《計算電磁學(xué)》第一講

1、3/18/2024 11:15 AM,Dr. Ping DU (杜平),School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT),Oct. 9, 2011,Computational Electromagnetics 計算電磁學(xué),E-m

2、ail: pdu@hfut.edu.cn,3/18/2024 11:15 AM,為什么要學(xué)習(xí)《計算電磁學(xué)》？ ©為何要學(xué)習(xí)科學(xué)計算？ 現(xiàn)代科學(xué)研究的基本模式——科學(xué)實驗、理論分析、科學(xué)高性能計算（或高性能計算）。科學(xué)計算是20世紀(jì)重要的科技進(jìn)步之一。伴隨著電子計算機(jī)的出現(xiàn)迅速發(fā)展并得到廣泛應(yīng)用。目前，其已成為促進(jìn)重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)和科技進(jìn)步的重要手段?，F(xiàn)今科學(xué)計算已是體現(xiàn)國家科學(xué)技術(shù)核心競爭力的重要

3、標(biāo)志，是國家科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的關(guān)鍵要素之一。 科學(xué)計算技術(shù)：硬件+軟件。 硬件：計算機(jī) 軟件：算法,第一講 緒論,3/18/2024 11:15 AM,©為何要學(xué)習(xí)《計算電磁學(xué)》？它的重要性是什么？ 隨著科技的發(fā)展，比如分析深亞微米集成電路的Crosstalk問題、信號完整性問題；軍用目標(biāo)（比如戰(zhàn)機(jī)）的電磁特性；大型天線陣列

4、的設(shè)計等，人們對快速精確計算的要求越來越高。戰(zhàn)機(jī)的電磁特性，如雷達(dá)散射截面(RCS)的計算，一般要在設(shè)計時就要得到。美國在上世紀(jì)90年代開發(fā)了FISC、XPATCH等分析該問題的軟件。目前，我國雖然也開發(fā)了幾款類似軟件，但據(jù)說計算精度和 實際要求還有一定差距。 因此需要繼續(xù)研究《計算電磁學(xué)》。,3/18/2024 11:15 AM,《計算電磁學(xué)》的研究特點？ 先建立電磁、數(shù)學(xué)模型，然后通

5、過適當(dāng)?shù)乃惴ㄔ谟嬎銠C(jī)上實現(xiàn)。 算法(algorithm)，簡單說就是解決具體問題時計算機(jī)所能執(zhí)行的步驟。算法的評價標(biāo)準(zhǔn)：能否得到結(jié)果、精度是否滿足要求、 計算量等。,3/18/2024 11:15 AM,算法得到的結(jié)果與真實結(jié)果之間總會存在誤差，其主要來源有：模型誤差 觀測誤差 方法誤差舍入誤差另外，收斂性和穩(wěn)定性問題也要考慮。,3/18/2024 11:15 AM,電磁場問題求解方法

6、 三類：解析法、數(shù)值法、半解析數(shù)值法。 © 解析法 偏微分方程：分離變量法(Separation of variables) 積分方程： 變換法,3/18/2024 11:15 AM,優(yōu)點：可將解答表示為已知函數(shù)的顯式，從而可計算出精確的數(shù)值結(jié)果； 可作為近似解和數(shù)值解的檢驗標(biāo)準(zhǔn)；可方便觀察到問題的內(nèi)在聯(lián)系和各參數(shù)對數(shù)值結(jié)果所

7、起的作用。,缺點：只能解決很少量的問題。 比如，標(biāo)量亥姆霍茲問題，只有在11種坐標(biāo)系下才能用分離變量法求解。所分析問題的邊界面只能為11種坐標(biāo)系中的一個或幾個的組合；另外，邊界條件只能為一類或二類才行。,對積分方程，只有其核為某些形式時才能用變換法得到解。因而近似解析法就顯得十分重要。,3/18/2024 11:15 AM,近似解析法 常見的有微擾法、變分法、多極子展開近似等。 高頻近似

8、法，如幾何光學(xué)法(GO)、物理光學(xué)法(PO)、幾何繞射理論(GTD)、一致性繞射理論（UTD）、物理繞射理論(PTD)、彈跳射線法(Shooting and Bouncing Rays , SBR)。 低頻近似法，如準(zhǔn)靜態(tài)場近似。,這些近似法共同點是： 根據(jù)求解問題的解的范圍(定義域、值域)作出該范圍內(nèi)成立的近似假設(shè)，從而得到簡化模型和求解過程的目的。,3/18/2024 11:15 AM,© 數(shù)

9、值方法： 優(yōu)點： 普適性強(qiáng)； 用戶不必掌握高度專業(yè)化的電磁場理論、數(shù)學(xué)及數(shù)值技術(shù)方面的知識就能用提供的程序解決實際問題。 主要有：有限元法(FEM)時域有限差分法(FDTD)矩量法(MoM).,3/18/2024 11:15 AM,©半解析數(shù)值法 它結(jié)合了純解析法和純數(shù)值法的優(yōu)點，使數(shù)值計算工作量顯著降低，適合微機(jī)計算。同時，保留了純數(shù)值法的靈活性和通用

10、性。 比如，直線法 ( Method of Lines),3/18/2024 11:15 AM,常用的幾種數(shù)值計算方法 ©有限元法（FEM法)：離散泛函形式的麥克斯韋方程。 早在1940年代就提出， 1950年代用于飛機(jī)設(shè)計； 但開創(chuàng)性工作是R. W. Clough在1960年的著作中奠 定的。

11、1960年代末-70年代初，被移植到電磁場工程領(lǐng)域。,3/18/2024 11:15 AM,早期：里茲有限元：應(yīng)用瑞利-里茲方法，廣泛應(yīng)用于求解Laplace方程和Poisson方程所描述的場問題。 后來：伽略金(最小二乘)有限元法：應(yīng)用加權(quán)余量法中的伽略金(Galerkin)法或最小二乘法也可以得到有限元方程。這樣，F(xiàn)EM法能夠分析任何微分方程所描述的各類物理場。另外，它也能用于分析時變場、非線性場以及復(fù)雜媒質(zhì)中的電

12、磁場問題。,3/18/2024 11:15 AM,有限元法的幾個優(yōu)點：采用物理上離散與分片多項式插值，對材料邊界、激勵有廣泛適應(yīng)性； 基于變分原理，將數(shù)理方程變?yōu)榇鷶?shù)方程組求解； 采用矩陣形式和單元組裝方法，其各環(huán)節(jié)易于標(biāo)準(zhǔn)化，程序通用性強(qiáng)，且具有較高的計算精度，便于編寫程序和維護(hù)，適宜于制作商業(yè)軟件.國際學(xué)術(shù)界對有限元法的理論、計算技術(shù)和各方面的應(yīng)用做了大量的工作，許多問題均有現(xiàn)成的程序，可用的商業(yè)軟件資源相對較多。電磁領(lǐng)域

13、有HFSS。,3/18/2024 11:15 AM,早期有限元法存在幾個缺點：出現(xiàn)偽解，這是由于未強(qiáng)加散度條件引起的； 在材料邊界和導(dǎo)體表面強(qiáng)加邊界條件不便； 處理導(dǎo)體和介質(zhì)邊緣及角有困難。,1980年代末、90年代初，提出了矢量有限元法(Vector FEM)，也叫棱邊元(edge element)。該方法克服了上面提到的缺點。,3/18/2024 11:15 AM,FEM法因為其優(yōu)點受到了人們的歡迎。但隨著對FEM的研究，特

14、別是工程上實際應(yīng)用的深入，一些新問題也隨之出現(xiàn)：所解問題的復(fù)雜性和經(jīng)費、時間以及計算機(jī)能力有限之間存在著矛盾； FEM法為區(qū)域性解法，分割的元素數(shù)和節(jié)點數(shù)較多，導(dǎo)致所需要的初始數(shù)據(jù)復(fù)雜、使用不便。但利用剖分軟件如ANSYS、Patran等商業(yè)軟件可以將分析區(qū)域自動剖分成三角形單元(二維問題，如波導(dǎo)的本征值問求解)或四面體單元(三維問題，如介質(zhì)體的散射計算)。,(To be cont’d),3/18/2024 11:15 AM,有

15、限元產(chǎn)生的代數(shù)矩陣方程的條件數(shù)。隨著網(wǎng)格細(xì)分，單元尺寸h變小，條件數(shù)將變壞，導(dǎo)致計算結(jié)果很差。 為求解壞條件數(shù)的矩陣方程，人們提出了預(yù)條件技術(shù)(Preconditioning techniques)，如稀疏近似逆（SAI）、雙層(Two-level)預(yù)條件技術(shù)、稀疏化遞歸Cholesky分解以及折疊預(yù)條件(Folded preconditioning)( IEEE TRANS. MAGNET

16、ICS, VOL. 46, No. 7, Jul. 2010)等。,(To be cont’d),3/18/2024 11:15 AM,對于無限大區(qū)域中的問題，由于其邊界條件難以妥善處理，即使能求得結(jié)果，誤差也較大。兩個解決辦法：1. 采用效果較好的截斷邊界條件；它可以保持FEM中矩陣方程稀疏性、但計算空間較大；2. 采用有限元法+邊界積分方程(FE-BI)。邊界積分破壞了矩陣方程的稀疏性，但大多數(shù)情況下能夠減少計算空間。,基于FEM

17、法的商業(yè)軟件如Ansoft HFSS。,3/18/2024 11:15 AM,© 時域有限差分法(FDTD): 直接離散時域麥克斯韋方程。 有限差分法，在19世紀(jì)末已經(jīng)提出。1950年代，它才與近似數(shù)值分析結(jié)合起來。它簡單、直觀，得到了廣泛應(yīng)用。 原理：它是以差分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值方法，它把電磁場連續(xù)域內(nèi)的問題變?yōu)殡x散系統(tǒng)的問題。 有限差分

18、法一般是在頻域中應(yīng)用的。1966年K. S. Yee將其應(yīng)用于時域電磁問題，提出了時域有限差分法，即FDTD法。1980年代后期開始受到了人們的重視。,3/18/2024 11:15 AM,隨著吸收邊界條件(Absorbing boundary condition, ABC)的不斷完善、各種非標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格劃分技術(shù)、計算量壓縮技術(shù)、抗誤差積累技術(shù)等的深入研究使得它幾乎應(yīng)用于所有電磁問題，如電磁散射、天線特性、電磁波的生物效應(yīng)、波導(dǎo)與諧振腔問題

19、、微波與毫米波集成電路分析等。,基于FDTD法的商業(yè)軟件如GEMS。,3/18/2024 11:15 AM,© 矩量法(MoM)：直接離散積分形式麥克斯韋方程。 1963年，K. K. Mei (梅冠香)在博士論文中首次采用了該方法。 1968年R. F. Harrington(哈林頓)在其專著中Field Computation by Method of Momen

20、ts，對該方法進(jìn)行了全面深入的分析，用統(tǒng)一的觀點進(jìn)行了簡單扼要地介紹。,3/18/2024 11:15 AM,MoM的步驟：將需要求解的微分或積分方程寫成帶有微分或積分算符的算子方程；將待求函數(shù)表示為一組基函數(shù)的線性組合并代入到算子方程；然后選一組權(quán)函數(shù)對所得的方程取內(nèi)積，從而得到矩陣方程或代數(shù)方程組。 最后就是利用計算機(jī)求解上面所得的方程組。,3/18/2024 11:15 AM,MoM能夠分析嚴(yán)格解析法和近似解析法不能解決

21、的邊界比較復(fù)雜的問題。MoM的計算量很大。對于由微分方程為基礎(chǔ)的離散方程，其系數(shù)矩陣多為大型病態(tài)稀疏矩陣；對于由積分方程為基礎(chǔ)的離散方程，其系數(shù)矩陣通常為滿陣(Dense matrix)，所有元素都要進(jìn)行計算。 在電磁學(xué)中，MoM一般應(yīng)用于分析積分方程。這樣，它產(chǎn)生的系數(shù)矩陣為滿陣，其內(nèi)存需求為 ，CPU時間為 ，其中N為未知量數(shù)目。因而，該方法只適合分析較小的電磁問題。,,,3/18/2

22、024 11:15 AM,為了能用它分析大型電磁問題，人們提出了許多方法，如 快速方法，如 ©多層快速多極子方法MLFMA ©共軛梯度-快速傅立葉法CG-FFT ©自適應(yīng)積分法AIM ©pFFT新穎的基函數(shù)，如 ©綜合基函數(shù) (Synthesis Basis function, SBF) ©特征基函數(shù) (Char

23、acteristic BF) ©子全域基函數(shù) (SED BF)混合法，如 物理光學(xué)-矩量法(PO-MoM)。,3/18/2024 11:15 AM,基于MoM法的商業(yè)軟件: FEKO （MLFMA） IE3D Ansoft Designer等,3/18/2024 11:15 AM,本課程主要內(nèi)容： © FDTD (FDM)FDM: 差分格式、差分方程組的求解；F

24、DTD：差分格式及解的穩(wěn)定性、吸收邊界條件(開域問題)、激勵源的設(shè)置等。ADI-FDTD：基本原理、吸收邊界條件等 © MoM MoM的基本原理、其在靜電問題、二維/三維散射問題、天線/天線陣中的應(yīng)用。,3/18/2024 11:15 AM,目標(biāo)： 掌握FDTD和MoM的基本原理，并能編程計算若干電磁問題。計算機(jī)語言要求：

25、 掌握MATLAB，F(xiàn)ortran 90/95 或C其中之一.考核方法： 平時作業(yè)、期末考試.,3/18/2024 11:15 AM,參考書目(References)： [1] 金建銘著，王建國譯.電磁場有限元方法. 西安電子科技大學(xué)出版社 [2] 王秉中. 計算電磁學(xué). 科學(xué)出版社. [3] 葛德彪，閆玉波. 時域有限差分法. 西安電子科技大學(xué)出版社. [4] R. F

26、. Harrington. Field Computation by Method of Moments. IEEE Press. [5] 余文華, 蘇濤, Raj Mittra, 劉永俊. 并行時域有限差分. 中國傳媒大學(xué)出版社 擴(kuò)展文獻(xiàn)： [6] 盛新慶. 計算電磁學(xué)要論（第二版). 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社. [7] 呂英華. 計算電磁學(xué)的數(shù)值方法. 清華大學(xué)出版社,3/18/2024 11:15 AM,