固體力學(xué)概論——最新版!

1、固體力學(xué)概論,(綜合基礎(chǔ)課)2010最新版,目錄,第一章 前言第二章 基本假設(shè)第三章 本構(gòu)關(guān)系（物理方程）第四章 基本方程第五章 能量原理（包括變分原理）第六章 固體力學(xué)中的數(shù)值方法,第一章 前言,固體力學(xué)的定義固體力學(xué)的基本假設(shè)與主要研究內(nèi)容學(xué)科分支研究對象與任務(wù)發(fā)展史參考資料,1. 固體力學(xué)的定義,研究可變形固體在外界因素(載荷、溫度、濕度)作用下其內(nèi)部質(zhì)點的位移、運動, 固

2、體的應(yīng)變和破壞規(guī)律的學(xué)科. 主要參書:《力學(xué)詞典》《大百科全書》 （1）固體力學(xué)與理論力學(xué)之區(qū)別：理論力學(xué)研究對象是質(zhì)點、質(zhì)點系與剛體。固體力學(xué)研究可形變體。 （2）固體與流體的區(qū)別：流體是氣體和流體的總稱，具有易流性，不能承受剪應(yīng)力，在無論多小的剪力作用下都會發(fā)生變形。水和空氣是常見的兩種流體。,2. 固體力學(xué)的內(nèi)容:,研究彈性問題、塑性問題、彈塑性問題以及流變問題;又分線性問題、非線性問題; 主要研究宏觀

3、問題、也有微觀問題和細觀問題(或稱介觀問題mesomechanics ); 研究的對象主要是均勻介質(zhì),也研究非均勻介質(zhì)(如復(fù)合材料和裂紋體)，各向同性與各向異性介質(zhì); 此外研究各種可變形體的偶合問題:例如熱(濕)彈性問題、熱(濕)塑性問題、熱(濕)彈塑性問題、以及形體的機~磁電偶合性能(壓電與壓磁性能)；現(xiàn)在電-磁彈性力學(xué)正快速發(fā)展.,3. 學(xué)科分支,材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、流變學(xué)，斷裂力學(xué)(損傷力學(xué))、復(fù)合材料力學(xué)、結(jié)

4、構(gòu)穩(wěn)定性、振動理論、粘彈(塑)性力學(xué)、沖擊力學(xué)、固體應(yīng)力波問題、結(jié)構(gòu)(彈~塑性)動力學(xué); 以及許多交叉學(xué)科: 氣動彈性理論，生物固體力學(xué)、巖土力學(xué)、有限元(有限條、有限層、邊界元、離散元、無網(wǎng)格法等);斷裂力學(xué)(損傷力學(xué))、復(fù)合材料力學(xué)、電-磁彈性力學(xué)，微尺度力學(xué)是發(fā)展中的新興學(xué)科。,4. 研究對象,研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）: （1）桿、桿系、梁、柱，（長＞＞寬和高）（2）板(中厚板)、殼，（厚＜＜長與寬）

5、（3）三維體(空間結(jié)構(gòu)如桁架與剛架)，（4）薄壁結(jié)構(gòu)（飛機機翼與機身等），（5）以及它們的復(fù)合體.,5 研究方法（截面法）,截面法是處理固體力學(xué)問題的最基本的方法：通過外力（作用力與約束力）與內(nèi)力（應(yīng)力）平衡求構(gòu)件的響應(yīng)（內(nèi)力），通過本構(gòu)關(guān)系求變形（位移與應(yīng)變），最重要的是材料力學(xué)中的平截面法，其中尤以梁的平截面假設(shè)最為重要。,截面法,截面法:固體力學(xué)問題的普適方法,步驟為： （1）取出構(gòu)件,畫出所有外力(包括約

6、束反力); （2）用平面切開,并畫出內(nèi)力(廣義力), 若是動平衡需用達朗貝爾原理,化慣性力為作用力；外力與內(nèi)力平衡來求解內(nèi)應(yīng)力;（3）解出內(nèi)力；算應(yīng)力; （4）利用物理方程求變形; （ 5） 根據(jù)應(yīng)力強度準則或變形準則進行強度校核; （6）進行優(yōu)化設(shè)計.,,,,,,,,,,,,外力,內(nèi)力,,,,,,,,,,,,,,內(nèi)力,,,,6. 任務(wù),固體力學(xué)的發(fā)展主要動力是社會實踐：

7、 任務(wù)是研究工程結(jié)構(gòu)在服役條件下的安全性、可靠性; 就是強度問題(應(yīng)力值不超過許用值) 、剛度問題(變形不太大)、穩(wěn)定性問題、振動問題. 工程結(jié)構(gòu)包括: 飛機、火箭、船舶、車輛、橋梁、房屋、水壩、反應(yīng)堆、坦克等等.,7. 發(fā)展史,固體力學(xué)是一門古老的學(xué)科,可追溯到17世紀伽利略Calileo(1564~1642)關(guān)于梁與水壩的工作,提出速度、加速度的概念.后來庫侖(C. A. Coulomb), 泊松(R. Poisson), 納維(C

8、-L-M-H. Navier), 圣文南(B. de Saint-Venant ) 哥西(A. L. Couchy), 虎克(Hooke)（胡克定律）等人作出很大貢獻. 伯努利(1654~1705)平截面假設(shè), 歐勒(L. Euler)(1707~1783)壓桿穩(wěn)定的歐勒載荷; 鐵木生柯(Timoshenko)專著”Strength of Materials”, “Theory of Elasticity”、“Theory of El

9、astic Stability” 、“Theory of Plates and Shells”與符拉索夫(薄壁桿件). 中國東漢(127~200)鄭玄提出線性彈性關(guān)系; 宋代李誡《營造法式》；隋代李春（581~618）趙州橋。,8. 參考資料,《力學(xué)詞典》，中國大百科全書出版社，1990。《中國大百科全書》，力學(xué)卷，1985，8。 Encyclopedia of Science and Technology, Mc

10、Graw-Hill, 1982 E. P. Popov, Introduction to Mechanics of Solids, Prentice Hall, INC, 1968 Y. C. Fung, Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, INC, 1965 中國自然科學(xué)基金，學(xué)科分類目錄及學(xué)科代碼，1994 (從這里可看出現(xiàn)代固體力學(xué)的發(fā)展方向以及新的學(xué)科分類）。,

11、9. 專有名詞的翻譯,材料力學(xué)：strength of materials, mechanics of materials彈性力學(xué)： theory of elasticity, elasticity, (elastic mechanics 錯誤);塑性力學(xué)：theory of plasticity, plasticity, (plastic mechanics 錯誤);介觀力學(xué)：mesomechanics； 細觀力學(xué)，可是，在專

12、著《Micromechanics of defects in solids 》, T Mura，“micromechanics” 可翻譯為細觀力學(xué),不翻成微觀力學(xué)。5. 宏（微）觀力學(xué)；macromechanics, micromechanics 這里，英語書籍里“micromechanics”包含介觀尺度問題。6. 經(jīng)典力學(xué)：Classic mechanics, （牛頓力學(xué)）7 理論

13、力學(xué)：theoretical mechanics.,第二章. 基本假設(shè)：,基本假設(shè)： 連續(xù)性假設(shè)~~斷裂問題與界面問題； 均勻性假設(shè)~~復(fù)合材料。3. 小變形假設(shè)~~大變形（幾何非線性問題），線彈性假設(shè)~~物理與幾何非線性，5. 各向同性假設(shè)~~各向異性，6. 平截面假設(shè)(對直桿拉伸、壓縮與梁彎曲等都適用,尤以梁彎曲的平截面假設(shè)意義最重要）。,材料力學(xué)中關(guān)于平截面法的應(yīng)用,以下研究對象都可用平截面

14、法處理：拉伸：桿或棒 （拉伸強度問題）壓： 壓桿，柱（彈性穩(wěn)定性問題）彎曲：梁 （彎曲撓度與應(yīng)力）扭，扭轉(zhuǎn)：軸 （剪切變形與強度）壓彎聯(lián)合作用：梁柱（彎曲與穩(wěn)定性）；,1 平截面假設(shè)(在板殼力學(xué)中又稱直法線假設(shè)),平截面假設(shè)：初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直于軸線, 并且在垂直軸線方向上無變形； 下面以梁為例,此假設(shè)大大簡化了問題. 無窮自由度問題簡化為一個自由度問題,只有一個撓度函數(shù)是要求的.

15、這樣，用彈性力學(xué)理論,有15個基本方程,15個基本未知量.根據(jù)平截面假設(shè)大大簡化：梁的撓度為 ， 梁的基本方程（控制方程）為：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,p,,① 梁的基本方程,根據(jù)平截面（直法線）假設(shè)導(dǎo)出梁的撓度方程：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,②板殼力學(xué)中的直法線假設(shè),① 初始與板中性面(中面)垂直的(線段）法線,在變形后仍垂直中面；② 垂直于中面的正應(yīng)力遠小于平行于中面的應(yīng)力分量（

16、無法向應(yīng)變）；③ 在發(fā)生彎曲變形時，板的中面無拉伸變形。①②為基爾霍夫假定（克?；舴蚣俣ǎ?。,③平截面假設(shè)的近似性,由懸臂梁問題可知,截面上最大剪應(yīng)力在中面上,可見最大剪應(yīng)變在中面上,所以剪切轉(zhuǎn)角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪應(yīng)力(剪應(yīng)變）為零.結(jié)論很明顯,橫截面不再是平的（發(fā)生翹曲）.當梁的高長比 時，平截面假定不再成立，應(yīng)該考慮橫向剪切。稱為Timoshenko梁理論，獨立未知變量增加一

17、個，截面轉(zhuǎn)角。但是,當梁長/高比很大時,平截面所得結(jié)果符合工程要求。Timoshenko梁彎曲（非純彎）時，須考慮剪切效應(yīng)，此時橫截面仍是平面，但不再垂直梁中面，與中面有一夾角 。基本未知量變?yōu)閮蓚€：,④梁的橫向剪切問題,剪切問題基本方程:應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系為：僅考慮剪切效應(yīng)：變形前mn和 pq是直線并且平行，變形后二條線不再是直線，產(chǎn)生彎曲，就是產(chǎn)生截面翹曲；工程上近似(平均意義)為:,⑤ 三點彎曲梁,三點彎

18、曲梁第二項是剪切產(chǎn)生的撓度， 是截面系數(shù)，對于矩形截面，,⑥ 梁的橫向剪切角,梁的橫向剪切角如下圖所示： 剪切系數(shù) 對于矩形等3/2對于圓形截面等于4/3。,,,,,,,,,,,,,,,,,,x,p,z,,⑦ 關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論,剪切截面

19、系數(shù)（又稱截面形狀系數(shù)）有如下幾種數(shù)值：① 相當于用中性軸處的最大剪切應(yīng)變代表梁軸由于橫向剪切產(chǎn)生的傾角，是很粗燥的，它比平均剪應(yīng)變大50%。②用能量原理（單位載荷法）推導(dǎo)了較精確的近似值， ③彈性力學(xué)的精確公式為： 當泊松比 時，彈性力學(xué)精確解比簡單平

20、均法所得結(jié)果大18%。,2 彈性桿的拉伸,單向拉伸(或壓縮):假設(shè)在拉伸變形時桿的截面保持平面，并且拉伸變形均勻；這個假定被試驗證明，非常接近真實；注意：桿受壓縮有穩(wěn)定性問題。 基本方程: 拉伸彈性剛度系數(shù)為:,,,,,,P,,,,,L,3 等截面桿扭轉(zhuǎn),以圓截面桿為例:圓截面桿在扭矩作用下各個截面保持平面并且變形均

21、勻； 基本方程: 應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系:扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)為:,,,,,,,,,,,,第三章 本構(gòu)方程,1 線性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系（線彈性） 胡克定律：單向拉伸，如彈簧等 廣義胡克定律：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)2 非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：塑性材料3 現(xiàn)代塑性本構(gòu)關(guān)系：含“內(nèi)變量”并與熱相關(guān)

22、4 粘彈性本構(gòu)關(guān)系（流變學(xué)）：材料機械性能與時間相關(guān),單軸拉伸試驗曲線,單軸拉伸試驗曲線（同樣可作扭轉(zhuǎn)與剪切試驗）,應(yīng)力張量和應(yīng)變張量,應(yīng)力張量：任意質(zhì)點的應(yīng)力有6個獨立分量，形成二階張量應(yīng)變張量：任意質(zhì)點的應(yīng)變有6個獨立分量，形成二階張量,Ⅰ 彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系,胡克定律：線彈性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為彈性常數(shù)（楊氏模量）廣義胡克定律 可改

23、寫為 其中 36個常數(shù)中只有21個獨立。這是指最一般的各向異性材料，對于各類特殊情況，獨立材料常數(shù)不同。,,，,,,,2 三維各向同性材料物理方程：,以應(yīng)變表示應(yīng)力： 是體積應(yīng)變。以應(yīng)力表示應(yīng)變：,,，,球應(yīng)力張量。,,應(yīng)力偏量。,拉梅常數(shù),拉梅常數(shù)

24、分別是彈性模量，泊松比與剪切模量。,，,3 非各向同性,單斜體 材料有一個對稱面， 只有13個獨立常數(shù)；正交異性體 有2個相互垂直的對稱面， 9個獨立常數(shù)；橫觀各向同性體 垂直某一方向的各個平面都是各向同性面；只有5個獨立常數(shù)；各向同性體 兩個常數(shù)， ；或者 ； 或者 后者又稱拉梅系數(shù)。 平面正交異性體 例

25、如單向纖維復(fù)合材料薄板， 4個獨立常數(shù),,,,Ⅱ 塑性力學(xué),基本實驗 應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系非線性塑性應(yīng)變非恢復(fù)性，有殘余應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變非一一對應(yīng)，與加載歷史有關(guān)塑性變形功產(chǎn)生熱；本構(gòu)關(guān)系相當復(fù)雜。,,,,,,塑性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系非線性的簡化,① ② ③

26、 ④ ⑤①理想彈塑性； ②彈性線性硬化模型； ③ 理想剛塑性；④剛性線性硬化模型； ⑤ 密律硬化模型,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,N=0,N=1,N=0.3,屈服準則：單向拉伸：,殘余應(yīng)變大于 的應(yīng)力為,復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)特雷斯卡（Tresca）條件：,在 平面上是正六邊形。米賽斯（Misses）條件：,在

27、 平面上是圓。,應(yīng)力強度,應(yīng)力強度（又稱等效應(yīng)力）：已知應(yīng)力不變量的第二步變量為：,,,是八面體剪應(yīng)力,形狀改變應(yīng)變能。,應(yīng)力強度為：,應(yīng)變強度,用主應(yīng)變表示：應(yīng)變強度又稱有效應(yīng)變。羅德參數(shù)： 應(yīng)力的羅德參數(shù)： 應(yīng)變羅德參數(shù)：,,,3. 塑性全量理論—塑性形變（或塑性變形）理論,在簡單加載（比例加載）條件下，對塑性變形的簡化;應(yīng)力強度與應(yīng)變強度一一對應(yīng)，若無卸載，與非線性彈性相同。He

28、ncky relation:對于比例加載，塑性形變理論與流動理論結(jié)果相同。,,塑性增量理論—流動理論,流動理論（又稱增量理論）：當彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變很小時， 加載比與塑性功成比例。,,,,,Ⅲ 流變學(xué)（粘彈性力學(xué)）,定義：研究材料在外載、溫度、濕度等環(huán)境條件下與時間有關(guān)的變形和流動行為的規(guī)律的力學(xué)分支；粘彈性介質(zhì)具有固體與流體的雙重性質(zhì)。研究內(nèi)容：蠕變：材料在恒應(yīng)力作用下變形隨時間增大

29、的過程稱為蠕變，是由分子或原子重新排列引起的。蠕變過程中材料的柔度（模量的倒數(shù)）逐漸增大。以應(yīng)力為輸入量而求應(yīng)變響應(yīng)者為蠕變。松弛：材料在固定變形下應(yīng)力隨時間減小的過程稱為松弛。材料的模量（松弛模量）逐漸減小。 以應(yīng)變?yōu)檩斎肓慷髴?yīng)力響應(yīng)者為松弛。,1 流變體的幾種理想介質(zhì)：,（1）虎克固體：（2）粘性元件（粘壺）, 又稱牛頓流體或阻尼器：

30、 或 是粘性系數(shù)，單位是應(yīng)力乘時間。（3）理想塑性體（圣文南體）：當 p＜F 時 當P＞F時，u 位移取決于其它條件。,,,,,,,,,,,,,2 馬克斯威爾體,彈簧與粘壺串聯(lián)，控制方程

31、：特性：①若應(yīng)力是階躍函數(shù)應(yīng)變在 t=0 時，應(yīng)變發(fā)生突變；當 時， 表現(xiàn)為流動性質(zhì)。②若應(yīng)變保持常數(shù)，應(yīng)力趨于零， 為松弛時間。,，,,,,,,,,,,,3 開爾文體（Kelvin）或Voigt solid: 將粘壺與彈簧并聯(lián)；控制方程：性能：①施加 應(yīng)變輸出：當

32、 時， 其中， 是漸近彈性模量。突出缺點： 當 時，,,,,,,,,。,,,,,,,,,,,,,,,,4 標準固體（standard solid）:將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標準線性固體， 由于當 時， 所以，它最終具有固體性質(zhì)。（7）四元件模型（四參量模型）：將開爾文體與馬克斯威

33、爾體串聯(lián)，構(gòu)成四參量模型。最終具有流體特性。（8）廣義馬克斯威爾體, 將多個馬克斯威爾體并聯(lián)構(gòu)成，最終具有流體特性。（9）廣義固體模型：將開爾文體串聯(lián)構(gòu)成，最終具有固體特性。,,,,,,,,,,,5 微分型本構(gòu)關(guān)系,更普遍的線性粘彈性模型：以標準固體（standard solid）模型為例:將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標準線性固體，本構(gòu)方程的標準形式：,,，,,6 三維本構(gòu)關(guān)系,三維本構(gòu)關(guān)系： 分體量與偏量：

34、 是微分算子，例如，有時，可假設(shè)體積應(yīng)變的蠕變分量可忽略。,,,,,7 遺傳積分（蠕變型）,又稱記憶積分或卷積積分：疊加原理，Boltzmann superposition principle： 在

35、 作用下，應(yīng)變服從疊加原理：當一系列應(yīng)力增量 連續(xù)作用時，產(chǎn)生的應(yīng)變 等于： 是蠕變?nèi)崃俊?,,,,8 松弛型遺傳積分,當一系列應(yīng)變增量 連續(xù)作用時，產(chǎn)生的應(yīng)力 等于 ： 是松弛模量。修正的疊加原理：其中 是應(yīng)變的非線性函數(shù)。,,,,9 拉普拉斯變換：

36、Laplace transformation,拉普拉斯變換對求解線性粘彈性問題至關(guān)重要，通過下式將時域問題變換為S 域內(nèi)問題：很多教科書上有變換表。其逆變換式為：,,,,,,10 對應(yīng)原理,對上式進行拉氏變換得： 于是得到拉氏變換域內(nèi)的“線彈性”問題。還可以在拉氏變換域內(nèi)進行有限元計算。但是，逆變換相當復(fù)雜，這里學(xué)問很深。,,11 復(fù)模量,當材料或結(jié)構(gòu)受簡諧變化應(yīng)力作用時 ,即 輸入

37、 ，代入本構(gòu)方程：,,,是復(fù)數(shù)柔量。,是松弛模量。,第四章 基本方程,彈性力學(xué)有15個基本方程： 3個平衡方程； 6個協(xié)調(diào)方程； 6個本構(gòu)方程；15個基本未知量： 3個位移分量； 6個應(yīng)力分量； 6個應(yīng)變分量；* 加適當邊界條件。,1.平衡或運動方程,平衡方程展開一個方程: 運動方程: 指標重復(fù)

38、服從加法約定,,,,,,2 幾何方程(應(yīng)力~位移關(guān)系),對于小應(yīng)變情況， 這是哥西應(yīng)變式，共有六個應(yīng)變，六個方程。 對于大變形（計入非線性項）：分拉格朗日與歐拉表示：拉格朗日應(yīng)變：歐拉應(yīng)變：,,,，,3 變形協(xié)調(diào)方程：,（i, j 交換）共有六個方程:以下只寫出兩個有代表性的式子：,,,4 彈性本構(gòu)關(guān)系,（1）. 彈性應(yīng)力~應(yīng)變關(guān)系：廣義胡克定律 可改寫

39、為 其中 36個常數(shù)中只有21個獨立。這是指最一般的各向異性材料，對于各類特殊情況，獨立材料常數(shù)不同。,,,,，,,,,5 邊界條件：,（1）位移邊界條件：在給定位移的邊界 上， (a)

40、 又稱第一類邊界條件，代號 。,,，,（2） 應(yīng)力邊界條件：,在給定外力的邊界（ ）上： （b) 是外法線方向余弦。第二類邊界條件 ， 代號 。,

41、,,（3） 混合邊界條件,混合邊界條件: 在（ ），為（a）；在（ ）（b）.此外，還有彈性邊界條件和移動（滑動）邊界條件；動邊界條件（例如彈性支持條件，接觸，摩擦邊界條件），問題比較復(fù)雜。,,,彈性力學(xué)問題的解法（位移法和應(yīng)力法）,①.位移方法：拉梅（Lame, G.）方程，即用位移表示平衡方程,以下是三種不同表示方法：需將應(yīng)力邊界條件改寫為位移.,,② 應(yīng)力解法,用應(yīng)力表示的

42、協(xié)調(diào)方程，即 拜爾脫拉密（Beltrami, E.）~密乞爾(Michell, J. H.)方程：用應(yīng)力表示協(xié)調(diào)方程。當然，位移邊界條件也需要用應(yīng)力表示。,,,,,彈性力學(xué)一般定理,（1）. 應(yīng)變能定理–克拉貝龍定理,即功能互等定理: 又俗稱為 “功能互等定理” 注意與 ”功的互易（reciprocal）定理” 相區(qū)別。 彈性體內(nèi)的應(yīng)變能等于變形過程中外力所做之功；(證明從略

43、)注意：與虛功原理相對照（外力虛功等于內(nèi)里虛功）。,（2） 唯一性定理—克?；舴蚨ɡ砘蚣~曼定理,證明： 兩組解 它們滿足平衡方程: 邊界條件:,,,,,,證明(2)：,構(gòu)造新的解（1）-（2）， （3）-（4），（5）-（6）得到,，,,,證明(3),上式的解肯定為0。 所以證明，兩組解相等。 ***注釋：若全邊界均為應(yīng)力條件，則位移解可能差一剛體位移。結(jié)論：對于線彈性材料（結(jié)構(gòu)），只要給

44、出一組滿足平衡方程，協(xié)調(diào)方程，與邊界條件的解，那么它就是真解（與彈性常數(shù)無關(guān)）。所以，彈性力學(xué)就有試湊法。,（3 ） 圣文南原理,物體在上受一平衡力系作用時，在離較遠的區(qū)域應(yīng)力可以忽略。 時, 是外力作用區(qū)的最大線尺寸與我們關(guān)注的質(zhì)點和力作用點的距離。,,,（4） 功的互易(等)定理,又稱位移互等定理（reciprocal theory o

45、f displacement）：設(shè)兩組力（體力與面力）作用在同一物體上，第一組力對第二組力產(chǎn)生的位移所做之功，等于第二組力對第一組力產(chǎn)生的位移所做之功； =,,第五章 能量原理,能量原理是宇宙間普適的,從熱力學(xué)第一定律,理論力學(xué)的能量(機械能)守恒定律,與虛位移(虛功)原理,材料力學(xué)的卡氏定理,彈性力學(xué)的變分原理，以及各種近似數(shù)值方法. 例如,求第二宇

46、宙速度時，飛船離開火箭時的速度（動能）應(yīng)能克服地球?qū)λ囊?。動?引力勢由此得到：,（1）虛位移原理（理論力學(xué)）,物體(或質(zhì)點與質(zhì)點系)在 n個外力(包括約束力 )作用下而平衡, 則外力所作之虛功之和為零.對于理想約束 則外加作用力所作功為零.,彈性力學(xué)的能量原理,1 . 虛功原理（包括虛位移原理與虛力原理）虛位移：所有幾何

47、約束允許的位移(滿足協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件）即為虛位移，寫為 。虛位移又稱為“可能位移”。彈性體在平衡狀態(tài)下，外力、內(nèi)力在微小虛位移下做的功（稱為虛功）之和等于零。,2. 虛位移原理,彈性體在平衡狀態(tài)下，外力對虛位移所做的功（稱為虛功）等于虛位移所引起的彈性體應(yīng)變能的增量。,,,,,,,,,,虛位移原理（續(xù)1）,上式第一項為零，第二項等于這是內(nèi)力虛功，即內(nèi)力（應(yīng)力）對虛位移產(chǎn)生的

48、虛應(yīng)變所做的功（或為應(yīng)力對虛應(yīng)變所作的虛功）。結(jié)論：內(nèi)力虛功等于外力虛功,虛功原理(續(xù)2),根據(jù)專著（胡): 虛功原理的數(shù)學(xué)表達式為：此式中， 和 是變形可能位移與應(yīng)變， 是靜力可能應(yīng)力。*** 是可能面力。這個原理包括虛功原理與虛余功原理兩個原理,虛功原理(續(xù)3),包括虛位移原理與虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理：按大百科全書的詞條：這里有疏誤,.,式中,是體力和位移；,是面上可能面力和可能

49、位移，,分別是可能應(yīng)力分量和可能應(yīng)變分量。此原理可包括（1）虛位移原理和（2）虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理。,3. 最小勢能原理,以位移為基本未知量的變分原理?？倓菽艿扔?: 分別為真實位移與虛位移。,,,,最小勢能原理（續(xù)）,定義：平衡時，所有可允許位移（可能位移）中，真實位移使總勢能取極小值：可能位移是滿足協(xié)調(diào)方程與位移邊界條件的位移。意義：因為位移滿足了連

50、續(xù)性條件和位移邊界條件，由最小勢能原理可導(dǎo)出平衡方程和應(yīng)力邊界條件。 由此導(dǎo)出有限元基本方程,,4 最小余能原理,以應(yīng)力為未知量的變分原理。真實應(yīng)力所具有的余能恒小于其他可能應(yīng)力相應(yīng)的余能。 所有可能應(yīng)力（滿足平衡方程與靜力邊界條件的應(yīng)力）函數(shù)中，真實應(yīng)力場取總余能為最小。,,,，,最小余能原理（續(xù)）,它代表應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件。虛余功： 虛余能： 總余能：最小余能原理：,,,,,5 廣義變分原理,

51、是以上兩個原理的推廣；彈性力學(xué)的解必須滿足廣義勢能變分為零的條件，（又稱駐值條件），即： 為邊界指定面力和位移 。此變分原理具有三類變量：位移，應(yīng)力與應(yīng)變。,,,,6 瑞斯納變分原理,瑞斯納變分原理（Reissner） 其中 是應(yīng)變余能，兩類獨立變函數(shù)

52、 共9個 。有限元法的雜交元由此導(dǎo)出.,,,A 材料力學(xué)中的能量法（一）,卡氏第一定理：若彈性體受數(shù)個已知廣義力 作用，在他們的作用點產(chǎn)生沿各廣義力方向上的位移： 則由廣義位移表示的應(yīng)變能 U 對某個廣義位移 的偏導(dǎo)數(shù)等于與 相應(yīng)的廣義力 ， 數(shù)學(xué)表達式為：此定理英文名稱：Castigliano‘s first theorem.,材料力學(xué)中的能量法（二）,克羅

53、蒂~恩蓋塞定理（Crotti~Engesser‘s theorem):若彈性體作用有n個廣義力 ， 產(chǎn)生n個廣義位移 ，它們方向與相應(yīng)的廣義力相同；則由廣義力表示的應(yīng)變能對廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，等于相應(yīng)的廣義位移，表達式為：此定理又稱卡氏第二定理。,B 彈性穩(wěn)定理論中的能量法,,,,,,C 振動問題的能量法,瑞利商：根據(jù)瑞利原理，保守系統(tǒng)的機械振動的

54、自振頻率的近似值，由下式泛函的駐值決定。 是動能 ； 是勢能例如，弦振動，設(shè)振形函數(shù)為當 n=2時， 相對誤差為 0.007 精確解為：,D 結(jié)構(gòu)力學(xué)的能量法,1 力法（force method）：以廣義力為未知量求解靜不定結(jié)構(gòu)的

55、方法稱為力法。基本概念是，將多余約束去掉，代之以廣義力(多余廣義力），為保證解除多余約束的結(jié)構(gòu)變形與內(nèi)力（應(yīng)力）與原結(jié)構(gòu)相同，必須滿足連續(xù)性條件，即變形協(xié)調(diào)條件。n 度靜不定系統(tǒng)就有n 個連續(xù)性條件,正好彌補了平衡方程數(shù)的不足。將n 個連續(xù)性條件與平衡方程聯(lián)立，就能解出所有未知廣義力。,2 單位載荷法：根據(jù)虛功原理導(dǎo)出的求結(jié)構(gòu)位移的方法。求給定結(jié)構(gòu)某點的位移時，在該點施加單位載荷：單位廣義力。單位載荷方向與所求位移方向相同。于是

56、， 是單位載荷引起的軸力，剪力與彎矩； 是真實載荷引起的軸力，剪力與彎矩, 為所求位移。,,，,,,,,3 位移法：（displacement method）:以廣義位移為基本未知量求解結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的方法，又稱剛度法與矩陣位移法。包括轉(zhuǎn)角位移法；又稱“力矩分配法”；“變形分配法”。首先列出所有廣義位移（其數(shù)目等于自由度數(shù)），并將這些

57、廣義位移施加約束，構(gòu)成基本體系。再解除對某廣義位移 s 的約束，若在廣義位移 r 的方向上施加一廣義力，該廣義力在 s 處產(chǎn)生單位位移，則該廣義力數(shù)值上等于剛度系數(shù) ，所有剛度系數(shù)可由結(jié)構(gòu)分析得到。通常可用勢能原理來建立平衡方程：,系統(tǒng)的總勢能： 為節(jié)點未知廣義位移； 載荷作用點的位移

58、。 為載荷數(shù)， 為自由度數(shù)；根據(jù)能量原理： 得矩陣形式：,,,,第六章 固體力學(xué)的數(shù)值方法：,瑞雷~李茲法（Rayleigh－Ritz method）: 通過泛函駐值條件求未知（位移）函數(shù)的近似方法。,令所求函數(shù)為,的線性組合：,個已知函數(shù),,為未知常系數(shù)，,組成的泛函,的駐值條件,,,通過由,的代數(shù)方程組。,得到,個求,假定位移函數(shù),的表達式為：,,,將上述位移函數(shù)代入作為泛

59、函的總勢能 的表達式，根據(jù)駐值條件，得這是求 3n個待定常數(shù)的線性代數(shù)方程組。 3n 個常系數(shù)求得后，問題解決。,,,,,2 伽療金法,2 布勃諾夫~伽療金法（Bubnov~Galerkin method）,假定位移函數(shù),的表達式為：,,為,個待定常數(shù),已知函數(shù),滿足全部位移與力的邊界條件，根據(jù)虛功原理，,,,,,,3 加權(quán)殘數(shù)法（method of weighted residuals）彈性力學(xué)問題提法

60、如下： 在邊界上,在域V 內(nèi)，,,,,,是算子,,不含,令解,的試函數(shù)為：,,,為待求的未知參數(shù)（或函數(shù)），,代入控制方程與邊界條件，一般不為零，有殘數(shù)：,,為消滅這些殘數(shù)，用權(quán)函數(shù),乘殘數(shù),并積分：,,得到,的代數(shù)方程組。,固體力學(xué)的有限元方法,有限元：位移元（協(xié)調(diào)元）：基于最小勢能原理；例如等參元；雜交元：基于修正余能原理（單元內(nèi)滿足應(yīng)力平衡條件，邊界

61、上用位移差值條件）；邊界元法：基于邊界積分方程（位移法和應(yīng)立法）；無網(wǎng)格法：有線條法：例如瓦楞板有限面法：例如層合板散體有限元：處理巖石和碎石塊等。,結(jié)束語,固體力學(xué)包含多個學(xué)科分支，內(nèi)容繁多，大百科全書每個詞條都是重點，都應(yīng)該講，因時間有限，只能講概論；概論課的目的是對固體力學(xué)專業(yè)的同學(xué)達到復(fù)習(xí)、整理、提高的目的，“溫故而知新”；對于非固體力學(xué)專業(yè)的同學(xué)，則要求了解、知道、擴大知識面的目的。工作中遇到問題知道解決問題的途徑