2000 mo集訓(xùn)，測(cè)驗(yàn)v

1、中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克賽前培訓(xùn)練習(xí)41.設(shè)是大于1的整數(shù)，記n1102sin2cos????nknkinkk????試求下式的最簡(jiǎn)表示：??????112.)(nkjkj??2.證明：如果，則?????Znkaniki11nknikkiniinnaa)(1111????????3.如果正整數(shù)n的所有正因數(shù)(包括本身)之和為2n，則稱n為完全數(shù)。如6的正因數(shù)之和1236=26，故6為完全數(shù)。證明：不存在形如paqbrc的完全數(shù)，其中abc為正整

2、數(shù)，pqr為奇質(zhì)數(shù)。4.設(shè)f(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，并且f(x)=1有整數(shù)根，約定將所有滿足上述條件的f的組成的集合記為F。對(duì)于任意給定的整數(shù)k1，求最小的整數(shù)m(k)1，要求能保證存在f?F，使得f(x)=m(k)恰有k個(gè)不相同的整數(shù)根。5.一次體育比賽共設(shè)有個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)選手恰好報(bào)名參加其中的兩個(gè)項(xiàng)??22nn?目，而任兩個(gè)人都至多有一個(gè)相同的項(xiàng)目，假定對(duì)于每個(gè)，不??121kn???超過(guò)人報(bào)名的項(xiàng)目少于個(gè).kk證明：存在個(gè)選手，使得每

3、個(gè)項(xiàng)目都恰好有其中的兩人參加.2n3.如果正整數(shù)n的所有正因數(shù)(包括本身)之和為2n，則稱n為完全數(shù)。如6的正因數(shù)之和1236=26，故6為完全數(shù)。證明：不存在形如paqbrc的完全數(shù)，其中abc為正整數(shù)，pqr為奇質(zhì)數(shù)。證：假設(shè)存在奇素?cái)?shù)pqr及正整數(shù)abc，使得paqbrc為完全平方數(shù)，不妨設(shè)3≤ppa1p－1qb1q－1rc1r－11p－11q－11r－12，由此知p=3q=5r=71113之一。?1?變?yōu)?23a5brc，3a1