多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)

1、第三章 多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn),一、均值向量的檢驗(yàn) 二、協(xié)差陣的檢驗(yàn),1、霍特林（Hotelling） 分布,由于這一統(tǒng)計(jì)量的分布首先由霍特林提出來的，故稱為霍特林T2分布。值得指出的是，我國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家許寶騄先生在1938年用不同的方法也導(dǎo)出T2分布的密度函數(shù)。,在一元統(tǒng)計(jì)中，若 來自總體的樣本，則統(tǒng)計(jì)量,,其中,,顯然,,與上面給出的T2統(tǒng)計(jì)量形式類似，且

2、 ，可見T2分布是t分布的推廣。,,在一元統(tǒng)計(jì)中，若 分布，則 分布，即把t分布轉(zhuǎn)化為F分布來處理，在多元統(tǒng)計(jì)分析中統(tǒng)計(jì)量也有類似的性質(zhì)。,,,這個(gè)公式在后面檢驗(yàn)中經(jīng)常用到。,2、一個(gè)正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn),這里需要對(duì)統(tǒng)計(jì)量的選取做一些解釋，說明為什么統(tǒng)計(jì)量服從 分布。根據(jù)二

3、次型分布定理，若,,,則,,顯然,,,而,故,,在處理實(shí)際問題時(shí)，單一變量的檢驗(yàn)和多變量的檢驗(yàn)可以聯(lián)合使用，多元的檢驗(yàn)具有概括和全面的特點(diǎn)，而一元的檢驗(yàn)容易發(fā)現(xiàn)各變量之間的關(guān)系和差異，能給人們提供更多的統(tǒng)計(jì)分析的信息。,例1：對(duì)某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測(cè)量，得樣本數(shù)據(jù)如表所示：,根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的三個(gè)指標(biāo)的均值為（90，58，16），假定總體服從正態(tài)分布，問該地區(qū)農(nóng)村男嬰與城市男嬰在上述三個(gè)

4、指標(biāo)的均值有無顯著性差異？顯著性水平取0.01。,這是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題：,3、兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的假設(shè)檢驗(yàn),當(dāng)兩個(gè)總體的協(xié)方差陣未知時(shí)，自然會(huì)想到用每個(gè)總體的樣本協(xié)方差陣 和 去代替，而,,,,,,又由于,,所以有,以后假設(shè)統(tǒng)計(jì)量的選取和前面統(tǒng)計(jì)量的選取思路是一樣的，只提出待檢驗(yàn)的假設(shè)，然后給出統(tǒng)計(jì)量及其分布，為節(jié)省篇幅，就不再重復(fù)解釋。,例3.2 為了研究日美兩國(guó)在華投資企業(yè)對(duì)中國(guó)經(jīng)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)是否存在差異

5、，今從兩國(guó)在華投資企業(yè)中各抽取10家，讓其對(duì)中國(guó)的政治、經(jīng)濟(jì)、法律、文化等環(huán)境進(jìn)行打分，其結(jié)果如表3.2和表3.3。（數(shù)據(jù)來源于國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心APEC在華投資企業(yè)情況調(diào)查）,表3.2 美國(guó)在華投資企業(yè)的打分,表3.3 日本在華投資企業(yè)的打分,解： 比較日美兩國(guó)在華投資企業(yè)對(duì)中國(guó)多方面經(jīng)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)是否存在差異問題，就是兩總體均值向量是否相等的檢驗(yàn)問題。記日美兩國(guó)在華投資企業(yè)對(duì)中國(guó)4個(gè)方面經(jīng)營(yíng)環(huán)

6、境的評(píng)價(jià)可以看成是2個(gè)4元總體，因此可設(shè)兩組樣本分別來自于正態(tài)總體，分別記為：,,且兩組樣本相互獨(dú)立，有共同未知協(xié)方差陣,,假設(shè)檢驗(yàn),,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,,經(jīng)計(jì)算得,,,,進(jìn)一步計(jì)算得,,對(duì)于給定的顯著性水平 ，查F分布表，臨界值,,由于 ，則拒絕H0，即認(rèn)為日美兩國(guó)在華投資企業(yè)對(duì)中國(guó)經(jīng)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)存在顯著性差異。,,(1) 單因素方差分析（復(fù)習(xí)）,Wilks（威爾克斯分布）

7、 在一元統(tǒng)計(jì)分析中，方差是刻畫隨機(jī)變量分散程度的一個(gè)重要特征，而方差的概念在多變量情況下變?yōu)閰f(xié)差陣。如何用一個(gè)數(shù)量指標(biāo)來反映協(xié)差陣所體現(xiàn)的分散程度呢？有的用行列式，有的用跡等方法，目前用的最多的是行列式。,這里需要說明的是，在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常把Λ統(tǒng)計(jì)量化為T2統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)而再化為F統(tǒng)計(jì)量，利用F統(tǒng)計(jì)量來解決多元統(tǒng)計(jì)分析中有關(guān)檢驗(yàn)問題。,（3）多元方差分析,類似一元方差分析辦法，將諸平方和變成離差陣有：,例3.3 為

8、了研究某種疾病，對(duì)一批人同時(shí)測(cè)量了4個(gè)指標(biāo)：β脂蛋白（X1），甘油三酯（X2），α脂蛋白（X3），前β脂蛋白（X4）， 按不同年齡、不同性別分為三組（20至35歲女性、20至25歲男性和35至50歲男性），數(shù)據(jù)見表3.4~表3.6，試問這三組的4項(xiàng)指標(biāo)間有無顯著性差異？（α=0.01）,表3.4 20至35歲女性身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù),表3.5 20至25歲男性身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù),表3.6

9、 35至50歲男性身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù),解： 比較3個(gè)組（k=3）的4項(xiàng)指標(biāo)（p=4）間是否有顯著性差異問題，就是多總體均值向量是否相等的檢驗(yàn)問題。設(shè)第i組為4維總體 ，來自3個(gè)總體的樣本容量 。,,,檢驗(yàn)： ： 至少有一對(duì)不相等。

10、,,因統(tǒng)計(jì)量 ，可利用 統(tǒng)計(jì)量與F統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F統(tǒng)計(jì)量：,,其中,,由樣本計(jì)算得：,,,，,，,,,,,進(jìn)一步計(jì)算可得,,計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的2個(gè)自由度為8和108。,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平 ，查F分布表，得臨界值 。由于樣本值

11、 ，則拒絕H0。 說明三個(gè)組的指標(biāo)間有顯著性的差異。 進(jìn)一步若還想了解三個(gè)組間指標(biāo)的差異究竟由哪幾項(xiàng)指標(biāo)引起的，可以對(duì)4項(xiàng)指標(biāo)逐項(xiàng)用一元方差分析方法進(jìn)行檢驗(yàn)，我們將發(fā)現(xiàn)三個(gè)組指標(biāo)間只有第一項(xiàng)指標(biāo)（X1）有顯著性差異。,,事實(shí)上，用一元方差分析檢驗(yàn)第一項(xiàng)指標(biāo)（X1）在三個(gè)組中是否有顯著性差異時(shí)，因,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平 ，查F分布表，得臨界值

12、 。由于樣本值 ，說明第一項(xiàng)指標(biāo)（X1）有顯著性的差異。,,例4 ：對(duì)例3中給出的3組身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù)，試判斷這3個(gè)組的協(xié)方差陣是否相等？（ ）,解： 這是3個(gè)4維正態(tài)總體的協(xié)方差陣是否相等的檢驗(yàn)問題。設(shè)第i組為4維總體 ，來自3個(gè)

13、總體的樣本容量 。,檢驗(yàn)：,至少有一對(duì)不相等。,在 成立時(shí)，取近似檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,統(tǒng)計(jì)量：,由樣本值計(jì)算3個(gè)總體的樣本協(xié)方差陣：,,，,進(jìn)一步可以計(jì)算出,則得,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平 ，查,分布表，得臨界值,。由于樣本值,則接受H0。說明這3個(gè)組的協(xié)方差陣之間沒有顯著性的差異。,3、多個(gè)正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣同時(shí)檢驗(yàn) 設(shè)有k個(gè)p維正態(tài)總體分別為,每個(gè),，且未知，,從

14、k個(gè)正態(tài)總體中分別取ni(,）個(gè)獨(dú)立樣本如下：,第2個(gè)總體：,???第k個(gè)總體：,我們考慮假設(shè)檢驗(yàn)：,且,,第1個(gè)總體：,,或,,至少有一對(duì)不相等。,,,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,其中,,記,在實(shí)際應(yīng)用中，將統(tǒng)計(jì)量中的,改為,n-k改為n,，得到修正的統(tǒng)計(jì)量，記為,則統(tǒng)計(jì)量,在n很大，H0成立時(shí)，,統(tǒng)計(jì)量近似服從,其中：,給定檢驗(yàn)水平 ，由樣本值計(jì)算出 值，,若,，或,否則拒絕H0，否則接受H0。,例3.5 對(duì)例3.3中給出的3組

15、身體指標(biāo)化驗(yàn)數(shù)據(jù)，試判斷這3個(gè)組的均值向量和協(xié)方差陣是否相等？（ ）,解： 這是3個(gè)4維正態(tài)總體的均值向量和協(xié)方差陣是否同時(shí)相等的檢驗(yàn)問題。設(shè)第i組為4維總體 ，來自3個(gè)總體的樣本容量,，,,至少有一對(duì)不相等。,成立時(shí)，取近似檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 統(tǒng)計(jì)量：,由樣本值計(jì)算3個(gè)總體的樣本協(xié)方差陣及總離差陣T，進(jìn)一步可以計(jì)算出,則得,對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平