2011-10-19-第1講-奇數(shù)與偶數(shù)、數(shù)的整除、余數(shù)問題(數(shù)論綜合)

1、電話：400-810-2680,第1講專題一：奇數(shù)與偶數(shù) 專題二：數(shù)的整除 專題三：余數(shù)問題,授課時間：2011年10月19日 周三,數(shù)論綜合,專題一：奇數(shù)與偶數(shù),一 、專題知識點概述,奇數(shù)和偶數(shù)的定義：,整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。通常偶數(shù)可以用2k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。,奇

2、數(shù)和偶數(shù)運算性質：,性質1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù) 性質2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)性質3：偶數(shù)個奇數(shù)的和或差是偶數(shù)性質4：奇數(shù)個奇數(shù)的和或差是奇數(shù)性質5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)性質6：在加減法中偶數(shù)不改變運算結果奇偶性，奇數(shù)改變運算結果的奇偶性。性質7：對于任意2個整數(shù)a,b ,有a+b與a-b同奇或同偶性質8：奇數(shù)的平方可以

3、寫作 4k+1 ，偶數(shù)的平方可以寫作 4k,專題一：奇數(shù)與偶數(shù),二 、重點難點解析,奇數(shù)與偶數(shù)的定義和運算性質,分類討論的思想和代數(shù)的思想,三 、競賽考點挖掘,奇數(shù)偶數(shù)的操作性問題,奇數(shù)偶數(shù)的性質與其他知識點的結合,專題一：奇數(shù)與偶數(shù),四 、習題講解,【例1】（難度等級 ※※）,能否從、四個6，三個10，兩個14中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于44.,【分析與解】可以把題目中的數(shù)都除以2.本題相當于：能否從、四個3，三個5，兩個7中

4、選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22.因為3，5，7都是奇數(shù)，而且5個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，不可能等于偶數(shù)22，所以不能.,【例2】（難度等級 ※※）,是否存在自然數(shù)a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？,【分析與解】可以分情況來討論：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。比較繁瑣，可以根據(jù)45327是一個奇數(shù)，只有奇數(shù)乘以奇數(shù)才能得到，所以a-b、b-c、a-c都為奇數(shù)，再根據(jù)奇偶性進行判斷。,專題一：奇數(shù)與

5、偶數(shù),四 、習題講解,【例3】（難度等級 ※※※）,任意交換某個三位數(shù)的數(shù)字順序，得到一個新的三位數(shù)，原三位數(shù)與新三位數(shù)之和能否等于999？,【分析與解】不能。2個三位數(shù)的和為999，說明在兩個數(shù)相加時不產生任何進位。如果不產生進位說明兩個三位數(shù)的數(shù)字之和相加求和，就會等于和的數(shù)字之和，這是一個今后在數(shù)字謎中的常用結論。那么999的數(shù)字之和是27，而原來的2個三位數(shù)經調換數(shù)字順序后數(shù)字之和是不會變的，若以a記為其中一個三位數(shù)的

6、數(shù)字之和，那么另一個也為a，則會有2a=27的矛盾式子出現(xiàn)。說明原式不成立。,專題一：奇數(shù)與偶數(shù),四 、習題講解,【例4】（難度等級 ※※※）,在一張9行9列的方格紙上，把每個方格所在的行數(shù)和 列數(shù)加起來，填在這個方格中，例如a=5+3=8．問：填入的81個數(shù)字中是奇數(shù)多還是偶數(shù)多?,【分析與解】此題如果按步就班地把每個格子的數(shù)算出來，再去數(shù)一數(shù)奇數(shù)和偶數(shù)各有多少．然后得出奇數(shù)和偶數(shù)哪個多，哪個少的結論．顯然花時間很多，不能在口試搶

7、答中取勝．我們應該從整體上去比較奇偶數(shù)的多少．易知奇數(shù)行偶數(shù)多一個，偶數(shù)行奇數(shù)多1個．所以前8行中奇偶數(shù)一樣，余下第9行奇數(shù)行，答案可脫口而出．偶數(shù)多,專題一：奇數(shù)與偶數(shù),五 、課后思考,一條線段上分布著n個點，這些點的顏色不是黑的就是白的，它們將線段分為n+1段，已知線段兩端的兩個點都是黑的，而中間的每一個點的兩邊各有一黑一白.那么白點的數(shù)目是奇數(shù)還是偶數(shù)？,用代表整數(shù)的字母a、b、c、d寫成等式組：　　a×b

8、15;c×d-a=1991　　a×b×c×d-b=1993　　a×b×c×d-c=1995　　a×b×c×d-d=1997　　試說明：符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在.,專題一：奇數(shù)與偶數(shù),六 、挑戰(zhàn)自己（難度等級 ※※※※）,圓桌旁坐著2k個人，其中有k個物理學家和k個化學家，并且其中有些人總說真話，有些人則總說假話．今知物

9、理學家中說假話的人同化學家中說假話的人一樣多．又當問及：“你的右鄰是什么人”時，大家全部回答：“是化學家．”證明：k為偶數(shù)．,專題二：數(shù)的整除,一 、專題知識點概述,常見數(shù)字的整除判定方法：,1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除； 一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除； 一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；,2. 一各位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能比3整除；

10、 一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；,3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除， 那么這個數(shù)能被11整除.,4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除， 那么這個數(shù)能被7、11或13整除.,專題二：數(shù)的整除,一 、專題知識點概述,整除性質：,性質1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，

11、那么c︱(a±b)．,性質2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．,性質3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．,性質4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質，那么a一定能被b與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4

12、∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．,專題二：數(shù)的整除,一 、專題知識點概述,整除性質：,性質5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除． 如果 b｜a，那么bm｜am（m為非0整數(shù)）；,性質6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么bd也能被ac整除． 如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；,專題二：數(shù)的整除,二 、重點難點解析,1.

13、常見數(shù)字的整除判定性質,2．將不具有整除判定性質的數(shù)字進行分解判定其整除性,三 、競賽考點挖掘,1.與數(shù)字謎或算式迷結合的整除判斷特性題目,2.代數(shù)式之間的整除性問題,3．代數(shù)式之間整除性的判斷，代數(shù)思想的應用,4．試除法的理解和應用,專題二：數(shù)的整除,四 、習題講解,【例1】（難度等級 ※※）,173□是個四位數(shù)字。數(shù)學老師說：“我在這個□中先后填人3個數(shù)字，所得到的3個四位數(shù)，依次可被9、11、6整除。”問：數(shù)學老師先后填入的3個數(shù)

14、字的和是多少？,【分析與解】方法一：利用整除判定特征，逐個分析易知這三種情況下填入方格的數(shù)字和為7+8+4=19,方法二：采用試除法 （本講的重點方法）用1730試除，1730÷9=192……2，1730÷11=157……3，1730÷6=288……2．所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，這三種情況下填入

15、口內的數(shù)字的和為7+8+4=19．,專題二：數(shù)的整除,四 、習題講解,【例2】（難度等級 ※※※）,某個七位數(shù)1993□□□能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少？,【分析與解】本題可采用整除數(shù)字的判定特征進行判斷，但是太過繁瑣。采用試除法比較方便，若使得7位數(shù)能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要讓七位數(shù)是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍數(shù)的倍數(shù)即可?！?，3，4，5，6

16、，7，8，9】=2520.用1993000試除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格內填入320即可．,專題二：數(shù)的整除,四 、習題講解,【例3】（難度等級 ※※※）,由1，3，4，5，7，8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被11整除的最大的數(shù)是多少？,【分析與解】根據(jù)11的整除判定特征我們知道六位數(shù)的奇數(shù)位與偶數(shù)位三個數(shù)字的和的差要為11的倍數(shù)

17、，我們不妨設奇數(shù)位上的數(shù)和為a，偶數(shù)位上的數(shù)和為b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同時有a-b=0或a-b=11或a-b=22…等情況，根據(jù)奇偶性分析自然數(shù)a與b的和為偶數(shù)，那么差也必須為偶數(shù)，但是a-b不可能為22，所以a-b=0，解得a=b=14，則容易排列出最大數(shù)875413.,專題二：數(shù)的整除,四 、習題講解,【例4】（難度等級 ※※※）,從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字中選出五個不同的數(shù)字組成一

18、個五位數(shù)，使它能被3、5、7、13整除，這個數(shù)最大是多少？,【分析與解】本題采用試除法。因為3，5，7，13的最小公倍數(shù)為1365，在100000之內最大的1365的倍數(shù)為99645(100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，但是不符合數(shù)字各不相同的條件，于是繼續(xù)減1365依次尋找第二大，第三大的數(shù)，看是否符合即可。有99645-1365=98280，98280-1365=96915．

19、96915-1365=95550．95550-1365=94185．所以，滿足題意的5位數(shù)最大為94185．,專題二：數(shù)的整除,四 、習題講解,【例5】（難度等級 ※※※）,在下面的方框中各填一個數(shù)字，使六位數(shù)11□□11能被17和19整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少？,【分析與解】本題采用試除法。如果一個數(shù)能同時被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323=340……191，余191也可以看成不足(32

20、3-191=)132．所以當132+323n是100的倍數(shù)時，才能保證在只改動110011的千位、百位數(shù)字，而得到323的倍數(shù)．所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，…驗證有n=16時，132+323×16=5300，所以原題的方框中填入5，3得到的115311滿足題意．,專題二：數(shù)的整除,四 、習題講解,【例6】（難度等級 ※※※）,某個自然數(shù)既能寫成9個連續(xù)自然數(shù)的和，還同時可以寫成10個

21、連續(xù)自然數(shù)的和，也能寫成11個連續(xù)自然數(shù)的和，那么這樣的自然數(shù)最小可以是幾？,【分析與解】本題采用試除法。本題所體現(xiàn)的是一個常用小結論，即任意奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和必定是這個奇數(shù)的倍數(shù)。任意偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)的和必定是這個偶數(shù)的一半的倍數(shù)，并且除以這個偶數(shù)的一半后所得的商為一個奇數(shù)。證明方法很簡單，以連續(xù)9個奇數(shù)為例子：我們可以令連續(xù)9個奇數(shù)為：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4則他們的和為9a，即為9的

22、倍數(shù)。對于連續(xù)10個自然數(shù)，可以為a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5則它們的和為10a+5=5（2a+1），即是5的倍數(shù)且除以5后商是奇數(shù)。所以本題中要求的數(shù)是5，9，11的最小公倍數(shù)的倍數(shù)即495的倍數(shù)，最小值即495.,專題二：數(shù)的整除,四 、習題講解,【例7】（難度等級 ※※※※）,將數(shù)字4，5，6，7，8，9各使用一次，組成一個被667整除的6位數(shù)，那么，這個6位數(shù)除以667的結果

23、是多少？,【分析與解】本題采用試除法。本題考察對數(shù)字667的特殊認識，即667×3=2001。本題要求用4，5，6，7，8，9組成一個667的倍數(shù)，其實發(fā)現(xiàn)4，5，6，7，8，9組合出的數(shù)一定是3的倍數(shù)，那么只要考慮組成一個2001的倍數(shù)即可，而2001的六位數(shù)倍數(shù)具有明顯的特征，即后三位是前三位的一半，那么我們可以發(fā)現(xiàn)前三位一定是900多的數(shù)字，后三位是400多，很容易得到956478。那么956478÷667

24、=1434。,專題二：數(shù)的整除,五 、課后思考,1.六位數(shù)20□□08能被49整除，□□中的數(shù)是多少？,2. 如果六位數(shù)1992□□能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？,3. 有些數(shù)既能表示成3個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4個連續(xù)自然數(shù)的和，還能表示成5個連續(xù)自然數(shù)的和。請找出700到1000之間，所有滿足上述條件的自然數(shù)。,4.請求出最大的七位數(shù)，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位數(shù)字互不相同，這個七位數(shù)是多少？,專

25、題二：數(shù)的整除,六 、挑戰(zhàn)自己（難度等級 ※※※※）,有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號．1號同學寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說：“這個數(shù)能被3整除”，……，依次下去，每位同學都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除．1號作了一一驗證：只有編號連續(xù)的兩位同學說得不對，其余同學都對．那么：(1)說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)?(2)如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù),專題三

26、：余數(shù)問題,一 、專題知識點概述,帶余除法的定義及性質：,一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當 時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當 時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商,一個完美的帶余除法講解模型:如圖，這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除

27、數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數(shù)。這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。,專題三：余數(shù)問題,一 、專題知識點概述,三大余數(shù)定理,1.余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除

28、以5的余數(shù)等于4，即兩個余數(shù)的和3+1.當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.,2.余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以 除以5的余數(shù)等于 3。當余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)

29、之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以 除以5的余數(shù)等于 除以5的余數(shù)，即2.,專題三：余數(shù)問題,一 、專題知識點概述,三大余數(shù)定理,3.同余定理若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a≡b ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，

30、則a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整數(shù)，即m|(a－b),專題三：余數(shù)問題,二 、重點難點解析,1.帶余除法的定義式，4個基本量的相互關系,2.三大余數(shù)定理的應用,三 、競賽考點挖掘,1. 三大余數(shù)定理的靈活運用,2. 求某些復雜數(shù)的個位數(shù)字,專題三：余數(shù)問題,四 、習題講解,【例1】（難度等級 ※※）,一個兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)。,【分析與解】

31、本題為余數(shù)問題的基礎題型，需要學生明白一個重要知識點，就是把余數(shù)問題---即“不整除問題”轉化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個除數(shù)的倍數(shù)。本題中310-37=273，說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3×7×13，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，符合條件的有39，91.,專題三：余數(shù)問題,四 、習題講解,【例2】（難度

32、等級 ※※※）,有一個兩位整數(shù)，除39，51，147所得的余數(shù)都相同，求這個數(shù)。,【分析與解】本題考查知識點為同余定理。發(fā)現(xiàn)未知的兩位整數(shù)除39，51，147的余數(shù)都相同，但是都不知道是多少，所以無法按照例1的方法去求，那么根據(jù)同余定理，這三個被除數(shù)兩兩作差后都可以得到這個未知兩位數(shù)的倍數(shù)，即108，96，12均為所求數(shù)的倍數(shù)，即所求的數(shù)是108，96，12的公約數(shù)，在這三個數(shù)的公約數(shù)中兩位數(shù)的約束僅有12，所以所求兩位數(shù)是1

33、2.,專題三：余數(shù)問題,四 、習題講解,【例3】（難度等級 ※※※）,求 的余數(shù),【分析與解】本題為余數(shù)乘法定理的拓展模式，即數(shù)字的乘方與一個數(shù)相除的余數(shù)情況。由6443÷19余2，求原式的余數(shù)只要求 的余數(shù)即可。但是如果用2÷19發(fā)現(xiàn)會進入一個死循環(huán)，因為這時被除數(shù)比除數(shù)小了，所以可以進行適當?shù)恼{整， ，64÷19余數(shù)為7，那么求 的余數(shù)就轉化為求 的余數(shù)，

34、即49÷19的余數(shù)。49÷19余數(shù)為11，所以原式 的余數(shù)為11.,,專題三：余數(shù)問題,四 、習題講解,【例4】（難度等級 ※※※）,號碼分別為101,126,173,193的4個運動員進行乒乓球比賽,規(guī)定每兩人比賽的盤數(shù)是他們號碼的和被3除所得的余數(shù).那么打球盤數(shù)最多的運動員打了多少盤?,【分析與解】本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計算101，126，173，193除以3的余數(shù)分別為2，0，2，1。那么任意

35、兩名運動員的比賽盤數(shù)只需要用2，0，2，1兩兩相加除以3即可。顯然126運動員打5盤是最多的。,專題三：余數(shù)問題,五 、課后思考,1.有一個自然數(shù),用它分別去除63,90,130都有余數(shù),3個余數(shù)的和是25.這3個余數(shù)中最大的一個是多少?,2.用一個自然數(shù)去除另一個自然數(shù)，商為40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933，求這2個自然數(shù)各是多少？,3. 除以13所得余數(shù)