5-橢球面的幾何特征與測(cè)量計(jì)算

1、第五章 地球橢球及 橢球面上的計(jì)算,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),山東科技大學(xué)測(cè)繪學(xué)院大地測(cè)量系,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),地球橢球面作為計(jì)算的基準(zhǔn)面,1、地球橢球要素（點(diǎn)，線、面等）的幾何特征及其數(shù)學(xué)性質(zhì) 地球橢球及其定位,橢球面的法截線及其曲率半徑,橢球面上的弧長計(jì)算,2、觀測(cè)元素由地面化算至橢球面,3、橢球面上的三角形解算和大地坐標(biāo)計(jì)算,問題：,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),測(cè)量的外業(yè)工作------地球表面（對(duì)地球表面進(jìn)行觀測(cè)）

2、 無法進(jìn)行嚴(yán)密的測(cè)量計(jì)算,地球橢球------在其表面完成測(cè)量計(jì)算工作 一個(gè)大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形體,用橢球來表示地球必須解決2個(gè)問題：一是橢球參數(shù)的選擇； 二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的定位。,第一節(jié) 地球橢球及其定位,一、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),橢 圓——NESW,旋轉(zhuǎn)軸——NS,子午圈——NRS,平行圈——C-C′,第一節(jié) 地球

3、橢球及其定位,一、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢圓的長半軸： a橢圓的短半軸： b橢圓的扁率：f第一偏心率: e第二偏心率：e′,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),a、b稱為長度元素,扁率反映了橢球體的扁平程度,e和e反映橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁,,,F1,F2,第一節(jié) 地球橢球及其定位,一、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系第一偏心率:第二偏心率： 扁率:偏心距：,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),關(guān)系：,由前面式子得：,,,,并得：,

4、推得：,同理可得：,,地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,第一節(jié) 地球橢球及其定位,一、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,幾種橢球幾何參數(shù),大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),我國所采用的的1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的1980國家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975國際橢球參數(shù)；而GPS應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。,,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,二、垂線偏差及其基本公式垂線偏差——地面一點(diǎn)上，鉛垂線方向

5、和相應(yīng)的橢球面法線方向之間的夾角。垂線偏差μ 的分量——子午圈分量ξ 和卯酉圈分量η,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),P1P2為橢球短軸，Q1Q2為赤道面，在橢球面上有一測(cè)站O， 將O點(diǎn)法線O1O向上延伸得到大地天頂Z，令OP平行于O1P1,則弧ZP=90°-B。,第一節(jié) 地球橢球及其定位,二、垂線偏差及其基本公式垂線偏差——地面一點(diǎn)上，鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法線方向之間的夾角。垂線偏差μ 的分量——子午圈分量ξ 和卯酉圈分量η

6、ξ=φ-B η=(λ-L)cosφA=α-(λ-L)sinφ=α-η·tanφ,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,,,OZ1為過O的鉛垂線，Z1為天文天頂，∠ZOZ1=u，即為O點(diǎn)垂線偏差?；1P=90°-φ。 ∠ZPZ1=λ-L。,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,,,,,,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,,

7、,天文方位角與大地方位角之間的關(guān)系,,,,,,,,,第一節(jié) 地球橢球及其定位,三、橢球的定位 橢球定位——將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置固定下來，確定測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測(cè)量起算數(shù)據(jù)。 橢球定位包括定位和定向兩個(gè)方面，定位指確定橢球中心的位置，定向則指橢球坐標(biāo)軸的指向。從數(shù)學(xué)上講，橢球的定位和定向就是確定大地直角坐標(biāo)系相對(duì)于地心坐標(biāo)系的平移量和旋轉(zhuǎn)角，即三個(gè)平移參數(shù)和三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度 。

8、經(jīng)典大地測(cè)量難以獲得這六個(gè)參數(shù)，橢球定位一般都是通過大地原地的天文觀測(cè)來實(shí)現(xiàn)的。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 地球橢球及其定位,三、橢球的定位橢球的定位一般滿足一下三個(gè)條件：⑴橢球的短軸與某一指定歷元的地球自轉(zhuǎn)軸相平行；⑵起始大地子午面與起始天文子午面相平行；⑶在一定區(qū)域范圍內(nèi)，橢球面與大地水準(zhǔn)面（或似大地水準(zhǔn)面）最為密和。前兩個(gè)條件為定向條件，,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 地球橢球及其定位,三、橢球的定位,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),條件:

9、橢球定位通過大地原點(diǎn)的天文觀測(cè)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于大地原點(diǎn)：B0= ψ0-ξ0, L0= λ0-η0·secψ0 A0= α0-η0·tanψ0, H0= H0常+ζ0 初期定位時(shí)，ξ0，η0，ζ0未知，可取為0。 根據(jù)大地測(cè)量和天文測(cè)量數(shù)據(jù)，在 條件下，求出原點(diǎn)的ξ0，η0，ζ0值。 ξ (ksi

10、克西)，η（eit艾塔），ζ（zat截塔）單點(diǎn)定位，多點(diǎn)定位,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,基本概念法截面——包含曲面一點(diǎn)法線的平面。法截線——法截面與曲面的截線。子午圈——包含短軸的平面與橢球面的交線。卯酉圈——與橢球面上一點(diǎn)子午圈相垂直的法截線，為該點(diǎn)的卯酉圈。平行圈——垂直于短軸的平面與橢球面的交線。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,一、平行圈半徑r與卯酉圈曲率半徑N的關(guān)系,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié)

11、橢球面上法截線曲率半徑,一、平行圈半徑r與卯酉圈曲率半徑N的關(guān)系,,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,由麥尼厄定理：,,,,,,,,,,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),卯酉圈曲率半徑,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,二、子午圈曲率半徑M,,,,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,,,,,,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,曲面上任一點(diǎn)的切平面上，存在兩個(gè)垂直的特殊方向，使法截線的曲率達(dá)到最大值和最小值。 這兩個(gè)方向稱為主方

12、向，其相應(yīng)的法截線曲率稱為主曲率，法截線曲率半徑稱為主曲率半徑。 卯酉圈曲率半徑N最大，子午圈半徑M最小，任一點(diǎn)的卯酉圈和子午圈的切線方向，就是橢球面在該點(diǎn)的主方向，其曲率半徑N和M稱為主曲率半徑。 橢球面上任一點(diǎn)處的平行圈與卯酉圈具有公共切線，所以，經(jīng)線和緯線上每一點(diǎn)的切線都是橢球面在該點(diǎn)主方向。,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,二、子午圈曲率半徑M,,,表 M、N隨

13、B變化的規(guī)律,,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,三、任意方向法截線曲率半徑RA,,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),和,、,、,（1）相對(duì)于主方向?qū)ΨQ位置的法截線具有相同的曲率半徑。,(2)橢球面上任一點(diǎn)相互垂直的兩個(gè)法截線曲率之和是固定值，且等于兩個(gè)主方向曲率之和。,法截線具有下列特性,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,四、平均曲率半徑,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,,,設(shè),則,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,四、平均曲率半徑此時(shí)積分限

14、要作相應(yīng)變更：當(dāng)A=0時(shí)，t=0； 時(shí)， 。照此換元后，經(jīng)積分得到下式，,,五、曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,,,,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,,五、曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,六、M，N，R的關(guān)系 N > R > M N90= R90= M90= c,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第三節(jié) 橢球面

15、上弧長計(jì)算,一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計(jì)算，橢球面上大地問題解算） 1、計(jì)算B=0到B的子午圈弧長X由M=dX/dB得： 將 代入上式，從0到B積分，可得X。 可知，X是B的函數(shù)。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,第三節(jié) 橢球面上弧長計(jì)算,一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計(jì)算，橢球面上大地問題解算） 2、計(jì)算已知緯度B1和B2之間的子午圈弧長△X（1）分別計(jì)算0到B1和0到B2之間的子午圈弧長X1和X2，然后求△X=X

16、2-X1；（2）用上述積分式求B1～B2之間的子午圈弧長△X。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第三節(jié) 橢球面上弧長計(jì)算,二、平行圈弧長 平行圈是一個(gè)半徑等于 r=N·COSB的圓，緯度B處經(jīng)度L1～L2之間的平行圈弧長,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,一、相對(duì)法截線,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,假定經(jīng)緯儀的縱軸同A，B兩點(diǎn)的法線重合（忽略垂線偏差），如此以兩點(diǎn)為測(cè)站，則經(jīng)緯儀的照準(zhǔn)面就是法截面。用A點(diǎn)照準(zhǔn)B點(diǎn)，則照準(zhǔn)面同橢球

17、面的截線為a，叫做A點(diǎn)的正法截線，或B點(diǎn)的反法截線；同理，由B照A點(diǎn)，則照準(zhǔn)面同橢球面的截線為b，叫做B點(diǎn)的正法截線，或A點(diǎn)的反法截線。因法互不相交，故和這兩條法截線不重合。我們把和叫做A、B兩點(diǎn)的相對(duì)法截線。,第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,一、相對(duì)法截線 設(shè)Q1和Q2兩點(diǎn)既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法線Q1n1和Q2n2不相交。法截線Q1m1Q2和Q2m2Q1稱為兩點(diǎn)間的相對(duì)法截線。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,第四

18、節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,一、相對(duì)法截線正反法截線之間的夾角△：令Bm=45°，A=45°，不同距離S求得的△值為：    S               △  100km     

19、;     0.042″  60km           0.015″  30km           0.004″ 在長距離的測(cè)量中，對(duì)向觀測(cè)所得3個(gè)內(nèi)角不能組成閉合

20、三角形，需在兩點(diǎn)間選擇一條單一曲線——大地線。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,二、大地線及其幾何特征1、大地線——曲面上兩點(diǎn)間的最短曲線。或：大地線是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點(diǎn)處的密切平面都包含曲面在該點(diǎn)的法線。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,二、大地線及其幾何特征2、大地線幾何特征大地線與相對(duì)法截線間的夾角為δ=△/3。大地線與相對(duì)法截線間的長度之差甚微，600km時(shí)二者之差僅為0.

21、007mm。兩點(diǎn)位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,二、大地線及其幾何特征,,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,三、大地線微分方程和克萊勞方程 大地線的解析特性—表述dB、dL、dA與dS的關(guān)系： 大地線的三個(gè)微分方程：,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,三、大地線微分方程和克萊勞方程 大地線的解析特性——表述dB、dL、dA與

22、dS的關(guān)系： 大地線的克萊勞方程 ：,,r·sinA=常數(shù) 對(duì)于橢球面上一大地線而言，每點(diǎn)處平行圈半徑與該點(diǎn)處大地線方位角正弦的乘積是一個(gè)常數(shù)。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),利用這個(gè)關(guān)系式可以檢查緯度與方位角計(jì)算的正確性,第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,四、地面觀測(cè)方向歸算至橢球面----三差改正 1、垂線偏差改正δ12、標(biāo)高差改正δ23、截面差改正δ3,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,四、地面觀測(cè)方向歸

23、算至橢球面 1、垂線偏差改正δ1 將地面測(cè)站點(diǎn)鉛垂線為基準(zhǔn)的觀測(cè)方向換算成橢球面上以法線為準(zhǔn)的觀測(cè)方向，其改正數(shù)δ1為：δ1= -（ξsinA-ηcosA）tanα例：A=0°，tanα=0.01，ξ=η=5″，則δ1=0.05″。 垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差和觀測(cè)方向的天頂距（或沒垂直角）。僅在國家一、二等三角測(cè)量計(jì)算中，才規(guī)定加入此項(xiàng)改正。,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算

24、至橢球面,四、地面觀測(cè)方向歸算至橢球面 2、標(biāo)高差改正δ2 因照準(zhǔn)點(diǎn) B高出橢球面某一高度 H2，使得在A點(diǎn)照準(zhǔn)B點(diǎn)的法截線Ab′與Ab之間有一夾角δ2。B2 照準(zhǔn)點(diǎn)的大地緯度；A1 測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),H2 照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程； M1 測(cè)站點(diǎn)子午圈曲率半徑。,例：A1=45°，B2=45°，H2=2000m，δ1=0.1″局部地區(qū)的控制測(cè)量一般不

25、必考慮此項(xiàng)改正。,第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,四、地面觀測(cè)方向歸算至橢球面 3、截面差改正δ3 將橢球面上法截線方向換算為大地線方向所加的為截面差改正數(shù)δ3。例：A1=45°，Bm=45°，S=30km,δ3=0.001″,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),截面差改正主要與測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)間的距離有關(guān)。只有在國家一等三角測(cè)量計(jì)算中，才進(jìn)行改正。,第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,五、地面觀測(cè)距離歸算至橢球面

26、 設(shè)A、B兩點(diǎn)的大地高分別為H1,H2，h=H2-H1，d為空間直線長。由三角形AOB按余弦公式可得： 弦長弧長,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),方法一：按球面三角形解算公式 方法二：將球面三角形改化為對(duì)應(yīng)邊相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。,第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,六、橢球面上的三角形解算 目的——將方向觀測(cè)值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長。,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),球面

27、三角形球面角超 ，△為三角形面積。,第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,六、橢球面上的三角形解算 目的——將方向觀測(cè)值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長。,,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,球面三角形：,,,,,,,,,,,第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,平面三角形：,,,,令：,,則：,,,,,,第

28、五節(jié) 橢球面上大地問題解算,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),一、概述,大地元素： 大地經(jīng)度L， 大地緯度B， 大地線長度S， 正反大地方位角A12、A21,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,（一）解算內(nèi)容 大地問題正解——已知P1點(diǎn)大地坐標(biāo)（B1，L1）、P1P2大地線長S和大地方位角A1，推求P2點(diǎn)大地坐標(biāo)（B2，L2）和大地方位角A2。 大地問題反解——已知P1P2兩點(diǎn)的大

29、地坐標(biāo)（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地線長S和大地方位角A1、A2。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),一、概述,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,一、概述（二）解算方法 1、按解算的距離分為短距離（<400km)、中距離（400～1000km)和長距離（1000～2000km)的解算。 2、直接解法和間接解法 直接解法——直接解求點(diǎn)B、A和相鄰起算點(diǎn)的大地經(jīng)差。長距離 間接解法——先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角

30、差，再加入到已知點(diǎn)的相應(yīng)大地?cái)?shù)據(jù)中。主要用于短距離大地問題的解算。 短距離,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),按照臺(tái)勞級(jí)數(shù)將P1和P2兩點(diǎn)的緯差b、經(jīng)差l和方位角α差展開成為大地線長度S的冪級(jí)數(shù)，稱為勒讓德級(jí)數(shù)式。,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),勒讓德級(jí)數(shù)式：,一、概述（二）解算方法,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,一、概述（二）解算方法 3、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適用于短距離）。 基本思路：（在大地線的中點(diǎn)（S/

31、2）處展開）a、按照平均引數(shù)展開的臺(tái)勞級(jí)數(shù)把大地線兩端點(diǎn)的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長S的冪級(jí)數(shù)；b、利用大地線微分方程推求冪級(jí)數(shù)中各階導(dǎo)數(shù)，最終得到大地問題解算公式。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,二、高斯平均引數(shù)公式（一）按平均引數(shù)展開的臺(tái)勞級(jí)數(shù) 平均引數(shù)xm為xo、xa的中點(diǎn)，將f(xa)、f(xo)都以xm為出發(fā)點(diǎn)展為臺(tái)勞級(jí)數(shù)。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,所以：,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,二、

32、高斯平均引數(shù)公式（二）高斯平均引數(shù)正解公式推求步驟：1、經(jīng)差l、緯差b、方位角差a是S的函數(shù)，故可以將其展為S的臺(tái)勞級(jí)數(shù)（按平均引數(shù)在 S/2處展為S的冪級(jí)數(shù)）。2、引入大地線兩端點(diǎn)的平均緯度和平均方位角，將dL/dS以Bm、Am按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開。3、根據(jù)大地線微分方程求臺(tái)勞級(jí)數(shù)中的系數(shù)。4、將系數(shù)代入平均引數(shù)公式。5、由于B2、A2未知，Bm、Am精確值未知，可通過逐次趨近法求出一般三次即可。,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第五節(jié) 橢球面

33、上大地問題解算,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),,,已經(jīng)有4次項(xiàng)的精度,,,第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,二、高斯平均引數(shù)公式（三）高斯平均引數(shù)反解公式推求步驟：1、已知兩點(diǎn)間的緯差b、經(jīng)差l和平均緯度Bm，導(dǎo)出 SsinAm和 ScosAm，求a″。2、由SsinAm、ScosAm和 a計(jì)算S和A1、A2。三、高斯平均引述的實(shí)用公式,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),第五節(jié) 橢球面上大地問題解算,大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ),四、貝塞爾大地問題解算方法,將橢球面上的大地元素