問(wèn)題(II)的解u(x,t)應(yīng)表示為,由于(2.31)為線性方程，所以?(x,t; tj,?tj)與?tj成正比，即

30、如果記W(x,t;τ)為如下齊次方程的定解問(wèn)題的解,那么有?(x,t; tj,?tj)=?tjW(x,t; tj) 成立。于是定解問(wèn)題(II)的解可以表示為,(2.32),于是我們可以得到如下的齊次化原理：若W(x,t;τ)是初值問(wèn)題(2.33)的解(其中τ是參數(shù))，則初值問(wèn)題(II)的解可以表示為,為了寫(xiě)出W(x,t;τ)的具體表達(dá)式，在初值問(wèn)題(2.33)中作變換t’=t-τ,于是有,利用達(dá)朗貝爾公式求出上述初值問(wèn)題(I)的解為,

31、(2.34),(2.36),再代入(2.34)式就得到初值問(wèn)題(II)的解,區(qū)域G為(ξ,τ)平面上過(guò)點(diǎn)(x,t)向下作兩特征線與ξ軸所夾的三角形區(qū)域，見(jiàn)右圖。上面我們通過(guò)對(duì)物理模型的分析，應(yīng)用疊加原理，得出了定解問(wèn)題(II)的解的表達(dá)式。它究竟是否確實(shí)為定解問(wèn)題(II)的解，還需要按照解的定義進(jìn)行數(shù)學(xué)上的驗(yàn)證。,§1-3 初邊值問(wèn)題的分離變量法,本節(jié)進(jìn)一步考察波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題，并介紹一種常用的解法—分離變量法。首先考察

32、波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題：,利用疊加原理，上述初邊值問(wèn)題可以分解為下面兩個(gè)初邊值問(wèn)題：,對(duì)于問(wèn)題(Ⅰ)我們?cè)O(shè)想先求出足夠多的變量分離形式的非平凡(即不恒為零)的特解u(x,t)=X(x)T(t)，然后把這些特解疊加得到問(wèn)題的最終解以下我們?cè)敿?xì)介紹如何運(yùn)用這一思想求解初邊值問(wèn)題：,1. 分離變量法,與上一節(jié)中一樣，關(guān)鍵是求解問(wèn)題(Ⅰ)，因?yàn)閱?wèn)題(Ⅱ)可以運(yùn)用齊次化原理歸結(jié)為問(wèn)題(Ⅰ)的求解。 問(wèn)題(Ⅰ)描述了兩端固定的弦作自由振動(dòng)

33、的物理過(guò)程。從物理學(xué)中我們知道：弦振動(dòng)發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的單音的疊加，對(duì)于每種單音，振動(dòng)時(shí)波形均為正弦曲線，其振幅依賴于時(shí)間t，即每個(gè)單音可以表示成 的形式。這種形式的特點(diǎn)是： u(x,t)中變量x和t被分離出來(lái)了。,(3.5),(3.6),將u(x,t)=X(x)T(t)帶入方程(3.4)，得到：,將上式分離變量，有：,在(3.8) 式中，左邊僅是t的函數(shù)

34、，右邊僅是x的函數(shù)，左右兩端要相等，只有等于同一個(gè)常數(shù)才可能。記這個(gè)常數(shù)為-λ(其值待定)，就得到：,這樣方程(3.8)就被分離為兩個(gè)常微分方程，可以通過(guò)求解這兩個(gè)方程來(lái)決定X(x)和T(t)，從而得到方程(3.4)的特解X(x)T(t)。為了使此解是滿足齊次邊界條件的非平凡解，就必須找出方程(3.10)的滿足邊界條件X(0)=0， X(l)=0的非平凡解。由常微分方程理論可知，方程(3.10)的通解隨λ>0, λ=0以及λ<

35、;0而不同，下面分以上三種情況討論。,情況A 當(dāng)λ<0時(shí)，方程(3.10)的通解為,要使它滿足邊界條件X(0)=0和 X(l)=0，就必有,從而推知C1=C2=0。故在λ<0的情況下不可能得到非平凡解。,(齊次線性代數(shù)方程組系數(shù)行列式不為零),情況B 當(dāng)λ=0時(shí)，方程(3.10)的通解為,要使它滿足邊界條件X(0)=0和 X(l)=0， X(x)也必恒為零。,情況C 當(dāng)λ>0時(shí)，方程(3.10)的通解為,要

36、使此解滿足邊界條件X(0)=0，則C1=0。再由X(l)=0，可知,為了使C2≠0，就必須有,,于是可以確定λ的取值為,這樣就找到了一族非零解：,數(shù)學(xué)上，稱(3.13)右端的函數(shù)為常微分方程(3.10)滿足邊界條件X(0)=0和 X(l)=0的固有函數(shù)（或特征函數(shù)），而λ=k2π2/l2 稱為相應(yīng)的固有值或特征值。,將固有值λk帶入方程(3.9)中，可求得其通解為,上式中Ak ，Bk 為任意待定常數(shù)。這樣我們就得到了方程(3.4)滿足邊

37、界條件u(0,t)=0和 u(l,t)=0的分離變量形式的特解:,現(xiàn)在我們?cè)O(shè)法作出這種特解的適當(dāng)?shù)木€性組合，以得出初邊值問(wèn)題(Ⅰ)的解。也就是說(shuō)，要確定出常數(shù)Ak 和Bk 使,滿足初始條件,(3.14),在(3.15)式中的級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，我們得到：,結(jié)合初始條件，應(yīng)有,將由(3.16)式表示的Ak ，Bk 代入(3.15)式中，就得到了用級(jí)數(shù)形式表示的初邊值問(wèn)題(Ⅰ)的解。,觀察發(fā)現(xiàn)Ak 和Bkkπa/l分別是φ(x)和ψ(x)在

38、區(qū)間[0,l]上正弦展開(kāi)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，即,前面的推導(dǎo)說(shuō)明了初邊值問(wèn)題(Ⅰ)如果有解，那么它的解可以表示為(3.15)式的級(jí)數(shù)形式，現(xiàn)在的問(wèn)題是：什么條件下，初邊值問(wèn)題(Ⅰ)的解一定存在？,定理3.1：若函數(shù)φ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，ψ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且,則弦振動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題(Ⅰ)的解是存在的，它可以由級(jí)數(shù)(3.15)給出， Ak和Bk 由(3.16)式確定。通常我們稱(3.17)式為 相

39、容性條件。,如果φ(x)和ψ(x)不滿足以上定理的條件，我們可以把φ(x)和ψ(x)看成函數(shù)列,的平均收斂極限，當(dāng)n很大時(shí)，因?yàn)榉匠毯瓦吔鐥l件都已滿足，初始條件也近似得到了滿足，由此可以把un(x,t)看成問(wèn)題的近似解。,2. 解的物理意義,由級(jí)數(shù)(3.15)可知，初邊值問(wèn)題(Ⅰ)的解是,的疊加，上式又可以寫(xiě)成,物理上，Nk稱為波的振幅，θk稱為波的初相位，ωk稱為圓頻率，它只與弦本身的性質(zhì)有關(guān)，因此也稱為固有頻率。于是(3.19)代

40、表這樣的振動(dòng)波：在所考慮的弦上各點(diǎn)均以同一頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；它們的相位相同，而振幅依賴于點(diǎn)x的位置。弦上位于x＝ml/k（m＝0，1，…，k）處的點(diǎn)在振動(dòng)過(guò)程中保持不動(dòng)，稱為節(jié)點(diǎn)。弦的這種振動(dòng)狀態(tài)叫做 駐波。,由此可見(jiàn)，初邊值問(wèn)題(Ⅰ)的解是由一系列頻率成倍增長(zhǎng)，且相位不同、振幅不同的駐波疊加而成的，所以分離變量法又稱為駐波法。 弦所發(fā)出的聲音，其音調(diào)由其振動(dòng)頻率決定，而聲音的強(qiáng)度則決定于振動(dòng)的振幅。弦所能發(fā)出的最低音所對(duì)應(yīng)

41、的圓頻率就是其最低固有頻率ω1 ＝πa/l，這個(gè)音稱為弦的基音。其余的圓頻率是ω1 的整數(shù)倍，稱為泛音。通常弦所發(fā)出的聲音即由基音和泛音疊加而成，物理上這一事實(shí)與分離變量法得到的結(jié)果是相符的。,3. 非齊次方程的情形,現(xiàn)在討論非齊次方程的初邊值問(wèn)題,與前一節(jié)中非齊次波動(dòng)方程初值問(wèn)題的情形完全類似，此時(shí)也成立著如下的齊次化原理。若W(x,t;τ)是初邊值問(wèn)題,的解(其中τ是參數(shù))，則初邊值問(wèn)題(II)的解可以表示為,為了寫(xiě)出W(x,t;τ

42、)的具體表達(dá)式，在初值問(wèn)題(2.28)中作變換t‘=t-τ，于是有,3.27,(3.28)與和初邊值問(wèn)題(Ⅰ) 屬于同一類，直接利用前面分離變量法的結(jié)果我們得到：,于是根據(jù)齊次化原理，初邊值問(wèn)題(II)的解為,可以證明，在f(x,t)二階連續(xù)可導(dǎo)，且在邊界滿足f(0,t)=f(l,t)=0的假設(shè)下，上面的級(jí)數(shù)確實(shí)是初邊值問(wèn)題(II)的解。,3.31,(3.30),(3.29),而,(3.31),應(yīng)用初始條件可得,,4. 非齊次邊界條件的

43、情形,最后討論弦振動(dòng)方程具有非齊次邊界條件的初邊值問(wèn)題，即,假設(shè)連續(xù)性條件和邊界取值條件滿足,利用疊加原理，這一問(wèn)題可以分解為初邊值問(wèn)題(I)、(II)和下面的,(3.32),(3.33),(3.34),(3.35),(3.36),(3.37),初邊值問(wèn)題(III)也可以歸結(jié)為初邊值問(wèn)題(I)和(II)求解，為此只要通過(guò)未知函數(shù)的適當(dāng)變換把邊界條件齊次化即可。首先找到一個(gè)滿足非齊次邊界條件的已知函數(shù),再作變換 V