3.1-3.2-基本概念-聲學量-波動方程-速度勢函數(shù)3學時

1、第三章 理想流體介質(zhì)中小振幅波的基本規(guī)律,振 動 與 聲 基 礎,,3.1 基本聲學量和理想流體中的基本方程,主要內(nèi)容,3.1.1 基本聲學量3.1.2 理想流體中三個基本方程,,,聲音的產(chǎn)生,,,聲音的產(chǎn)生,,蘇東坡在赤壁賦中說: “耳得之而為聲”,什么是聲音？,聲音的產(chǎn)生,,聲音是由聲源的機械振動產(chǎn)生的，聲源的振動狀態(tài)，通過周圍介質(zhì)向四周傳播形成聲波。 從物理學來說，聲波就是介質(zhì)中的機械波。,,聲音的產(chǎn)生,,聲波（so

2、und wave ）是一種機械波；產(chǎn)生聲波的兩個必要條件： 聲源（ sound source）－機械振動的物體介質(zhì)（medium ）－機械振動賴以傳播的介質(zhì),聲音的產(chǎn)生,,,聲音的產(chǎn)生,,聲波傳播時，介質(zhì)質(zhì)點只在平衡位置附近振動，并沒有隨聲波傳播。,聲音的產(chǎn)生,,聲音可以在一切彈性介質(zhì)中傳播。縱波：聲波的傳播方向與質(zhì)點振動方向一致。橫波：聲波的傳播方向與質(zhì)點振動方向垂直。,聲音的產(chǎn)生,,縱波傳播過程,聲音的產(chǎn)生,,縱波傳

3、播過程,聲音的產(chǎn)生,,橫波傳播過程,聲音的產(chǎn)生,,空氣中和水中的聲波的傳播方向與質(zhì)點振動方向是一致的，屬于縱波。 固體中由于有切應力，除有縱波外，還同時存在橫波。 僅討論聲波的宏觀性質(zhì)，不涉及介質(zhì)的微觀特性,聲音的產(chǎn)生,,聲音的產(chǎn)生,,聲波在介質(zhì)中傳播的速度，稱為聲波的傳播速度。,聲音的產(chǎn)生,,重點總結(jié)！,1、聲音的實質(zhì)－聲音是介質(zhì)中的機械波2、聲波產(chǎn)生的兩個基本條件 （1）聲源 （2）傳聲介質(zhì),3.1.1 基

4、本聲學量,主要內(nèi)容,1、聲壓－壓強的變化量2、質(zhì)點振速－介質(zhì)運動速度的變化量3、壓縮量－介質(zhì)密度相對變化量,,,連續(xù)介質(zhì)中，任意一點附近的運動狀態(tài)可用壓強、密度和介質(zhì)的運動速度表示。壓強：介質(zhì)運動速度密度,,,,1、聲壓的基本概念,,聲波作用引起各點介質(zhì)壓縮和伸張，各點的壓強比靜壓可大可小，聲壓有正有負。,,1、聲壓的基本概念,聲學中，也可用聲壓級（SPL）表示聲壓的大小。SPL=20log10（p/pref）（dB） （分

5、貝）,,在聲波的作用下，介質(zhì)質(zhì)點圍繞其平衡位置作往復運動，其瞬時位置及振動位移和瞬時速度隨時間變化，可用質(zhì)點位移或速度描述聲場。,2、質(zhì)點振速的基本概念,,設沒有聲波擾動時，介質(zhì)的靜態(tài)流速為在聲波的作用下流速變?yōu)榱魉俚母淖兞?即為介質(zhì)質(zhì)點的振動速度,振動速度的單位是在空氣中，1帕的聲壓對應的振速約為相應于頻率1000Hz聲音的質(zhì)點位移約為聲場中介質(zhì)質(zhì)點位移振幅是很小的水中1帕的聲音，相應的振速約為 相應于1

6、000Hz聲音的位移僅為 米水中質(zhì)點位移比空氣中質(zhì)點位移更小,,,,,,2、質(zhì)點振速的基本概念,,米,設沒有擾動時，介質(zhì)的靜態(tài)密度為在聲波的作用下變?yōu)?,,,,3、密度逾量,為介質(zhì)中聲場的密度逾量。,MKS制中，基本單位：kg/m3,為介質(zhì)壓縮量,也稱介質(zhì)密度的相對變化量s（無量綱）,定義：,定義：,,注意：,聲場中的質(zhì)點振速和聲波的傳播速度 是兩個概念。,,,重點總結(jié)！,1、聲壓－壓強的變化量2、質(zhì)點振速－介質(zhì)流速

7、的變化量3、密度逾量－介質(zhì)密度的變化量,聲學量——描述聲波作用的量。,波動方程的推導,聲波的波動方程：描述聲場空間、時間變化規(guī)律和相互聯(lián)系的方程。,,基本思路,,,波動方程,連續(xù)性方程狀態(tài)方程 運動方程,質(zhì)量守恒定律熱力學關系（能量守恒定律）牛頓第二定律（動量守恒定律),三個基本方程,三個基本物理定律,,,,,（1）理想，介質(zhì)中機械運動無機械能損耗;（2）流體，介質(zhì)中任一面元

8、受力方向總是 垂直于面元；（3）連續(xù)性，介質(zhì)中質(zhì)團連續(xù)分布無間隙；（4）介質(zhì)質(zhì)團同時具有質(zhì)量和彈性性質(zhì)。 正是因為介質(zhì)質(zhì)團同時具有彈性和質(zhì)量， 才能形成波---振動的傳播。,理想流體介質(zhì),假設條件,聲波為小振幅聲波－線性波動方程,,1、連續(xù)性方程2、狀態(tài)方程3、運動方程,3.2.1 理想流體中三個基本方程,主要內(nèi)容,,,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個基本方程,依據(jù)質(zhì)量守恒，建立 關系

9、。,質(zhì)量守恒定律，在連續(xù)介質(zhì)中，如果流進與流出某一空間體積的流體質(zhì)量不等，則必將引起該體積中介質(zhì)密度的變化。,,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個基本方程,,M點的密度為：,,,設某一瞬時t，介質(zhì)質(zhì)點流過M點的速度向量,單位時間內(nèi)通過M點單位面積的介質(zhì)質(zhì)量為,,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個基本方程,,,,（1）在dt時間段，介質(zhì)質(zhì)點X方向流速引起的在dxdydz 框中介質(zhì)質(zhì)量的變化：,,dt時間段從ABCD面流入dxdydz框中

10、的質(zhì)量：,dt時間段從EFGH面流入dxdydz框中的質(zhì)量：,所以，在dt時間段，介質(zhì)質(zhì)點沿OX方向流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量增加為：,同理, 時間內(nèi)沿 方向流量在 中的凈余量分別為,,,,理想流體中三個基本方程,,,,（2）在dt時間段，介質(zhì)質(zhì)點Y方向和Z方向流速 引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量的變化：,1、連續(xù)性方程,,理想流體中三個基本方程,,,所以，在dt時間段，介質(zhì)質(zhì)

11、點流速 引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量的增加為：,1、連續(xù)性方程,,1、連續(xù)性方程,,理想流體中三個基本方程,,,（3）推導連續(xù)性方程,因為，dxdydz框沒有變，所以質(zhì)量的變化改變了dxdydz框內(nèi)介質(zhì)的密度：,,流體的流動使得元體積內(nèi)的質(zhì)量增加密度變化使得元體積內(nèi)質(zhì)量的增加,,等于,1、連續(xù)性方程,依據(jù)質(zhì)量守恒定律：,,理想流體中三個基本方程,,,得：,,,-連續(xù)性方程,所以：,1、連續(xù)性方程,,理想

12、流體中三個基本方程,哈密頓算符：梯度：標量函數(shù) 的梯度散度：矢量場 的散度,,,理想流體中三個基本方程,數(shù)學知識,,,,,連續(xù)性方程表示為 稱為流通密度:單位時間內(nèi)流過與速度方向垂直的單位面積的質(zhì)量。,,,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個基本方程,連續(xù)性方程：表示流通密度在某一點散度的負值等于該點介質(zhì)密度的時間變化率。,,（4）均勻、靜止理想流體中小振幅波的連續(xù)性方程,

13、,,據(jù)，聲學量定義，有：,小振幅波的含義是指：小振幅波的聲學量和聲學量的各階時間或空間導數(shù)為一階小量。,均勻的含義是指：靜止的含義是指： 由連續(xù)性方程：,得：,,,1、連續(xù)性方程,,理想流體中三個基本方程,,略去二階小量：,,,,,理想流體中三個基本方程,1、連續(xù)性方程,,,1、連續(xù)性方程,,,連續(xù)性方程,理想流體中三個基本方程,！得到的均勻、靜止理想流體中小振幅波的連續(xù)性方程為：,,記??！,聲波作用下介質(zhì)產(chǎn)生壓縮伸張變化，介質(zhì)

14、的密度和壓強都發(fā)生變化。 假設聲波作用的熱力學過程是等熵絕熱過程，意味著聲波能量在質(zhì)團形變過程中沒有損失。,,2、狀態(tài)方程,理想流體中三個基本方程,依據(jù)熱力學定律，建立 關系。,,據(jù)熱力學定律，質(zhì)量一定的理想流體中，獨立的熱力學參數(shù)只有三個。例如，取熱力學參數(shù)：壓強 、密度 及熵值 ，則有關系：,如果，在聲波作用下， 經(jīng)“等熵過程”，從則在 點作 冪級數(shù)展開，有：,,,

15、,2、狀態(tài)方程,,理想流體中三個基本方程,,,,如果是小振幅波，則聲學量和聲學量的各階時間或空間導數(shù)為一階小量。略去高階小量，有：,,,,2、狀態(tài)方程,,理想流體中三個基本方程,,,定義, 為介質(zhì)的等熵波速。 它是介質(zhì)的固有性質(zhì)。（后續(xù)課可知它與介質(zhì)中波傳播的速度有關）,是速度量綱; M.K.S制中,單位: m/s (米/秒),?。〉玫降木鶆?、靜止理想流體中小振幅波的狀態(tài)方程為：,,,狀態(tài)

16、方程,2、狀態(tài)方程,,記?。?理想流體中三個基本方程,,理想流體中三個基本方程,3、運動方程,,,依據(jù)牛頓第二定律, 建立 關系。,介質(zhì)中取質(zhì)量微團ABCDEFGH六面體,邊長分別為：分析其受力：,dx，dy，dz,周圍流體對該六面體的壓力： 首先分析x方向受力：,,,（1）運動方程推導,作用在ABCD面上和EFGH面上的總壓力分別為,,,理想流體中三個基本方程,3、運動方程,沿 方向的合力為,,同理得

17、 方向的合力為,,,,理想流體中三個基本方程,3、運動方程,利用哈密頓算子， 表示質(zhì)量微團受到的合力：,,根據(jù)牛頓定律，得運動方程,靜壓強 ＝常數(shù),,,,,,,理想流體中三個基本方程,3、運動方程,所以：,,,（2）均勻、靜止理想流體小振幅波的運動方程,,是質(zhì)點 的加速度。,,,,3、運動方程,理想流體中三個基本方程,如果為小振幅波，則聲學量和聲學量的各階時間或空間導

18、數(shù)為一階小量。,忽略高階小量,,根據(jù)，多元函數(shù)微分公式，有：,,,運動方程,3、運動方程,理想流體中三個基本方程,記??！,,又稱尤拉方程：表示介質(zhì)中質(zhì)點的加速度與密度的乘積等于沿加速度方向的壓力梯度的負值。,?。?！得到均勻、靜止理想流體中小振幅波的運動方程為：,忽略高階小量：,,,3.2 理想流體中小振幅波波動方程 和速度勢函數(shù),3.2.1 流體中小振幅波波動方程3.2.2 速度勢函數(shù),3.2.1 流體中小振幅波波動方程,運動

19、方程,狀態(tài)方程,連續(xù)性方程,,,,,（1）,（2）,（3）,,均勻、靜止理想流體中,小振幅波基本聲學量的方程：,聲學量 之間的三個關系式,對上三式消元，可以得到一個基本聲學量的方程。,對于物理可實現(xiàn)函數(shù)，有： 則：,(4)代入(5), 得:,,(4)(5)(6),(7),,,,,3.2.1 流體中小振幅波波動方程,小振幅聲波的波動方程,,,理想、均勻、靜止流體中的小振幅波的聲壓波

20、動方程。,小振幅聲波的波動方程,直角坐標系中：,拉普拉斯算子，對不同坐標系具有不同形式。,3.2.1 流體中小振幅波波動方程,定義：速度勢函數(shù)，如果運動是無旋的，則質(zhì)點振速 可用標量函數(shù) 的負梯度表示,,,稱為速度勢函數(shù),,3.2.2 速度勢函數(shù),,小振幅聲波的波動方程,在不同坐標系中，其分速度有不同的表示式直角坐標系球坐標系柱坐標系,,,,小振幅聲波的波動方

21、程,,3.2.2 速度勢函數(shù),式子 和式子,,,小振幅聲波的波動方程,速度勢波動方程,,分別對時間微分，比較后得到,,狀態(tài)方程可寫為連續(xù)性方程寫為兩式聯(lián)立，可得,,,小振幅聲波的波動方程,速度勢波動方程,,將 和,代入式,,速度勢的波動方式,小振幅聲波的波動方程,速度勢波動方程,,得,只要求出滿足初始和邊界條件的速度勢波動方程的解。就可通過微分形式求出聲場中的