數(shù)學的幾大奇觀

1、數(shù)學史上的幾大奇觀,數(shù)學史的發(fā)展和其它學科有著許多相同的地方，即存在許多奇異的想法或追求完美的理想，其原因在于或者理論知識發(fā)展的局限性，或者社會制度、宗教等的因素。但是這些思想的出現(xiàn)對于推動數(shù)學的進步是積極的。,一、尺規(guī)作圖,在中學我們就知道，幾何作圖嚴格局限于圓規(guī)和無尺度直尺。這種限制從古希臘一直延續(xù)至今。為什么？,古希臘認為，所有圖形都是由直線和圓弧構(gòu)成的，圓是最完美的圖形。他們確信僅靠圓規(guī)和直尺就可以繪出圖形來。他們還認為，依據(jù)

2、少量假設(shè)，通過邏輯把握的東西最可靠。,一、尺規(guī)作圖,如求線段AB的中點步驟為：1、以A為圓心，以一適當?shù)拈L度為半徑畫?。?、以B為圓心，以同樣長度的半徑畫弧；3、兩弧交于兩點，作兩點連線，其與AB的交點即為AB的中點。,一、尺規(guī)作圖,,,,,,人們很快找到了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖的方法，然而在正七邊形的尺規(guī)作圖時，一直研究了2000多年！,一、尺規(guī)作圖,17世紀，法國業(yè)余數(shù)學家費馬提出了猜想：形如Fi=22i+1是素數(shù)

3、！i=0,1,2,3,4時Fi是的確如此。而i=5時F5 是不是素數(shù),一、尺規(guī)作圖,則在差不多100年后才由偉大的歐拉證明它不是素數(shù)！F5=641×6700417.看來，驗證一個大數(shù)是否為素數(shù)是一個多么困難的事??！,一、尺規(guī)作圖,迄今為止，人們只知道F1,F2,F3, F4, F5是素數(shù)。人們又猜想費馬素數(shù)只有有限個，但仍是一個未解問題。,一、尺規(guī)作圖,在歐拉之后60年，德國數(shù)學家高斯20歲時發(fā)現(xiàn)了正多邊形的邊數(shù)是費馬素數(shù)

4、時是可以用尺規(guī)作圖的，并且得到一般性結(jié)論：正n邊形可尺規(guī)作圖的充分必要條件是：,一、尺規(guī)作圖,由此我們知道正7邊形是不可以尺規(guī)作圖的！因為7不是費馬素數(shù)。,一、尺規(guī)作圖,而正17邊形（屬于高斯，80多頁），正257邊形（200多頁）是可以用尺規(guī)作圖的。高斯的墓碑上刻著一個正17邊形。 大家可以驗證3，5，17，257是否為費馬素數(shù)。,一、尺規(guī)作圖,古希臘流傳下來的還有三大幾何作圖難題：1、化圓為方： =2

5、、倍立方問題 ： =3、三等分角問題。,一、尺規(guī)作圖,,,,,它們的解決實際上都促進了幾何與代數(shù)，也就是現(xiàn)在的解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展。上述三個問題都是不可能的！1、化圓為方，因為π是超越無理數(shù)。是不可作幾何量。,一、尺規(guī)作圖,2、倍立方問題。因為 是不可作幾何量。3、三等分角問題。以60度角為例，可得到代數(shù)方程,一、尺規(guī)作圖,二、解析幾何與微積分,前面已經(jīng)提到，古希臘的幾大幾何難題都是借助于代數(shù)方法得到解決的

6、。實際上，從公元前到公元16世紀，幾何與代數(shù)各自并行發(fā)展著。表面上看，幾何似乎是關(guān)于形的科學而與數(shù)無關(guān)，代數(shù)似乎是關(guān)于數(shù)的科學而與形無關(guān)。,二、解析幾何與微積分,代數(shù)與幾何難以聯(lián)系的原因是：人們心目中的數(shù)是相互孤立的，難以從數(shù)想到由無窮多個點構(gòu)成的線等圖形。而對于形來說，例如線段或封閉圖形，它們與數(shù)的聯(lián)系也只限于長度與面積，難以從圖形想到數(shù)的能力。,二、解析幾何與微積分,人們從“運動”的角度來聯(lián)系數(shù)與形的：決定性的工具是建立了坐標系，點

7、 數(shù)。點的運動形成了線，線的運動形成了體......。 數(shù)與形的充分結(jié)合才產(chǎn)生了解析幾何。,,二、解析幾何與微積分,解析幾何的主要創(chuàng)始人是笛卡兒！在笛卡兒之前，就已經(jīng)出現(xiàn)了代數(shù)與幾何的結(jié)合，即解析幾何的萌芽.我們來看一個例子。,二、解析幾何與微積分,求比例中項問題。求給定長度AB與AC的比例中項。若AB=AC，那么他們本身就是比例中項，否則，可設(shè)AB<AC.,二、解析幾何與微積分,將AB置于AC上,以AC為直

8、徑畫圓,過B點作AC的垂線交圓于D,連接AD,AD即為所求比例中項.,,,,∽,二、解析幾何與微積分,接著,我們依次作出E、F、G、H、...使得,,二、解析幾何與微積分,因為AD=x時,AF=x3,AF=AD+DF,故當DF=a時,我們得到X3=x+a,二、解析幾何與微積分,結(jié)論:從幾何得到了一個代數(shù)方程.另一方面,若a是已知數(shù),那么AD=x作為方程的根可以在幾何上表示出來(尺規(guī)作圖).,二、解析幾何與微積分,反過來,笛卡兒對幾何問

9、題應用了代數(shù)方法:研究幾何軌跡問題.解析幾何的精華在于把幾何曲線用代數(shù)方程來表示,同時又用代數(shù)的研究方法來研究幾何.這種方法顯示了其強大的生命力:代數(shù)是純演算的和,二、解析幾何與微積分,推理的,它只需要邏輯的和技巧的,而不需要面對千變?nèi)f化的幾何曲線的表面現(xiàn)象得到其本質(zhì)性的東西.即幾何曲線(曲面)的分類.,二、解析幾何與微積分,,二、解析幾何與微積分,通過代數(shù)方法(平移和旋轉(zhuǎn))我們可以把一般方程化為標準方程.而且還有三個不變量.它們是二

10、次曲線的本質(zhì)—三類:橢圓、雙曲線和拋物線。 難以想象,沒有代數(shù)的參與,在眾多曲線中我們能看到這些本質(zhì)性的東西.,二、解析幾何與微積分,解析幾何出現(xiàn)后不久，微積分也被發(fā)現(xiàn)了。可以說，微積分不僅是數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，也為近代科學開辟了光明的道路；微積分不僅是17世紀的偉大發(fā)現(xiàn)，而且是世界人類文明史上最為光輝燦爛的發(fā)現(xiàn)。,二、解析幾何與微積分,微積分的來源是科學發(fā)展對數(shù)學要求的必然：速度、距離、重心；切線、長度、面積、體積；極值問題等等。

11、,速度切線,,微分,距離體積,,積分,二、解析幾何與微積分,微積分的創(chuàng)立是以發(fā)現(xiàn)微分與積分互為逆運算為標志的，即我們所說的微積分學基本定理：,二、解析幾何與微積分,微積分的偉大意義在于：1、微積分改變了數(shù)學的研究對象、方式和方法，帶來了數(shù)學空前和持久的繁榮昌盛！顯示了數(shù)學內(nèi)部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。,二、解析幾何與微積分,2、推動了自然科學、工程技術(shù)、社會科學的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學的基本語言。其他如力學、天文學、化學等

12、學科都得到了無限的推動力。近代的生物學、地理學、經(jīng)濟學、社會科學等都離不開數(shù)學。,二、解析幾何與微積分,3、對人類物質(zhì)文明作出了巨大貢獻。數(shù)學方法的應用和更新，通過其他學科對人類的進步產(chǎn)生了前所未有的作用：工業(yè)革命、人造衛(wèi)星、新星的發(fā)現(xiàn)、經(jīng)濟規(guī)律、金融運作等等。,二、解析幾何與微積分,4、對人類文化產(chǎn)生了革命性的影響。只要研究變化規(guī)律就要用到微積分，在人文、社會科學領(lǐng)域也是如此。哲學（馬克思、恩格斯）、經(jīng)濟學、考古學、社會學、心理學、語

13、言學、法學......它們直接影響著人們的世界觀和文化結(jié)構(gòu)。,三、非歐幾何,一個遺憾的事：幾乎所有的大學生不知道非歐幾何，甚至數(shù)學類專業(yè)的本科生（包括部分大學數(shù)學教師）也是如此。今天我們試圖來彌補這個遺憾，來了解影響和改變世界的非歐幾何。,三、非歐幾何,歐氏幾何在公元前300年就已產(chǎn)生，起特征是建立了公理化方法：即從幾個概念和幾個命題，演繹出本學科其它所有概念和命題，從而構(gòu)成這一學科的全貌。運用這種方法的學科被認為是嚴謹?shù)目茖W和成熟的

14、科學。,三、非歐幾何,歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里德的《集合原本》中，在其之后的2200后，希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》加以完善。其間，許多數(shù)學家作了許多公理體系的完備性工作。然而，令人放心不下的是該公理體,三、非歐幾何,系中的第五公理，即平行公理的獨立性問題。因為人們發(fā)現(xiàn)即使歐幾里德本人也盡量避免使用它。所以人們開始從三個方面研究平行公理。1、試圖給出新的平行線定義以繞開這個困難；,三、非歐幾何,2、試圖用比平行公理缺點更少的其他公理取

15、代它；（等價或包含）3、試圖用其他公里推出它。第三個問題得到的最多的研究，但是毫無結(jié)果。,三、非歐幾何,在用反證法研究第三個問題時，試圖推出矛盾，但是沒有。實際上，反證法就是假設(shè)與第五公理不成立。第五公理是說：過已知直線外一點，可作一條也只可作一條直線與已知直線平行。,三、非歐幾何,19世紀初，俄羅斯人羅巴切夫斯基在否定第五公理的同時，假設(shè)其反面之一：“過已知直線外一點，可作多于一條的直線與已知直線平行”，得到了一系列定理，并且認

16、為他得到了一門新的幾何學。這是過去2000年以來的重大突破。,三、非歐幾何,羅巴切夫斯基1826年2月11日宣布自己建立了新的幾何學之后，得到了許多數(shù)學大家的嘲笑、諷刺，德國詩人歌德也出來諷刺他。實際上，羅巴切夫斯基的理論得到世界的認可是在他去世幾十年后的事了.,三、非歐幾何,在羅氏幾何產(chǎn)生后的1854年，德國數(shù)學家黎曼把歐氏第五公理改為：“過已知直線外一點，沒有與其平行之直線”，得到的一種新的幾何學——黎曼幾何，為非歐幾何的另一翼。,

17、三、非歐幾何,絕對幾何,,,,歐氏幾何,羅氏幾何,黎曼幾何,聯(lián)系公理迭合公理順序公理連續(xù)公理,三、非歐幾何,非歐幾何的產(chǎn)生具有三個重大意義:1、解決了平行公理的獨立性問題。推動了一般公理體系的獨立性、相容性、完備性問題的研究，促進了數(shù)學基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學分支的形成與發(fā)展。,三、非歐幾何,2、證明了對公理方法本身的研究能推動數(shù)學的發(fā)展，理性思維和對嚴謹、邏輯和完美的追求，推動了科學，從而推動了社會的發(fā)展和進步。在數(shù)學內(nèi)部，各分

18、支紛紛建立了自己的公理體系，包括被公認為最困難的概率論也在20世紀30年代,三、非歐幾何,建立自己的公理體系。實際上公理化的研究又孕育了元數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展。3、非歐幾何實際上預示了相對論的產(chǎn)生，就象微積分預示了人造衛(wèi)星一樣。非歐幾何與相對論和匯合是,三、非歐幾何,科學史上劃時代的事件。人們都認為是愛因斯坦創(chuàng)立了相對論，但是，也許愛因斯坦更清楚，是他和一批數(shù)學家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。出現(xiàn)動鐘