建筑造型裝飾與三維動畫 第5章

1、第5章 曲線和曲面,5.1 參數表示曲線和曲面的基礎知識,5.1.1 曲線和曲面的表示方法1．顯式表示顯式表示是將曲線上各點的坐標表示成方程的形式，且一個坐標變量能夠用其余的坐標變量顯式的表示出來。2．隱式表示隱式表示不要求坐標變量之間一一對應，它只是規(guī)定了各坐標變量必須滿足的關系。3．參數表示參數表示是將曲線上各點的坐標表示成參數方程的形式。假定用t表示參數，參數t在[0，1]區(qū)間內變化，當t

2、=0時，對應曲線段的起點，當t=1時，對應曲線段的終點。,與顯式、隱式方程相比，用參數方程表示曲線和曲面更為通用，其優(yōu)越性主要體現在以下幾個方面：（1）曲線的邊界容易確定。（2）點動成線。（3）具有幾何不變性。（4）易于變換。（5）易于處理斜率為無窮大的情形。（6）表示能力強。,5.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率與撓率1．位置矢量2．切矢量3．法矢量主法矢量 、副

3、法矢量 法平面、密切平面 、副法平面,,,4．曲率和撓率,,,5.1.3 樣條表示1．插值、逼近和擬合給定一組稱為控制點的有序坐標點，通過這些控制點，可以構造出一條樣條曲線：如果樣條曲線順序通過每一個控制點，稱為對這些控制點進行插值，所構造的曲線稱為插值樣條曲線；如果樣條曲線在某種意義下最接近這些控制點（不一定通過每個控制點），稱為對這些控制點進行逼近，所構造的曲線為逼近樣條曲線；插值和逼近統稱為擬

4、合。,2．曲線的連續(xù)性（1）參數連續(xù)性0階參數連續(xù)性1階參數連續(xù)性2階參數連續(xù)性（2）幾何連續(xù)性0階幾何連續(xù)性1階幾何連續(xù)性2階幾何連續(xù)性,5.2 Hermite曲線,5.2.1 n次參數多項式曲線給定n+1個控制點，可以得到如下n次參數多項式曲線p(t)：經過分解，上式可改寫為如下形式：通常，將T·M矩陣稱為n次參數多項式曲線的基函數（或稱調和函數、混合函數）。,,,5.2.2

5、 三次Hermite曲線的定義如果給定一段三次參數樣條曲線的兩個端點的位置矢量為p(0)、p(1)，切矢量為p’(0)、p’(1)，則三次Hermite曲線的矩陣表示為：通常，將T稱為矢量矩陣，將Mh稱為通用變換矩陣，將Gh稱為Hermite系數，將T?Mh稱為Hermite基函數。,,5.3 Bezier曲線,5.3.1 Bezier曲線的定義在空間給定n+1個控制點，其位置矢量表示為Pi（i = 0,

6、 1, …, n）?？梢员平扇缦碌膎次Bezier曲線：其中， 稱為伯恩斯坦（Bernstein）基函數，它的多項式表示為：,,,,依次用直線段連接相鄰的兩個控制點Pi，Pi+1，（i = 0, 1, …, n – 1），便得到一條n邊的折線P0P1P2…Pn，將這樣一條n邊的折線稱為Bezier控制多邊形（或特征多邊形），簡稱為Bezier多邊形。Bezier曲線和它的控制多邊形十分逼近，通常認為控

7、制多邊形是對Bezier曲線的大致勾畫，因此在設計中可以通過調整控制多邊形的形狀來控制Bezier曲線的形狀。,1．一次Bezier曲線（n=1）一次多項式，有兩個控制點，其矩陣表示為： 顯然，它是一條以P0為起點、以P1為終點的直線段。,,2．二次Bezier曲線（n=2）二次多項式，有三個控制點，其矩陣表示為：顯然，它是一條以P0為起點、以P2為終點的拋物線。,,3

8、．三次Bezier曲線（n=3）三次多項式，有四個控制點，其矩陣表示為：可知，三次Bezier曲線是一條以P0為起點、以P3為終點的自由曲線。,,5.3.2 Bernstein基函數的性質1．正性2．端點性質3．權性（規(guī)范性）4．對稱性5．最大值6．遞推性7．導函數,5.3.3 Bezier曲線的性質1．端點性質位置矢量 切矢量 二階導矢 2．對稱性3．

9、凸包性4．幾何不變性5．變差縮減性6．仿射不變性,5.3.4 Bezier曲線的生成1．Bezier曲線的生成算法參見例5-22．手工繪制一段Bezier曲線3．Bezier曲線的連接4．Bezier曲線的升階與降階,5.4 B樣條曲線,5.4.1 B樣條曲線的定義在空間給定m + n + 1個控制點，用向量Pi表示（i = 0,1,…, m + n），稱n次參數曲線：為n次B樣條的第i段曲線(

10、i = 0, 1, …, m)。其中：Fl,n(t)是新引進的B樣條基函數，即：這樣一共有m + 1段B樣條曲線，統稱為n次B樣條曲線。,,,依次用直線段連接相鄰的兩個控制點Pi+l與Pi+l+1（l = 0, 1, …, n –1），將得到的折線稱為第i段的B控制多邊形。由第i段的B控制多邊形決定的B樣條曲線稱為第i段B樣條曲線。由于任意一段的B樣條曲線具有相同的幾何性質，因此取i = 0，即第0段的B樣條曲線進

11、行研究，第0段的B樣條曲線定義式為：,,,5.4.2 B樣條曲線的表示及性質以三次B樣條曲線為例：1、三次B樣條曲線的矩陣表示,,2、三次B樣條曲線的端點性質位置矢量切矢量二階導數3、三次B樣條曲線的連續(xù)性,5.4.3 B樣條曲線的生成1．B樣條曲線的生成算法參見例5-9 2．反求三次B樣條曲線控制點3．B樣條曲線與Bezier曲線的轉換,5.5　Coons曲面,5.5.1 參數曲面的基本概念定義雙參

12、數曲面的方程為： P(u,v)，u,v∈[0,1]則曲面片的四條邊界可以由參數曲線P(u,0), P(u,1), P(0,v), P(1,v)定義，曲面片的四個角點可以由P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)定義。,5.5.2 Coons曲面的定義應用Hermite曲線的基函數，可以構造出一個雙三次Coons曲面，其矩陣表示為：

13、 其中：,,,,它稱為角點信息矩陣。,,5.5.3 Coons曲面的拼合設有兩塊相鄰的曲面片P與Q，兩塊Coons曲面片的拼接分為沿u方向的拼接和沿v方向的拼接。以沿u方向的拼接為例 ：1．若要滿足G 0連續(xù)，則要求P與Q有共同的邊界，即 。2．若要滿足G 1連續(xù)，則要求P與Q在共同的邊界上有相同的切平面，即

14、 ，k為常數。,,,5.6　Bezier曲面,5.6.1 Bezier曲面的定義及性質1．Bezier曲面的定義在空間給定(n+1)×(m+1)個點Pij(i=0,1…n; j=0,1…m)，則可逼近生成一個n×m次的Bezier曲面片，其定義為：稱Pij為P(u,v)的控制頂點；把由兩組多邊形Pi0Pi1…Pim (i=0,1,…n)和P0jP1j…Pnj (j=0,1,…m)組成的網格稱為

15、P(u,v)的控制多面體（控制網格），記為{Pij}。同樣，P(u,v)是對{Pij}的逼近， {Pij}是P(u,v)的大致形狀的勾畫。,,由16個控制頂點所構成的控制網格可繪制一個雙三次(3×3次)Bezier曲面片，其矩陣表示為：其中：,,,,2．Bezier曲面的性質Bezier曲面的許多性質與Bezier曲線的許多性質完全一致。端點性質邊界線的位置凸包性,5.6.2 Bezier曲面的生成參見

16、例5-10,5.7　B樣條曲面,5.7.1 B樣條曲面的定義在空間給定(n+1)×(m+1)個點Pij(i=0,1…n; j=0,1…m)，則可逼近生成一個n×m次的B樣條曲面片，其定義為：相比于Bezier曲面，B樣條曲面要更加逼近于控制網格。,,由16個控制頂點所構成的控制網格可繪制一個雙三次(3×3次)B樣條曲面片，它的矩陣表示為：其中：,,,,,,5.7.2 B樣條曲面的