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文檔簡介
1、說說數(shù)論領(lǐng)域的那些猜想,數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支之一,主要研究整數(shù)的性質(zhì)。整數(shù)可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(shù)(像黎曼ζ函數(shù))中包括了一些整數(shù)、質(zhì)數(shù)的性質(zhì),透過這些函數(shù)也可以了解一些數(shù)論的問題。透過數(shù)論也可以建立實(shí)數(shù)和有理數(shù)之間的關(guān)系,并且用有理數(shù)來逼近實(shí)數(shù)。按研究方法來看,數(shù)論大致可分為初等數(shù)論和高等數(shù)論。初等數(shù)論是用初等方法研究的數(shù)論,它的研究方法本質(zhì)上說,就是利用整數(shù)環(huán)的整除性質(zhì),主要包括整除理論、同余理論等理論。
2、高等數(shù)論則包括了更為深刻的數(shù)學(xué)研究工具。它大致包括代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、計算數(shù)論等等。,關(guān)于數(shù)論,求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根,稱為丟番圖(約210-290,古希臘數(shù)學(xué)家)方程可解。,數(shù)學(xué)猜想的意義,希爾伯特的23個問題,希爾伯特(Hilbert D.,1862.1.23~1943.2.14)是二十世紀(jì)上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地,從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)。,1900年,希爾伯特
3、在巴黎數(shù)學(xué)家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯浚@就是著名的"希爾伯特23個問題"。,希爾伯特的23個問題之第10個問題,希爾伯特(Hilbert D.,1862.1.23~1943.2.14)是二十世紀(jì)上半葉德國乃至全世界最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地,從而把他的思想深深地滲透進(jìn)了整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)。,(10)能否通過有限步驟來判定不定方(丟番圖)程是否存在有理整數(shù)解?,他是解
4、析幾何的發(fā)明者之一;,皮埃爾·德·費(fèi)馬,法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家。他在數(shù)學(xué)上的成就不比職業(yè)數(shù)學(xué)家差,他似乎對數(shù)論最有興趣,亦對現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻(xiàn)。被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。,解析幾何:笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的,而費(fèi)馬則是從方程出發(fā)來研究軌跡的,這正是解析幾何基本原則的兩個相對的方面。,對于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓、萊布尼茨,他還是概率論的主要創(chuàng)始人,以及獨(dú)撐17世紀(jì)數(shù)論天地的人。,費(fèi)馬建立了求切線、求極
5、大值和極小值以及定積分方法,對微積分做出了重大貢獻(xiàn)。,費(fèi)馬猜想—?dú)v經(jīng)三個世紀(jì)的猜想,1953年出生1980年劍橋大學(xué)克萊爾學(xué)院博士位1981年到美國普林斯頓高等研究院任研究員。1981~1984 宅著寫論文,扣住慢慢發(fā)1985年 開始費(fèi)馬問題的研究,7年后,宣布證明成功。證明共200頁,分六章。6個人分別審稿一章,發(fā)現(xiàn)有bug。但一年后才修復(fù)。,素數(shù),中古時代,印度人引進(jìn)了符號 “1,2,3,4,5,6,7,8,9,0”
6、,它共可以分成三類:1 (大佬,無人敢與其爭鋒);素數(shù)(素數(shù)也叫質(zhì)數(shù),只能被1和其自身整除的數(shù));合數(shù)(可以被1和自身以外的某個自然數(shù)整除的數(shù))。,素數(shù)是數(shù)學(xué)中美妙的音樂,美麗的女神,有著很多讓人捉摸不透的秘密。傳說大數(shù)學(xué)家歐拉說過:“一直以來,數(shù)學(xué)家總是在孜孜不倦地尋找素數(shù)規(guī)律,但是很難成功。我們可以把素數(shù)看作人類思維無法滲透的奧秘?!?(1)先把1刪除(因?yàn)?不是質(zhì)數(shù))(2)把2留下(最小的偶數(shù)質(zhì)數(shù)),然后把2
7、的倍數(shù)刪去(3)把3留下,然后把3的倍數(shù)刪去(4)把5留下,然后把5的倍數(shù)刪去(5)同理繼續(xù)進(jìn)行下去,直到把所有數(shù)要么留下,要么刪除這樣如果紙上最大的數(shù)是N,則上述方法可以產(chǎn)生N以內(nèi)素數(shù)的分布表。,公元前三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家埃拉托色尼提出了一個叫“過篩”的方法,造出了世界上第一張素數(shù)表,就是按照素數(shù)大小排成的表。把自然數(shù)按其大小一個一個寫上去;然后按下列法則把合數(shù)挖掉:,素數(shù)的分布隨著N的變大,變得越稀疏。比如1
8、到10之間有4個素數(shù);100之內(nèi)有25個素數(shù),1000之內(nèi)有168個素數(shù),100萬之內(nèi)有78498個素數(shù)。,素數(shù)分布不是均勻的,越到后面越稀疏。,(40%)(25%)(16.8%)(7.8%),公元前三世紀(jì),歐幾里得用漂亮的反證法證明了素數(shù)的個數(shù)有無窮多個。,素數(shù)定理,這個被稱做素數(shù)定理。,1859年,黎曼8頁紙論文:“論不超過一個給定值的素數(shù)的個數(shù)”提出6個猜想,其中5個已解決。,黎曼猜想 把素數(shù)的分布最終歸
9、結(jié)為所謂的黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)問題。,文章中提出的黎曼猜想給數(shù)學(xué)家們帶來了比素數(shù)分布更大的挑戰(zhàn),推動了解析數(shù)論的極大發(fā)展。時至今日,在經(jīng)歷了150多年的認(rèn)真研究和極力探索后,這個仍然懸而未決。,有人統(tǒng)計過,在當(dāng)今數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中已有超過一千條數(shù)學(xué)命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。2000年美國克雷數(shù)學(xué)所懸賞100萬美金解決黎曼猜想。,孿生素數(shù),孿生素數(shù)是指差為2的素數(shù)對。 一般來說,如果p 和p+2 都是素數(shù),則(p, p+2
10、)就叫做孿生素數(shù)。,501到600間只有(521,523)和(569,571)兩對。 更大的孿生素數(shù)還有,如(5971847, 5971849)。孿生素數(shù)的分布與素數(shù)相比,還要稀疏得多。,100以內(nèi)有8個孿生素數(shù):(3,5),(5,7),(11,13),(17,19), (29,31),(41,43),(59,61),(71,73)。,于是人們又開始猜想了:有無數(shù)對孿生素數(shù)。但沒有人確切地知道究竟有多少對。,2003663613
11、215;2195000-1和2003663613×2195000+1,到2009年8月6日,已知最大的孿生素數(shù)為,這樣問題就來了:比如孿生素數(shù)的分布規(guī)律是什么?共有多少對孿生素數(shù)?或者說有沒有一個最大的孿生素數(shù)?,希爾伯特的23個問題之第8個,(8)素數(shù)分布問題:素數(shù)是一個很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿
12、生素數(shù)問題目前也未最終解決。,其中,哥德巴赫猜想的最佳結(jié)果屬于中國數(shù)學(xué)家陳景潤(1+2),而華人數(shù)學(xué)家張益唐在2013年在孿生素數(shù)猜想領(lǐng)域做出了突破性的貢獻(xiàn)。,,1978年,1933年5月22日,出生于福建省閩侯縣(今福州市倉山區(qū)城門鎮(zhèn)臚雷村)。1948年2月考入福建師范大學(xué)附屬中學(xué)前身福州英華高一上春季班。1950年夏高三上提前考入廈門大學(xué)數(shù)理系。1953-1954年在北京四中任教,因口齒不清,被“停職回鄉(xiāng)養(yǎng)病”。,195
13、4年調(diào)回廈門大學(xué)任資料員,同時研究數(shù)論,對組合數(shù)學(xué)與現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理等問題也作了研究。1955年2月經(jīng)當(dāng)時廈門大學(xué)的校長王亞南先生推薦,回母校廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系任助教。1956年,發(fā)表《塔內(nèi)問題》,改進(jìn)了華羅庚先生在《堆壘素數(shù)論》中的結(jié)果。1957年9月,由于華羅庚教授的重視,調(diào)入中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所任研究實(shí)習(xí)員。1965年稱自己已經(jīng)證明(1+2),由師兄王元審查后于1966年6月在科學(xué)通報上發(fā)表。,哥德巴赫猜想,1742年6月
14、7日,德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫致信瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,提出兩個猜想:(1)任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和(”1+1”);(2)任何大于5的奇數(shù)都是3個素數(shù)之和。,同年6月30日,歐拉回信表示相信哥德巴赫猜想是對的,但他不能加以證明。容易證明(2)是(1)的推論,所以(1)是最基本的。,哥德巴赫猜想貌似簡單,要證明它卻實(shí)在不易,成為數(shù)學(xué)中一個著名的難題。在1921年的一個國際數(shù)學(xué)大會上,英國數(shù)學(xué)家哈代認(rèn)為,猜想(1)的困難
15、程度可以和任何沒有解決的數(shù)學(xué)問題相比。,1966年5月,我國數(shù)學(xué)家陳景潤在《科學(xué)通報》上發(fā)布了“1+2”證明的摘要,這篇論文的完整證明發(fā)表在1973年的第二期《中國科學(xué)》上,在國際數(shù)學(xué)界引起轟動,并將之命名為“陳氏定理”。,論文題目:“表達(dá)偶數(shù)為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和”。,比如100=23+7X11,中科院數(shù)學(xué)家王元說:“這是迄今為止世界上關(guān)于哥德巴赫猜想(1)最好的成果,無人超越?!倍宜墓ぷ髋c數(shù)論上最偉大的工作聯(lián)系
16、在一起。,陶哲軒(Terence Chi-Shen Tao),當(dāng)世智商最高的十大天才之一(IQ值230),06年 國際數(shù)學(xué)家大會 菲爾茲獎,菲爾茲獎是以已故的加拿大數(shù)學(xué)家約翰·查爾斯·菲爾茲命名的,從1936年起開始頒發(fā),隨后成為最著名的世界性數(shù)學(xué)獎。由于諾貝爾獎沒有數(shù)學(xué)獎,因此也有人將菲爾茨獎譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“諾貝爾獎”。,菲爾茲獎是一個在國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟的國際數(shù)學(xué)家大會上頒發(fā)的獎項(xiàng)。它每四年頒獎一次,頒給二至四名有卓越
17、貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家。得獎?wù)唔氃谠撃暝┣拔礉M四十歲。,陶哲軒和合作者格林成果證明了 “存在任意長度的素數(shù)等差數(shù)列”。,比如3、5、7,就是由3個素數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列,長度為3;,2002年,陶哲軒和格林想證明,由4個素數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的數(shù)目是不是也無窮多?,1939年,荷蘭數(shù)學(xué)家Johannes van dercorput證明:有無窮多個由3個素數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列。,目前最先進(jìn)的計算機(jī)上發(fā)現(xiàn)的最長的
18、素數(shù)等差數(shù)列長度是23,第一項(xiàng)是素數(shù)56211383760397,公差是44546738095860,所以,第23個素數(shù)是首項(xiàng)加公差乘以22,這已經(jīng)是一個復(fù)雜得不得了的問題了。,他們得到的結(jié)果幾乎是一個不能想象的偉大成就,他們證明由素數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列可以任意長,而且有任意多組。,也就是說,對于任意值K(比如1億),存在K個素數(shù)等差級數(shù)列,K是100億也可以,這簡直嚇人。而且,即使目前最好的計算機(jī)也無法找出超過23個數(shù)
19、的素數(shù)等差數(shù)列,因此這個猜想只能用數(shù)學(xué)方法來證明?!?陶哲軒和格林在2004年的論文中引用了“陳氏定理”。(在陳景潤證明‘1+2’之后40年),中國第一神童----寧鉑,1964年出生,江西贛州人,人稱"第一神童"。1978年以最高成績考進(jìn)了中科大少年班·1982年本科畢業(yè)留校任教,在19歲時成為中國最年輕的助教。2003年在南昌出家在江西一所佛寺?lián)卧撍路鸾虒W(xué)院的講師。,2歲半時已經(jīng)能夠背誦3
20、0多首毛澤東詩詞,3歲時能數(shù)100個數(shù),4歲學(xué)會400多個漢字,5歲上學(xué),6歲開始學(xué)習(xí)《中醫(yī)學(xué)概論》和使用中草藥,8歲能下圍棋并熟讀《水滸傳》。,謝彥波,張亞勤,78屆中科大少年班,張炘煬,2005年,10歲的張炘煬以510分的成績考入天津工程師范學(xué)院,成為全國年齡最小的大學(xué)生。2008年夏天,13歲的張炘煬通過北工大碩士研究生的復(fù)試,成為全國年齡最小的碩士研究生,再次成為眾人矚目的焦點(diǎn)。2011年,16歲的他成了最小的博
21、士生,被北航數(shù)學(xué)專業(yè)錄取。,兩歲半時,就在3個月內(nèi)認(rèn)識了一千多個漢字。他4歲讀小學(xué)一年級,6歲升入五年級;9歲直接上高三。,父親堅持先趕進(jìn)度造樓,后面裝修時再小范圍修補(bǔ) 要求父親全款在北京買房 他稱在北京男盜女娼的東北垃圾也是“純爺們”,稱北京的亂象完全是外地人(尤其東北人)造成的。有錢不一定有素質(zhì),但沒錢一定沒素質(zhì)。北京必須限制外地人。,張益唐,華人數(shù)學(xué)家。1978年考入北京大學(xué)數(shù)學(xué)系,1982—1985年,師從著名數(shù)學(xué)家
22、、北京大學(xué)潘承彪教授攻讀碩士學(xué)位;1985—1992年美國普渡大學(xué),獲博士學(xué)位;1999年至今,在美國新罕布什爾大學(xué)任教。,張益唐的博士題目是雅可比猜想(Jacobian conjecture),導(dǎo)師是從臺大走出去的代數(shù)專家莫宗堅;這一猜想1939年由德國數(shù)學(xué)家Ott-Heinrich Keller(1906-1990)于1939年提出來的,是關(guān)于多個變量的多項(xiàng)式里面的一個猜想。,這個猜想本身很有名: 莫教授在普渡大學(xué)
23、自己的網(wǎng)頁上七八年前就掛了兩篇糾錯文章: Kuo-Parusinski-Paunescu & 中國科大的蘇育才,張益唐也犧牲在雅克比猜想上,七年的主要心血付諸東流了…….,1992年張益唐博士畢業(yè)后六七年時間無固定工作…,1999年在北大80級校友葛力明的幫助下,進(jìn)入新罕布什爾大學(xué)任教。,1900年國際數(shù)學(xué)家大會上重提孿生素數(shù)猜想: 存在無窮多個素數(shù)p,使得p + 2是素數(shù)。,早在18
24、49年,法國數(shù)學(xué)家波利尼亞克(Alphonse de Polignac,1817–1890)提出了更一般的猜想:對所有自然數(shù)k,存在無窮多個素數(shù)對 (p, p + 2k),這里k = 1的情況就是孿生素數(shù)猜想。,張益唐于2013年4月17日向《數(shù)學(xué)年刊》(Annals of Mathematics)投稿“素數(shù)間的有界距離”(Bounded gaps between primes )證明存在無數(shù)個素數(shù)對(p, q), 其中每一
25、對中的兩個素數(shù)之差,即p和q的距離,不超過七千萬。同年5月21日,該篇論文被數(shù)學(xué)年刊接受. (此時張55歲),但是在張益唐公布一周之后,全球的數(shù)學(xué)家開始爭相尋找最小的數(shù)字。其中之一是加州大學(xué)洛杉磯分校的一名華裔教授陶哲軒( Terence Tao)。陶哲軒有一個合作項(xiàng)目,在這個項(xiàng)目中,數(shù)學(xué)家們努力去尋找最小的數(shù)字,而不是奮力爭搶第一。 這個課題叫做
26、Polymath8,開始于2013年3月,持續(xù)了一年時間。隨著課題的推進(jìn),工作逐漸依賴于一名年輕的英國數(shù)學(xué)家詹姆斯·梅納德(James Maynard),這名數(shù)學(xué)家在2014年2月將定值的最小值推算到246。“再往下就會有很多問題,”陶哲軒說,“需要越來越多的電腦程序,當(dāng)然也有理論問題。用現(xiàn)有的方式,我們不能得出更好的結(jié)果了,因?yàn)橛兴^的平等問題,沒有人知道怎么解決這個問題?!?2013年5月13日,張益唐在美國哈佛大學(xué)發(fā)表演
27、講,介紹了他的這項(xiàng)研究進(jìn)展。2013年12月2日,美國數(shù)學(xué)會宣布2014年弗蘭克·奈爾森·科爾(Frank Nelson Cole)數(shù)論獎將授予張益唐。[3] 2014年2月13日,張益唐又獲得瑞典皇家科學(xué)院,瑞典皇家音樂學(xué)院,瑞典皇家藝術(shù)學(xué)院聯(lián)合設(shè)立的的Rolf Schock獎中的數(shù)學(xué)獎。2014年8月,在韓國首爾的國際數(shù)學(xué)家大會上,張益唐獲邀請在閉幕式之前作一小時的受邀報告(invited
28、lecture)。(國際數(shù)學(xué)家大會的受邀報告通常為45分鐘。)2014年9月16日,獲得麥克阿瑟天才獎(MacArthur Fellowship)。,望月新一 ,1969年3月29日出生于日本東京,數(shù)學(xué)家,現(xiàn)為日本京都大學(xué)教授,20多歲時在“遠(yuǎn)阿貝爾幾何”領(lǐng)域中作出過超卓貢獻(xiàn)。2012年8月(43歲)在數(shù)學(xué)系主頁上貼了4篇論文,通過總共長達(dá)512頁的艱深推理(當(dāng)代數(shù)學(xué)論文多為10~20頁),他宣稱自己解決了數(shù)學(xué)史上最富傳奇色彩的
29、未解猜想:ABC猜想。,ABC猜想最先由喬瑟夫·奧斯達(dá)利(Joseph Oesterlé)及大衛(wèi)·馬瑟(David Masser)在1985年提出,一直未能被證明。其名字來自把猜想中涉及的三個數(shù)字稱為A、B、C的做法。,abc猜想(abc conjecture): 對于任何ε>0,存在常數(shù)Cε> 0,并對于任何三個滿足a+ b= c及a,b互質(zhì)的正整數(shù)a,b,c,
30、有:,其中,rad(n)表示n的質(zhì)因數(shù)的積,如 rad(72) = rad (2×2×2×3×3) = 2×3 = 6,ABC猜想之于現(xiàn)在的數(shù)論研究者,就好比牛頓慣性定律之于17世紀(jì)的普通人,更是違反數(shù)學(xué)上的常識。這一常識就是:“a和b的質(zhì)因子與它們之和的質(zhì)因子,應(yīng)該沒有任何聯(lián)系?!比绻鸄BC猜想被證明是正確的,那么加法、乘法和質(zhì)數(shù)之間,一定存在人類已知數(shù)學(xué)
31、理論從未觸及過的神秘關(guān)聯(lián)。,ABC猜想為何如此重要?因?yàn)锳BC猜想,對于數(shù)論研究者來說,是反直覺的。,歷史上反直覺的卻又被驗(yàn)證為正確的理論,數(shù)不勝數(shù)。一旦反直覺的理論被證實(shí)是正確的,基本上都改變了科學(xué)發(fā)展的進(jìn)程。舉一個例子:牛頓力學(xué)的慣性定律,物體若不受外力就會保持目前的運(yùn)動狀態(tài),這在17世紀(jì)無疑是一個重量級的思想炸彈?!拔矬w不受力當(dāng)然會從運(yùn)動變?yōu)橥V埂?,這是當(dāng)時的普通人基于每天的經(jīng)驗(yàn)得出的正常思想。,對于數(shù)學(xué)家來說,檢查望月的證明
32、是否存在錯漏的另外一個難題就是:要透徹理解望月那512頁的ABC猜想的證明,需要先弄懂望月關(guān)于遠(yuǎn)阿貝爾幾何的750頁的著作!全世界總共只有約50名數(shù)學(xué)家在這方面有足夠的背景知識去通讀望月這本遠(yuǎn)阿貝爾幾何著作,更別提望月在證明猜想中建立起來的“宇宙際Teichmüller理論”了。目前為止,自稱“宇宙際幾何學(xué)者”的望月,是他自己創(chuàng)造出的宇宙中的獨(dú)行者。,孤獨(dú)的望月,龐加萊猜想,我們說,蘋果表面是“單連通的”,而輪胎面不是
33、。,1904年,法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊在提出了一個拓?fù)鋵W(xué)的猜想:“任何一個單連通的,閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面?!?簡單的說,一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間;單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點(diǎn)。,2006年5月,菲爾茲獎委員會投票授予格里戈里·佩雷爾曼菲爾茲獎,而他宣布不接受此獎。2006年8月22日,第25屆國際數(shù)學(xué)家大會舉行,但他并未出席此次大會,也沒有接受菲
34、爾茲獎,成為首位拒絕接受菲爾茲獎的數(shù)學(xué)家。佩雷爾曼對國際數(shù)學(xué)家大會聯(lián)盟主席Ball說:“如果我的證明是正確的,別種方式的承認(rèn)是不必要的?!睔v史上只有亞歷山大·格羅滕迪克由于政治原因,于1968年宣布放棄菲爾茲獎,但事后經(jīng)說服,改為接受菲爾茲獎的榮譽(yù),但不參加在蘇聯(lián)莫斯科的授獎。,佩雷爾曼: 俄羅斯人,龐加萊猜想解決頭號功臣。 哈密爾頓: 美國人,他的工作是佩雷爾曼的基礎(chǔ)。丘成桐,朱熹平和曹懷東,一場鬧劇。
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