第五章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)與教

1、浙江省舟山市南海實(shí)驗(yàn)學(xué)校鄭偉君13515800518,基礎(chǔ) 方法 能力 ---數(shù)學(xué)教育教學(xué)感悟,數(shù)學(xué)解題教學(xué)的建議 ——基礎(chǔ)+方法,1.重視問(wèn)題的分析——高效的啟發(fā),2.直觀化教學(xué)策略-----數(shù)形結(jié)合,3.重視總結(jié)解題的規(guī)律和方法,4.我們何時(shí)需要”講”,5.深刻理解數(shù)學(xué)概念促使問(wèn)題轉(zhuǎn)化,例1、如圖，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，且交點(diǎn)為O

2、。求證：OE=OD,三角形中內(nèi)角、外角的有關(guān)性質(zhì),角平分線的有關(guān)性質(zhì),1.重視問(wèn)題的分析——高效的啟發(fā),證明線段相等的基本知識(shí)和方法,對(duì)“角平分線”概念的理解,從定義角度理解：∠1＝∠2＝1/2∠AOB從性質(zhì)角度理解：角平分線上的點(diǎn)到解的兩邊距離相等；從對(duì)稱性角度理解：角是軸對(duì)稱圖形，平分線所在的直線是對(duì)稱軸。,例1、如圖，已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，且交點(diǎn)為O。求證：OE=OD,分

3、析1：由已知你可以得到什么結(jié)論？,你還可以得到什么結(jié)論？,啟發(fā)：點(diǎn)O有什么特殊性質(zhì)？,結(jié)合結(jié)論只需證明什么？,△OME≌△OND,,,所以，只需證明∠OEM=∠ODN！,M,N,分析2：由已知你可以得到什么結(jié)論？,你還可以得到什么結(jié)論？,啟發(fā)：直線BO有什么特殊性質(zhì)？,結(jié)合結(jié)論只需證明什么？,△OMC≌△ODC,所以，只需證明∠MOC=∠DOC！,M,,直線BO是對(duì)稱軸，所以取BM=BE時(shí)可得：OE=OM。,小結(jié)：對(duì)角平分線概念從不同

4、的角度進(jìn)行理解就是知識(shí)基礎(chǔ)；分析的過(guò)程（要經(jīng)常用分析思路圖，體現(xiàn)“兩頭湊”思考的過(guò)程），啟發(fā)語(yǔ)句的運(yùn)用等就是方法。,1.重視問(wèn)題的分析——高效的啟發(fā)例2、如圖，E、F分別是△ABC的邊AB、AC上的兩定點(diǎn)，在BC上求一點(diǎn)M，使△MEF的周長(zhǎng)最短。,考試結(jié)果11班有24個(gè) 學(xué)生作出了EF的中垂線與BC的點(diǎn)，占

5、 50%，我班有12人,理解問(wèn)題 在BC上求一點(diǎn)M，使△MEF的周長(zhǎng)最短，即EF+FM+ME最?。僧?huà)草圖分析）。制訂計(jì)劃 因?yàn)镋、F為定點(diǎn)，所以EF為定值，所以只要FM+ME最小，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在BC上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到兩定點(diǎn)E、F的距離之和最小。（轉(zhuǎn)化為一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題）3、執(zhí)行計(jì)劃 作點(diǎn)E或F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)……4、回顧,例3，已知：如圖，平行四邊形ABCD中，G為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD于E，

6、交BC于F，求證：AE：EF=EG：AE,理解問(wèn)題 正確觀察圖形，并聯(lián)想有關(guān)性質(zhì)，聯(lián)想與結(jié)論有關(guān)的性質(zhì)。制訂計(jì)劃 采用“兩頭湊”的分析方法。AE：EF可進(jìn)行怎樣的轉(zhuǎn)化……（DE：EB或AD：FB），EG：AE可轉(zhuǎn)化為……（DE：EB或DG：AB），都等于DE：EB，成功?。ㄒ部刹捎眉^法）3、執(zhí)行計(jì)劃 用演繹法表述推理過(guò)程4、回顧 特別是前兩步的思考方法。,例4.如圖，三角形ABC和DEF都是正三角形（A與F重

7、合，D、A、C在一條直線上） ，AC=5，DF= ，把三角形DEF沿AC方向平移，當(dāng)三角形AEC是等腰三角形時(shí)，求平移的距離。,先充分理解題意,找到在移動(dòng)過(guò)程中變與不變的”元素”,弄清問(wèn)題中圖形的變化規(guī)律, 在此基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納和抽象(改變問(wèn)題).注意不要急于用媒體展示變化過(guò)程!,三角形ACE是等腰三角形有下面三種可能①若AC=AE，以A為圓心AC為半徑作圓得點(diǎn)E1；②若AC=CE，以C為圓心CA為半徑作圓得點(diǎn)E2

8、和E3；③若AE=CE，作AC的垂直平分線得點(diǎn)E4。移動(dòng)距離只要求垂足之間的距離HH2即可。,重視啟發(fā)引導(dǎo),案例：這樣講題目更好例3：如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在弧BC的中點(diǎn)A1，若BC=5，則折痕在△ABC內(nèi)的部分EF的長(zhǎng)為 。師：我們先來(lái)感覺(jué)一下這個(gè)圖形的特點(diǎn)，你感覺(jué)這個(gè)圖形中的哪些線段比較特殊？生1：我感覺(jué)線段AA1是直徑。,理解教學(xué)——讓學(xué)生參與分析題意尋求解題思路的

9、過(guò)程,師：為什么？生1：連結(jié)BA1，因?yàn)锳1是弧BC的中點(diǎn)，所以AA1是BAC的平分線，所以∠BAA1=30°，∠BA1A=∠C=60°，所以∠A1BA=90°，AA1是直徑。生2：我是這樣想的，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以弧BA=弧AC，A1是弧BC的中點(diǎn)，所以由垂徑定理，AA1是直徑。生3：因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以弧BA=弧AC，所以弧BA是弧BAC的一半，同理弧BA1是弧BA1C的一半，

10、所以弧ABA1是半圓，所以AA1是直徑。師：三個(gè)同學(xué)用三種不同的說(shuō)法說(shuō) 明了AA1是直徑，說(shuō)明大家很會(huì)動(dòng) 腦筋，知識(shí)的應(yīng)用很靈活，學(xué)得很 有效果，希望大家繼續(xù)有好的表現(xiàn)。,理解教學(xué)——讓學(xué)生參與分析題意尋求解題思路的過(guò)程,生4：我感覺(jué)MN是直徑，因?yàn)镸N是對(duì)稱軸，而圓的對(duì)稱軸過(guò)圓心，所以MN是直徑。生5：我感覺(jué)MN和EF是平行的，因?yàn)樗麄兌即怪庇贏A1。生6：那么△AEF是正三角形了。師：很好，現(xiàn)在

11、同學(xué)們對(duì)這個(gè)圖形已經(jīng)有了比較全面和深入的了解，下面可以考慮該如何求EF的長(zhǎng)度的問(wèn)題了。生1：在△ABA1中，AB=5，∠AA1B=60°，所以， ，所以EO=5/3所以EF=10/3。,,,理解教學(xué)——讓學(xué)生參與分析題意尋求解題思路的過(guò)程,生7：我不用求出直徑也可以求EF的長(zhǎng)。因?yàn)椤螦1=60°，所以△A1OB是正三角形，又BC⊥A1O，所以O(shè)G=1/2OB=1/2OA，所以E

12、F：BC=AO：AG=2：3，所以EF=10/3生8：我用相交弦定理，更簡(jiǎn)單。設(shè)EF=x，那么， ，因?yàn)锳E×EB=ME×EN所以解得x=EF=10/3生9：我還有另一種解法。說(shuō)著他走到前面在黑板上很自信地寫(xiě)下：師：請(qǐng)你說(shuō)明你的思路。,,,,,,理解教學(xué)——讓學(xué)生參與分析題意尋求解題思路的過(guò)程,這時(shí)，下面出現(xiàn)了議論聲，并且越來(lái)越響，我感覺(jué)有事情了，果然，生8：老師

13、，我怎么用他的方法解不出EF的值呢？化簡(jiǎn)后的等式?jīng)]有x了呀。老師在黑板上演算后，發(fā)現(xiàn)真的出現(xiàn)了不含x的恒等式了，同學(xué)們感到很迷惑。師：請(qǐng)大家思考，怎么會(huì)出現(xiàn)這種情況，你能發(fā)現(xiàn)其中的原因嗎？同學(xué)們展開(kāi)了熱烈的討論，不一會(huì)，生7：這個(gè)等式中的EF不管在什么位置都能夠使這個(gè)等式成立，所以求不出EF的具體數(shù)值了。,,,,,,理解教學(xué)——讓學(xué)生參與分析題意尋求解題思路的過(guò)程,師：生7講得很好，事實(shí)上不論EF的位置如何，只要它平行于BC，都

14、有生9的等式成立，也就是EF的值不能確定了。那么這個(gè)思路是否一定不對(duì)嗎？我們是否可以做些改正呢？又一輪討論開(kāi)始了，約一分鐘后，生9有了答案。生9：只要把 改為 就可以了。師：為什么這樣就行了？生9：梯形的高是AO的一半，這樣就確定了EF的位置，所以一定是對(duì)的。教室里很安靜，但馬上就出現(xiàn)了大家對(duì)生9的

15、贊嘆聲。,,,,,,,,2.直觀化教學(xué)策略-----數(shù)形結(jié)合,美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩:如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形,那么思想就整體地把握了問(wèn)題,并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法.圖形表征不僅能夠明確展現(xiàn)問(wèn)題各個(gè)組成部分的拓?fù)潢P(guān)系和幾何關(guān)系,而且圖形表征的相關(guān)信息通常處于鄰近的位置,這就使得人們易于識(shí)別模式、搜索信息和展開(kāi)推導(dǎo)。華羅庚曾精辟地說(shuō)過(guò):數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微,兩者結(jié)合萬(wàn)般好,隔離分家萬(wàn)事休. 研究表明，文本信息在

16、有圖形描述時(shí)比沒(méi)有圖形描述時(shí)能夠記得更加深刻。學(xué)生的問(wèn)題：為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)圖象？x------圖象------y 函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系,教法1:示意編碼法 這種教法多見(jiàn)于課本.教法2:圖形編碼法 將(a+b)和(c+d)看成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,利用大長(zhǎng)方形的面積等于四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和. 這種教法多見(jiàn)于情境創(chuàng)設(shè)中.教法3:標(biāo)簽編碼法（前 + 后）×

17、（前+ 后）=前前+ 前后+ 后前+后后 口訣：前加后乘以前加后，等于前前、前后、后前、后后的和。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)，圖形編碼的學(xué)習(xí)效果最好。,例:公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd的教學(xué),例1.已知點(diǎn)A(a,b),O為坐標(biāo)原點(diǎn),連結(jié)OA,將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到OA1,則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為( )A.(-a,b) B.(a,-b) C.(-b,a) D.(b,-a),1.建議畫(huà)一個(gè)符合題意

18、的一般圖形(方法);2.怎樣確定點(diǎn)A1的坐標(biāo)呢?3.思考坐標(biāo)的本來(lái)意義是什么?(知識(shí));4.過(guò)點(diǎn)A和A1向坐標(biāo)軸作垂線!(方法)(也可用特殊的數(shù)代替a,b,其實(shí)質(zhì)是一樣的),例2.二次函數(shù)y=x2-x+a(a>0),當(dāng)x取m時(shí),y<0,問(wèn)x取m-1時(shí),y取正數(shù)還是負(fù)數(shù)還是0?,1.滿足題意的圖不容易畫(huà)出;(注意到:開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=1/2,與y軸交點(diǎn)在正半軸上)2.由圖可知0＜m＜1;3.所以m-1＜0,又

19、由圖得y取正數(shù),滲透數(shù)形結(jié)合思想方法、深入理解函數(shù)的意義，掌握具體的方法.------畫(huà)示意圖,例2’.一個(gè)二次函數(shù)的圖象,三位同學(xué)分別說(shuō)出了它的一些特點(diǎn)：甲：對(duì)稱軸是直線x=4的直線；乙：與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3。請(qǐng)寫(xiě)出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)。,1.通過(guò)畫(huà)圖可知,這個(gè)三角形的底AB和高OC的長(zhǎng)度都是整數(shù),且AB·OC=6;2.由拋物線的

20、對(duì)稱性可知,AB=2或6;3.y=±1/5(x-3)(x-5)或y=±1/7(x-1)(x-7),例3. 方程 實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為( ) A. 3個(gè) B. 2個(gè) C. 1個(gè) D. 0個(gè),1.設(shè)y1=x2-1,y2=1/x,利用圖象,看它們的交點(diǎn)情況.2.注意符合題意的圖形應(yīng)是下面的哪一個(gè)呢?,滲透數(shù)形結(jié)合思想方法、深

21、入理解函數(shù)的意義，掌握具體的方法.------畫(huà)示意圖,例4、函數(shù)y1=-2/x, y2=-x-1,當(dāng)x何值時(shí)，y1<y2。,1.函數(shù)值的大小反映在圖象上就是圖象位置的高和低;2.函數(shù)圖象交點(diǎn)(-2,1)和(1,-2)的意義?3.注意x≠0,結(jié)合圖象就可確定y1<y2時(shí),x的取值范圍是x＜-2或0＜x＜1,例5.若一元二次方程ax2+bx+c=0的系數(shù)滿足a + b + c＜0, a – b + c=2,則該方程(

22、 ) A. 必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； B. 必有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； C. 必?zé)o實(shí)數(shù)根； D. 無(wú)法確定.,3.重視總結(jié)解題的規(guī)律和方法,例1.如圖，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，2），且與x軸的交點(diǎn)的橫

23、坐標(biāo)分別為，x1，x2，其中-20;②4a-2b+c<0;③2a-b<0;.其中正確的有（ ）A. 0個(gè)，B. 1個(gè)， C.2個(gè)，D.3個(gè),例2.(09黃石)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象(a ≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論①abc>0;②2a+b0.其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）A. 4個(gè)，B.3個(gè)， C.2個(gè)，D.1個(gè),①錯(cuò)②對(duì)③對(duì),難點(diǎn)是第④a+c>0,可從a和c的意義角度考慮,當(dāng)二次函數(shù)的開(kāi)口

24、方向和大小確定時(shí),a的值也隨之確定,再通過(guò)平移圖象改變c 值的大小.所以a+c的值有取正、負(fù)、0的情況，如當(dāng)交點(diǎn)為x1=-0.2,x2=2.1時(shí)，a+c＜0。選C,這類問(wèn)題最近幾年較普遍地出現(xiàn)在各類考題中，它能較全面地考查函數(shù)基本性質(zhì)，充分發(fā)揮函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，如增減性與圖象的特征，突出了利用函數(shù)圖象溝通自變量與函數(shù)值這兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)圖象與解析式的關(guān)系，正確運(yùn)用函數(shù)圖象信息的能力等都有較高要求。具有較強(qiáng)的綜合性

25、。這樣的問(wèn)題其實(shí)是鞏固函數(shù)知識(shí)的很好載體教學(xué)中要引起足夠的重視?；貞涭柟袒A(chǔ)知識(shí)：函數(shù)圖象能清楚地反映出函數(shù)中兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系在解析式中的表現(xiàn)就是關(guān)于系數(shù)的方程或者不等式,提煉歸納解決問(wèn)題的方法：這類問(wèn)題中的結(jié)論可分為三類，一是利用圖象或已知條件中的信息（圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，2）），可直接得出的結(jié)論，如系數(shù)a，c，b2-4ac，等的符號(hào)或滿足的等式。二是利用這些符號(hào)或不等式可以進(jìn)一步得出的結(jié)論，如b的符號(hào)，本題中③

26、2a-b0，可以根據(jù)系數(shù)a,c的本質(zhì)特征結(jié)合題意得到解決。,例3．已知D，E分別是△ABC的邊BC，CA上的點(diǎn)，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。連結(jié)AD和BE，它們交于點(diǎn)P。過(guò)P分別作PQ∥CA，PR∥CB，它們分別與邊AB交于點(diǎn)Q，R，則△PQR的面積與△ABC的面積的比是________。,作EF∥AD交BC于F，則DF：DC=AE：AC，求得FD=5/7，所以BP：BE=BD：BF=28：33，即PQ：AE=BP：EP=

27、28：33，所以PQ=140/33，則△PQR的面積與△ABC的面積的比是_400：1089_____。,提煉歸納解決問(wèn)題的方法： 如圖中，點(diǎn)D、E、F把線段BC、AC、AD、BE分成的比中，只要已知其中的兩個(gè)比，就可以添加平行線利用相似三角形的性質(zhì)求得其它線段的比或線段的長(zhǎng)度！向?qū)W生講透求比的方法比多做題更有效果！,例4.已知：如圖一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與一次函數(shù)y

28、＝x＋1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S；(3)在軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在,求出所有的點(diǎn)P；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)在直線BC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)H,使△HBC的面積最大?若存在,請(qǐng)求出H點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．,（第24題）,(4)在直線BC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)H,使△

29、HBC的面積最大?若存在,請(qǐng)求出H點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．,（第24題）,總結(jié)規(guī)律:第4小題，拋物線上求一點(diǎn)使面積最大（?。?，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中已知三角形三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求這個(gè)三角形的面積最值問(wèn)題，這類通常有3種不同的思考途徑：一是補(bǔ)成矩形減直角三角形，二是把三角形分為兩個(gè)三角形，即面積=1/2×水平長(zhǎng)×鉛垂高，三是平行與三角形一邊的直線與拋物線有唯一交點(diǎn)……。,,,相似三角形的判定復(fù)習(xí)課,浙江省舟山市南海實(shí)

30、驗(yàn)初中 鄭偉君,4、如圖,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°，設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;,,,,,,,E,D,C,B,A,變式：如圖,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，∠EDF=45°，交AB于M，交

31、AC于N，（1）問(wèn)：圖中有相似三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。,（2）連結(jié)MN，則圖中又增加了幾對(duì)相似三角形？,,,,,,E,D,C,B,A,F,M,N,,變式：如圖,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，∠EDF=45°，,,,,,,E,D,C,B,A,F,M,N,,（3）當(dāng)∠EDF繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，DF與AC交于點(diǎn)N，問(wèn)：圖中還存在剛才的幾對(duì)相似

32、三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。,練習(xí)：如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1） 寫(xiě)出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；（2） 連結(jié)FG，如果α＝45°，AB＝ ，AF＝3，求FG的長(zhǎng)．,,,,,,,,,,,M,G,F,E,D,C,B,A,5.正方形邊長(zhǎng)為4, M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直。（

33、1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；（2） 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， Rt△ABM∽R(shí)t△AMN．,三、拓展提高,對(duì)于(2):如果結(jié)論成立,應(yīng)該有什么條件呢?比如哪兩個(gè)角應(yīng)該相等? ……,如果結(jié)論成立,應(yīng)該有什么條件呢?比如哪些邊會(huì)成比例呢? ……,思考方法:如果問(wèn)題的結(jié)論成立,應(yīng)該具有什么條件? …,值得思考的問(wèn)題,1.有關(guān)三角形相似的判定方法及性質(zhì)等知識(shí)你得到加深了嗎?2.你能提煉問(wèn)題中的基本圖形并會(huì)運(yùn)用它解決問(wèn)題嗎?3.你

34、知道數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的分析方法和策略應(yīng)該是怎樣的嗎?,1.回顧了三角形相似的四個(gè)判定方法及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用；特別是前兩種常用在平行型和相交型這種基本圖形中。,三、歸納總結(jié),,,,A,B,C,,D,,E,,,,A,B,C,,D,,E,,,,,,A,B,C,D,E,,,,,,2、解決了一類如圖所示的一條直線上有三角相等稱為“一線三等角”的圖形，這種圖形往往會(huì)有相似的結(jié)論。,,,,,,,,,,E,D,C,B,A,,,,,,,,,N,M,D,

35、C,B,A,┓,┏,┓,3.簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的分析方法和策略：從已知和求證出發(fā)經(jīng)過(guò)觀察、思考、推理…,探求結(jié)論成立的“兩頭湊”方法.感悟到分類討論等數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用，比如最后一題可以這樣思考：如果結(jié)論成立，必須要具有什么條件，而這個(gè)條件的成立又應(yīng)該具備怎樣的條件呢……要學(xué)會(huì)從不同的角度來(lái)分析。,4.我們何時(shí)需要”講”,在學(xué)生理解膚淺時(shí);在學(xué)生思路受阻時(shí);在學(xué)生理解有誤時(shí)…… 蘇霍姆林斯基認(rèn)為,探究問(wèn)題”

36、能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)周?chē)鷮?shí)際現(xiàn)象的興趣,發(fā)展他們看出多種事物和現(xiàn)象之間的相互聯(lián)系的能力”.課堂教學(xué)需要學(xué)生探究,當(dāng)探究困難問(wèn)題時(shí)學(xué)生的思路往往受阻,出現(xiàn)”斷路”,這時(shí)就需要教師的幫助,而有效的幫助需要教師了解學(xué)生思路”卡殼”的原因,因勢(shì)利導(dǎo)進(jìn)行啟發(fā),這樣才能延續(xù)和激發(fā)學(xué)生的思維,而不能直接告訴學(xué)生答案了事.,例1.已知點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(1,2),在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形,那么滿足這樣條件的P共有( )A.2個(gè)

37、B.4個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè),解析:分類討論,當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)過(guò)點(diǎn)A做AB的垂線與y軸負(fù)半軸有一個(gè)點(diǎn)P1,同理,當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí),可得P2和P3兩個(gè)所求的點(diǎn).當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí),學(xué)生產(chǎn)生了困難,教師應(yīng)當(dāng)如何幫助?可思考一個(gè)問(wèn)題:對(duì)一條線段的張角等于90°,這樣的點(diǎn)有什么規(guī)律?,,例，已知a+b=2，ab=-12，求下列各式的值。這類問(wèn)題分析時(shí)，應(yīng)告訴學(xué)生根據(jù)已知條件和要求的代數(shù)式，可以聯(lián)想到什么公式？（完全

38、平方公式），（思考方法）。進(jìn)一步，可作如下的提煉和歸納：其實(shí)在 中，涉及到了 這4個(gè)（或6個(gè)）代數(shù)式之間的關(guān)系，并且已知其中的2個(gè)，就可以就出其余的幾個(gè)。,謝謝！,1.已知拋物線y=x2+(b-1)x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,-2b).b>3,過(guò)點(diǎn)P作直線PA⊥y軸,交

39、點(diǎn)為A,交拋物線于另一點(diǎn)B,且BP=2PA,求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式.,滲透數(shù)形結(jié)合思想方法、深入理解函數(shù)的意義，掌握具體的方法.------畫(huà)示意圖,例．如圖，在△ABC中，AB = AC, AD⊥BC, CG∥AB, BG分別交AD,AC于E,F.若EF：BE=a:b，那么GE:BE等于 .,分析1：不添加輔助線，利用平行線與比例線段的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比較復(fù)雜；分析2：注意到四條線段EF、BE、GE

40、、BE且BE=CE，考慮三角形EFC和ECG，相似！分析3：考慮AD是對(duì)稱軸，有更簡(jiǎn)單的解法。連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，則GE：BE=CE：BH=BE：EF=b:a.,,例3。等腰三角形ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．（1）如圖（1），當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)．問(wèn)△BPE與△CFP

41、是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖（2）情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E、F．① 探究１：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫(xiě)出結(jié)論）② 探究２：連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；③ 設(shè)EF=m，△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S．,② 探究２：連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；③ 設(shè)EF=m，△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S．,對(duì)于探究２

42、，只要說(shuō)明EP：BE=PF：BP，但由于（1）成立，可得EP：BE=PF：PC又BP=PC，所以得證。對(duì)于探究3，注意到∠EPF=30°，S=0.5PE×PF×sin30°，又可求得BP= ，接下來(lái)，很多同學(xué)就不知道怎樣解了，實(shí)際上由上題可知，PE：EF=BP：PF，即PE×PF=EF×BP，所以S=,對(duì)于探究3需要有較強(qiáng)的分析能力和必要的表述方法，教學(xué)時(shí)對(duì)于這樣的