建筑造型裝飾與三維動(dòng)畫 第4章

1、第4章 圖形變換,4.1　二維圖形幾何變換,4.1.1　齊次坐標(biāo)所謂齊次坐標(biāo)表示法就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來表示。例如：二維坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)的齊次坐標(biāo)為： (H?x , H?y , H)其中，H是任一不為0的比例系數(shù)。,,4.1.2　二維圖形的基本變換如果用P= [x y 1]表示XY平面上一個(gè)未被變換的點(diǎn)，用P’= [x’ y’ 1]表示P點(diǎn)經(jīng)某種變換后的新點(diǎn)，用一個(gè)3*3矩陣T

2、表示變換矩陣：則圖形變換可以統(tǒng)一表示為：P’=P·T,,,1．平移變換 平移是一種不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換。 假定從點(diǎn)P平移到點(diǎn)P’ ，點(diǎn)P沿X方向的平移量為m，沿Y方向的平移量為n，構(gòu)造平移矩陣T：,,,2．比例變換基本的比例變換是指圖形相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)，按比例系數(shù)(Sx,Sy)放大或縮小的變換。假定點(diǎn)P相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿X方向放縮Sx倍，沿Y方向放縮Sy倍，構(gòu)造比例矩陣T：,,

3、,如果比例變換矩陣為如下形式：此時(shí)進(jìn)行整體比例變換，比例系數(shù)為(1/S，1/S)。,,,3．旋轉(zhuǎn)變換基本的旋轉(zhuǎn)變換是指將圖形圍繞圓心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)θ角度的變換。假定從P點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角到P’點(diǎn)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣T：,,,4．對(duì)稱變換（1）關(guān)于X軸的對(duì)稱變換點(diǎn)P(x,y)關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為 P’(x, -y)，構(gòu)造對(duì)稱矩陣T：,,,（2）關(guān)于Y軸的對(duì)稱變換點(diǎn)P(x,y)關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)為 P’(-x,

4、 y)，構(gòu)造對(duì)稱矩陣T：,,,（3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換點(diǎn)P(x,y)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 P’(-x, -y)，構(gòu)造對(duì)稱矩陣T：,,,（4）關(guān)于y=x（+45°）直線的對(duì)稱變換點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y=x直線的對(duì)稱點(diǎn)為 P’(y,x) ，構(gòu)造對(duì)稱矩陣T：,,,（5）關(guān)于y=-x（-45°）直線的對(duì)稱變換點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y=-x直線的對(duì)稱點(diǎn)為 P’(-y,-x)，構(gòu)造對(duì)稱矩陣T：,,,5．錯(cuò)切變換

5、 錯(cuò)切變換也稱剪切、錯(cuò)位、錯(cuò)移變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理。,,（1）沿X軸方向關(guān)于y的錯(cuò)切點(diǎn)P(x,y) 沿X軸方向關(guān)于y進(jìn)行錯(cuò)切變換，錯(cuò)切角度為α。令e=tgα，構(gòu)造錯(cuò)切矩陣T：,,,（2）沿Y軸方向關(guān)于x的錯(cuò)切點(diǎn)P(x,y) 沿Y軸方向關(guān)于x進(jìn)行錯(cuò)切變換，錯(cuò)切角度為β。令b=tgβ，構(gòu)造錯(cuò)切矩陣T：,,,6．變換矩陣的功能分區(qū)五種二維基本變換，它們的變換矩陣都可以用如下的3*3矩陣來描述：

6、（1）左上角的2*2子塊可實(shí)現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切四種基本變換；（2）左下角的1*2子塊可實(shí)現(xiàn)平移變換；（3）右上角的2*1子塊可實(shí)現(xiàn)投影變換；（4）右下角的1*1子塊可實(shí)現(xiàn)整體比例變換。,,4.1.3　復(fù)合變換 對(duì)于任何一個(gè)比較復(fù)雜的變換，都可以轉(zhuǎn)換成若干個(gè)連續(xù)進(jìn)行的基本變換。這些基本幾何變換的組合稱為復(fù)合變換，也稱為級(jí)聯(lián)變換。 設(shè)圖形經(jīng)過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2,…, Tn，

7、則稱T=T1?T2?… ?Tn為復(fù)合變換矩陣。,,1．連續(xù)平移變換2．連續(xù)比例變換3．連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換4．相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換5．以平面內(nèi)任一直線為對(duì)稱軸進(jìn)行對(duì)稱變換,4.2 三維圖形幾何變換,4.2.1 三維圖形的基本變換如果用P= [x y z 1]表示三維空間上一個(gè)未被變換的點(diǎn)，用P’= [x’ y’ z’ 1]表示P點(diǎn)經(jīng)某種變換后的新點(diǎn)，用一個(gè)4*4矩陣T表示變換矩陣：則圖形變換可

8、以統(tǒng)一表示為：P’=P·T,,同樣可對(duì)三維圖形幾何變換的4*4矩陣T進(jìn)行功能分區(qū)，其中：（1）左上角的3*3子塊可實(shí)現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切四種基本變換；（2）左下角的1*3子塊可實(shí)現(xiàn)平移變換；（3）右上角的3*1子塊可實(shí)現(xiàn)投影變換；（4）右下角的1*1子塊可實(shí)現(xiàn)整體比例變換。,,1．平移變換假定從點(diǎn)P平移到點(diǎn)P’ ，點(diǎn)P沿X方向的平移量為l，點(diǎn)P沿Y方向的平移量為m，沿Z方向的平移量為n，則可構(gòu)

9、造平移矩陣T：,,,2．比例變換（1）局部比例變換假定點(diǎn)P相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿X方向放縮Sx倍，沿Y方向放縮Sy倍，沿Z方向放縮Sz倍，其中Sx、Sy和Sz稱為比例系數(shù)，則可構(gòu)造比例矩陣T：,,,（2）整體比例變換其變換矩陣為：S的取值所起到的作用與二維變換相同。,,,3．旋轉(zhuǎn)變換下面討論的三種基本旋轉(zhuǎn)變換，都是考慮在右手坐標(biāo)系下，某點(diǎn)繞坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角的情況 。（1）繞Z軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩

10、陣T：,,,（2）繞X軸旋轉(zhuǎn) 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣T：（3）繞Y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣T：,,,,4．對(duì)稱變換（1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換（2）關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱變換（以關(guān)于X軸的對(duì)稱變換為例）,,,,（3）關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱變換（以關(guān)于XOY坐標(biāo)平面的對(duì)稱變換為例）,,,5．錯(cuò)切變換三維圖形錯(cuò)切變換可以沿X軸、Y軸、Z軸三個(gè)方向產(chǎn)生錯(cuò)切變換，構(gòu)造錯(cuò)切變換矩陣T：根據(jù)元素所在的列，可以判斷

11、出是沿哪個(gè)坐標(biāo)軸方向進(jìn)行錯(cuò)切。根據(jù)元素所在的行，可以判斷出是關(guān)于哪個(gè)坐標(biāo)變量的錯(cuò)切。,,,4.2.2 復(fù)合變換 1．相對(duì)空間任一點(diǎn)的幾何變換2．相對(duì)空間任一直線的幾何變換,4.3 投影變換,4.3.1 投影變換的基本概念將三維空間中的物體變?yōu)槎S圖形表示的過程稱為投影變換。投影變換的分類：,,投影的要素包括投影對(duì)象、投影中心、投影平面、投影線和投影。要作投影變換的物體稱為投影對(duì)象；在三維空間中，選擇一個(gè)點(diǎn)，記這個(gè)

12、點(diǎn)為投影中心；不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)再定義一個(gè)平面，記這個(gè)平面為投影平面；從投影中心向投影平面引任意多條射線，記這些射線為投影線；穿過物體的投影線與投影面相交，在投影面上形成物體的像，這個(gè)像記為三維物體在二維投影面上的投影。,,投影變換可分為兩大類：透視投影和平行投影。它們的本質(zhì)區(qū)別在于：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的，而平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的。,,4.3.2 平行投影平行投影的投影中心與投影平面之間的距

13、離為無窮遠(yuǎn)；投影線之間相互平行；平行線的平行投影仍是平行線。按照投影方向與投影平面的交角不同，平行投影分為兩類：正平行投影和斜平行投影。,,1．正平行投影正平行投影的投影方向垂直于投影平面。按照投影平面與坐標(biāo)軸的交角不同，正平行投影又可分為兩類：正投影與正軸測。當(dāng)投影平面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為正投影；否則，得到的投影為正軸測。,,（1）正投影正投影也稱為三視圖。按照投影平面是否與Y軸、X軸、Z軸垂直，

14、正投影分為主視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種，此時(shí)投影方向分別與這個(gè)坐標(biāo)軸的方向一致。,,（2）正軸測根據(jù)變形系數(shù)之間的關(guān)系，正軸測投影可分為正等測投影、正二測投影、正三測投影 。,,2．斜平行投影斜平行投影的投影方向不垂直于投影平面，而是與投影面成α夾角。 在工程制圖中，經(jīng)常選擇一些兼有美觀及繪圖方便的α 角來作斜平行投影，常用的兩種是斜等測和斜二測。,,4.3.3 透視投影1．透視投影的術(shù)語和分類透視投影的投影中

15、心與投影平面之間的距離為有限的。投影線（視線）從投影中心（視點(diǎn)）出發(fā)，投影線是不平行的。對(duì)于透視投影，一束平行于投影平面的平行線的投影仍可保持平行，而不平行于投影平面的平行線的投影會(huì)收斂到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為滅點(diǎn)（Vanishing Point）。平行于坐標(biāo)軸的平行線在投影平面上形成的滅點(diǎn)稱為主滅點(diǎn)。,,根據(jù)主滅點(diǎn)的個(gè)數(shù)，透視投影可分為一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透視和三點(diǎn)透視。（1）一點(diǎn)透視：有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影平面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交

16、，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。（2）二點(diǎn)透視：有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行。（3）三點(diǎn)透視：有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。,,2． 透視投影的表示方法假設(shè)投影中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，投影平面與Z軸垂直，在z＝d的位置上。點(diǎn)P(x,y,z)在投影平面上的投影點(diǎn)為：P’(x’,y’,d)，構(gòu)造透視投影的變換矩陣T：,,,3．透視異常（1）透視縮小效應(yīng)（2）滅點(diǎn)效應(yīng)（3）觀察混淆

17、（4）布局失真,4.4 坐標(biāo)系統(tǒng)及其變換,4.4.1 坐標(biāo)系統(tǒng)1．建模坐標(biāo)系（MC）2．世界坐標(biāo)系（WC）3．觀察坐標(biāo)系（VC）4．投影坐標(biāo)系（PC）5．設(shè)備坐標(biāo)系（DC）,,4.4.2 模型變換模型變換是將建模坐標(biāo)系中的形體轉(zhuǎn)換為世界坐標(biāo)系中描述的變換。一旦用戶定義建模坐標(biāo)系中的“局部”物體，通過指定建模坐標(biāo)系的原點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的位置，然后通過前面介紹過的幾何變換，就可很容易地將“局部”物體放

18、入世界坐標(biāo)系內(nèi)，使它由局部上升為全局。,,4.4.3 觀察變換觀察變換是將一個(gè)三維對(duì)象在世界坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)樵谟^察坐標(biāo)系統(tǒng)中的坐標(biāo)過程。 1．觀察平面2．觀察體3．規(guī)范化觀察體4．從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換,,4.4.4 窗口-視區(qū)變換窗口用來確定要顯示的物體，視區(qū)確定實(shí)際顯示圖形。實(shí)際情況中，窗口與視區(qū)的大小往往不一樣。如果要在視區(qū)正確地顯示形體，必須將其從窗口變換到視區(qū)，此過程稱為窗口-視區(qū)變換。,,