第三章靜電能

1、第三章 靜電能,§3.1 真空中點(diǎn)電荷間的相互作用能 §3.2 連續(xù)電荷分布的靜電能 §3.3 電荷體系在外電場(chǎng)中的靜電能 §3.4 電場(chǎng)的能量和能量密度*§3.5 非線(xiàn)性介質(zhì)及電滯損耗*§3.6 利用靜電能求靜電力,能量的基本概念,一、引入的目的： 1. 能量是物質(zhì)的共同屬性，是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的普遍量度； 2. 能量守恒定律是最有意義

2、、最有用的發(fā)現(xiàn)之一； 3. 便于研究不同形式能量的轉(zhuǎn)換。二、特點(diǎn)： 1. 是狀態(tài)的單值函數(shù), 屬于整個(gè)系統(tǒng)； 2. 能量差才有意義； 3. 用做功來(lái)量度能量。三、描述的方法： 要引入狀態(tài)參量，規(guī)定零點(diǎn)能，然后用做功來(lái)計(jì)算 能量。,建立一個(gè)帶電系統(tǒng)的過(guò)程中，總伴隨著電荷相對(duì)運(yùn)動(dòng)，需要外力克服電荷間的相互作用而作功。外力作功所消耗的能量將轉(zhuǎn)換為帶電系統(tǒng)的能量，該能量定義為帶電系統(tǒng)的靜電能

3、。顯然，靜電能應(yīng)由系統(tǒng)的電荷分布決定。 例如，第一章中已講到的點(diǎn)電荷在外電場(chǎng)中的電勢(shì)能就是靜電能。,定義,§3.1 真空中點(diǎn)電荷間 的相互作用能,設(shè)想空間中有多個(gè)點(diǎn)電荷, 其帶電量用 qi 表示, 相應(yīng)的位置用 ri 表示, 任意兩個(gè)點(diǎn)電荷間的距離可以由 rij=|rij|=|rj-ri|給出,所謂點(diǎn)電荷之間的相互作用能，指的是與點(diǎn)電荷間的相對(duì)位置有關(guān)的靜電能。狀態(tài)參量取為rij（i,

4、j = 1,2,…,N）， 時(shí)，它們之間的靜電相互作用消失，很自然地取這時(shí)的相互作用能為零。 我們用一種類(lèi)似于數(shù)學(xué)歸納法的辦法來(lái)計(jì)算由N個(gè)點(diǎn)電荷組成的靜電體系的靜電能.,,兩個(gè)點(diǎn)電荷時(shí),一個(gè)點(diǎn)電荷q在電場(chǎng)U中的電勢(shì)能W=qU設(shè)電場(chǎng)U是由另一個(gè)點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的, 于是點(diǎn)電 荷q具有的電勢(shì)能可以寫(xiě)作■ 同樣地, 上式也表示了Q在q的電場(chǎng)中的電勢(shì)能； 這電勢(shì)能W屬于點(diǎn)電荷q與Q組成的系統(tǒng)。,,

5、,,當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)電荷分別為q1和q2時(shí), 靜電能為： 同樣地, 可將兩個(gè)點(diǎn)電荷的靜電能記為W2 ,為方便寫(xiě)成：三個(gè)點(diǎn)電荷的靜電能記為W3 ，便為：,,,,,,■ 于是可寫(xiě)成：,■ U 代入W ：,,,,,,,對(duì)N個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：,同理，將U 代入W 得：,對(duì)N+1個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)，可證（見(jiàn)書(shū)p68）：,§3.2 連續(xù)電荷分布的靜電能,首先討論空間只有自由電荷的情形，這意味著電場(chǎng)空間中只允許導(dǎo)體和介電常量

6、恒等于 的物體（包括真空）存在。 1. 先考慮體電荷分布的情況，電荷密度設(shè)為 。將該體電荷無(wú)限分割并把每一小部分當(dāng)作點(diǎn)電荷處理，則由前頁(yè)結(jié)論可得：,,,,U1(r)表示除 外其余所有電荷在r處產(chǎn)生的電勢(shì)。,,(3.2.1),■ 分析U1(r)和總電勢(shì)U(r)的關(guān)系。設(shè)dV為一球體元，由第1.7節(jié)例1.11的結(jié)果(P28)，取R1 = 0，R2 = a。可求得電荷密度為 、半徑為a的

7、均勻帶電球體在球內(nèi)產(chǎn)生的電勢(shì)為：,,,它在球心處取極大值 ，故當(dāng) 時(shí)有 即 。于是， U1(r) ≈ U(r),,,,,(3.2.2),2. 對(duì)面電荷分布的情形，設(shè)面電荷密度為 。類(lèi)似，將面電荷無(wú)限分割為圓狀面電荷元 ，它在自身產(chǎn)生的電勢(shì)不會(huì)大于 （a為面元半徑，見(jiàn)

8、P26的第1.7節(jié)例1.10），該電勢(shì)隨 ( )而趨于零。于是 ，U1(r) ≈ U(r) ，其靜電能為：,,,,,,,(3.2.3),3. 線(xiàn)電荷分布的情況，不能將靜電能寫(xiě)為：,,或,,因?yàn)?在自身所在處產(chǎn)生的電勢(shì)不僅不趨于零，而且會(huì)按 （r為離線(xiàn)元dl的垂直距離）趨于無(wú)窮。進(jìn)一步，可證U1(l)也會(huì)趨于無(wú)窮大。這在物理上意味著：要把電荷從極端分散狀態(tài)

9、壓縮到一條幾何線(xiàn)上，外界需要作無(wú)窮大的功。這顯然是辦不到的。因此，在計(jì)算靜電能時(shí)，無(wú)論線(xiàn)徑怎樣小的帶電體均不能當(dāng)作線(xiàn)電荷處理。,,,,,4. 多個(gè)帶電體組成的系統(tǒng)的靜電能。設(shè)有N個(gè)帶電體，體積分別為V1，V2…，VN?？蓪⒖臻g的總電勢(shì)U(r)分為兩部分(請(qǐng)思考！為什麼?),,,式中Ui (r)表示除第i個(gè)帶電體外其余所有帶電體在 r 處產(chǎn)生的電勢(shì)， 則表示第i個(gè)帶電體在 r 處產(chǎn)生的電勢(shì)。按照前述結(jié)論，可得：,,,

10、可寫(xiě)成：其中，,,,叫自能,叫互能,點(diǎn)電荷間、線(xiàn)電荷間可以計(jì)算互能。但是，不能計(jì)算點(diǎn)電荷、線(xiàn)電荷的自能（為無(wú)窮大）。,[例3.1]　求體電荷密度為 、半徑為R 的均勻帶電球的靜電能（帶電體的介電常量設(shè)為 ）。[解]　以球心為原點(diǎn)，取球坐標(biāo)（ ）。根據(jù)第一章1.7節(jié)例1.11的結(jié)果取R1 = 0，R2 = R，可得：,,,,,于是，積分得：,,,當(dāng) 固定時(shí)，We將隨 而趨于零。

11、 如果用總電量 表示，上述結(jié)果可寫(xiě)成：,,,,,,這時(shí)若固定q，令 ，則 ，即點(diǎn)電荷的自能發(fā)散。,,,5. 對(duì)帶電導(dǎo)體，靜電能公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。導(dǎo)體的特點(diǎn)是電荷分布在外表面，整個(gè)導(dǎo)體是等勢(shì)體。當(dāng)求 N 個(gè)帶電導(dǎo)體組成的體系的靜電能時(shí)，應(yīng)用前式可得如下結(jié)果： 式中qi和Ui為第 i 個(gè)導(dǎo)體的電量和電勢(shì)。,,[例

12、3.2]　一孤立帶電導(dǎo)體球電量為q，半徑為R，求其靜電能。[解]　對(duì)孤立導(dǎo)體球有U = q/C， 。應(yīng)用上式得：,,,與例3.1的結(jié)果比較可知，對(duì)電量及半徑相同的帶電球，其靜電自能與電荷分布有關(guān)。電荷集中分布于球面比均勻分布于整個(gè)球體的自能要小?！鋈绻僭O(shè)電子的能量 全部來(lái)自靜電自能We，并取 ，則可求得電子的半徑：,,,,r

13、e稱(chēng)為電子的經(jīng)典半徑。當(dāng)然，電子的實(shí)際半徑比re要小得多，因此不能作以上假設(shè)。,電容器充電時(shí)電源做功,[例3.3]　求平行板電容器的靜電能公式。[解]　如上頁(yè)圖所示，極板間的均勻各向同性電介質(zhì)的介電常量為 ，極板面積為S，兩極板間的間距為d。接通電源后，極板帶電分別為Q1和Q2，且Q2 = - Q1 = Q；兩極板電勢(shì)分別為U1和U2，電勢(shì)差為U = U2 -U1?！?分析電容器充電過(guò)程，電源對(duì)電容器作功，使電源能量轉(zhuǎn)化為電容

14、器的靜電能。在q由0增至Q的過(guò)程中，電源作功為：,,,,,或?qū)懗桑哼@與前面的普適公式的結(jié)果一致（兩極板組合體系）。,考慮線(xiàn)形無(wú)損耗介質(zhì)，能量守恒,*6.簡(jiǎn)單介紹空間存在電介質(zhì)的情形，我們限于線(xiàn)性無(wú)損耗介質(zhì)。對(duì)于這種情形，隨著自由電荷的搬運(yùn)和電場(chǎng)的建立，介質(zhì)將會(huì)產(chǎn)生極化并出現(xiàn)極化電荷。 一種簡(jiǎn)單而自然的辦法是把極化電荷和自由電荷同等看待，將看成是總電荷密度 ，即自由電荷密度 和極化

15、電荷密度 之和，然后按前式定義系統(tǒng)的能量，即：,,,,,式中V0和V’ 分別表示自由電荷和極化電荷所在的空間區(qū)域。我們將上面定義的能量記為We0，并把它稱(chēng)作系統(tǒng)的“宏觀靜電能”，它可以理解為在建立宏觀電荷分布 和 過(guò)程中系統(tǒng)所貯存的靜電能。,*■從另一個(gè)角度來(lái)分析，系統(tǒng)的能量We應(yīng)等于在建立該指定狀態(tài)過(guò)程中外界對(duì)系統(tǒng)所作的功A’，即：,,We0 是否等于We 呢？否理由在于，在介

16、質(zhì)中建立電場(chǎng)時(shí)，外界不僅要克服宏觀電荷（包括自由電荷和極化電荷）之間的靜電力作功，而且要克服分子內(nèi)部（對(duì)位移極化情形）或分子之間（對(duì)取向極化情形）的相互作用作功。第一部分功轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的宏觀靜電能We0；第二部分功稱(chēng)為“極化功”，它使介質(zhì)極化。對(duì)線(xiàn)性無(wú)損耗介質(zhì)，通過(guò)極化功轉(zhuǎn)換到介質(zhì)的能量稱(chēng)為極化能，記為 。所以：,,*[例如] 填充了均勻介質(zhì)的平行板電容器（見(jiàn)右下圖），極板自由面電荷 和介質(zhì)極化面電荷

17、 對(duì)宏觀靜電能We0都有貢獻(xiàn)；而介質(zhì)體內(nèi) ，雖然對(duì)We0無(wú)貢獻(xiàn)，但介質(zhì)內(nèi)部那些因極化發(fā)生變形或改變排列狀態(tài)的原子、分子也貯存了一部分能量，并造成 ，它們相當(dāng)于極化能 。,,,,,電容器充電時(shí)電源作功,一定的電場(chǎng)對(duì)應(yīng)于一定的介質(zhì)極化狀態(tài)。與此相應(yīng)，宏觀靜電能與極化能存在著密切的關(guān)系。正如前頁(yè)所述，可定義系統(tǒng)的靜電能為：,,在這種定義下，外界作功正好等于系統(tǒng)靜電能的變化。,*■例3.3啟發(fā)我們，系

18、統(tǒng)的靜電能可用自由電荷與總電勢(shì)來(lái)表達(dá)?？梢砸话愕刈C明（參見(jiàn)本書(shū)下冊(cè)第二章P64）為：,,進(jìn)一步可推出極化能的表達(dá)式：,,式中右邊的負(fù)號(hào)正好表示系統(tǒng)（即電場(chǎng)）對(duì)極化電荷作功，而不是外界克服靜電力作功。,物理解釋?zhuān)荷鲜奖硎?，外界在移?dòng)自由電荷過(guò)程中克服靜電力作功，即對(duì)電場(chǎng)作功，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的靜電能。注意：U（r）為總電勢(shì)，自由電荷和極化電荷對(duì)它都有貢獻(xiàn)。,§3.3 電荷體系在外電場(chǎng)中 的靜電能,■

19、 當(dāng)已知外場(chǎng)U時(shí) ，點(diǎn)電荷q 在U中的電勢(shì)能可 以直接計(jì)算： We是q 在外場(chǎng)U 中的靜電能，屬于相互作用能。 ■ 當(dāng)電荷體系為N個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2，…，qN構(gòu)成的點(diǎn)電荷系統(tǒng)時(shí)，它在外電場(chǎng)U中的靜電能為：,,,■ 電荷密度為 、體積為V 的帶電體，在外 電場(chǎng)U中的靜電能應(yīng)為：,,,[例3.4]　求電偶極子在外電場(chǎng)中的靜電能公式。[解]　設(shè)電偶極子的電偶極矩為p = q l，則由上式可算

20、得它在外電場(chǎng)E 中的靜電能為：,,即,,這也是電偶極子p在外場(chǎng)E中的電勢(shì)能。,§3.4 電場(chǎng)的能量和能量密度,靜電能貯存在哪里？ 前面導(dǎo)出的靜電能公式都與電荷相聯(lián)系。這給人一種印象，似乎靜電能只貯存在電荷上；而電荷周?chē)目臻g——存在電場(chǎng)，其靜電能為零！這是早期“超距作用”的觀點(diǎn)。 ■其后人們發(fā)現(xiàn)能量應(yīng)當(dāng)貯存在電場(chǎng)中，電相互作用是通過(guò)電場(chǎng)傳遞，同時(shí)應(yīng)傳遞能量，這就是“近距作用”的觀點(diǎn)。直到

21、電磁波（電磁場(chǎng)在空間的傳播）傳遞能量被證實(shí)后，才被廣泛采納。 為與近距作用觀點(diǎn)一致，下面我們?cè)O(shè)法將有關(guān)靜電能的公式用電場(chǎng)強(qiáng)度表示出來(lái)。,礦石收音機(jī),先從平行板電容器的靜電能公式入手：,,前面已得：,設(shè)電容器極板間填滿(mǎn)均勻線(xiàn)性各向同性介質(zhì)，則有 和U = Ed，從而上述靜電能公式可改用電場(chǎng)強(qiáng)度表示：,,,(3.4.1),式中V = Sd為兩極板間的體積，即電場(chǎng)空間的體積。定義單位

22、體積的靜電能為電能密度，則有：,,(3.4.2),寫(xiě)成矢量式如下，對(duì)線(xiàn)性無(wú)損耗介質(zhì)都適用：,,(3.4.3),式（3.4.3）表明，原認(rèn)為局限于極板表面電荷之中的靜電能，實(shí)際上是以電能密度貯存于電場(chǎng)之中。當(dāng)空間電場(chǎng)不均勻時(shí)，總靜電能應(yīng)為：,,(3.4.4),這樣定義的靜電能密度和靜電能計(jì)入了介質(zhì)的極化能，它要求介質(zhì)是線(xiàn)性無(wú)損耗的。,[例3.5]　從電場(chǎng)的能量公式（3.4.4）出發(fā)，重新計(jì)算孤立帶電導(dǎo)體球（電量為q，半徑為R）的靜電能。

23、[解]　由高斯定理可求得該導(dǎo)體球的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：,,于是：,,,上述結(jié)果與例3.2所得結(jié)果一致。這說(shuō)明，在靜電場(chǎng)范圍內(nèi)，式（3.2.3）和式（3.4.4）完全等效。,最后我們由式（3.4.4）進(jìn)一步定義宏觀靜電能 和介質(zhì)極化能 。將 代入式（3.4.4）得：,,,(3.4.5),式中：,,(3.4.6),,(3.4.7),在靜電學(xué)范圍內(nèi)，介質(zhì)中 為

24、宏觀靜電能密度， 為極化能密度，二者之和等于靜電能密度：,,,,﹡§3.5 非線(xiàn)性介質(zhì)及電滯損耗,前面我們一再?gòu)?qiáng)調(diào)，所導(dǎo)出的靜電能公式僅適用于線(xiàn)性無(wú)損耗介質(zhì)。下面自然要問(wèn)：對(duì)非線(xiàn)性有損耗介質(zhì)又該作何處理呢？ 仍限于平行板電容器填滿(mǎn)均勻各向異性介質(zhì)的情況。在例3.3中，我們?cè)鴮?duì)電容器充電過(guò)程中電源所作的元功作過(guò)分析，結(jié)果為： 由極板內(nèi)部 E=0和極板內(nèi)、外

25、側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)的條件，電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為零，可推斷 只有垂直于極板的分量。因此，如下關(guān)系式成立：,,(3.5.1),,代入式（3.5.1）得：,,(3.5.2),于是對(duì)單位體積的電介質(zhì)，電源所作的元功為：,,,(3.5.3),由 ，可將上式改寫(xiě)為：,,,(3.5.4),物理意義是：電源所作的功一部分用來(lái)增加宏觀靜電能密度，另一部分為對(duì)介質(zhì)所作的極化元功。,要分析極化功的具體形式及其后果，必須考

26、慮介質(zhì)的極化規(guī)律，即P 和E 的函數(shù)關(guān)系。■對(duì)線(xiàn)性無(wú)損耗介質(zhì)，可將極化規(guī)律寫(xiě)成如下一般形式：,,(3.5.5),特別對(duì)各向同性介質(zhì)有：,,,由式（3.5.5）可證：,,于是有,,或,,(3.5.6),上式表明，極化功全部轉(zhuǎn)換為介質(zhì)的極化能。將式（3.5.6）代入式（3.5.4），并由靜電能密度表達(dá)式：,,推得如下關(guān)系式：,,(3.5.7),即電源作功全部轉(zhuǎn)化為電容器的靜電能。,■ 對(duì)非線(xiàn)性有損耗介質(zhì)，式（3.5.5）與（3.5

27、.6）不再成立，顯然不會(huì)得到上述簡(jiǎn)單結(jié)果。當(dāng)介質(zhì)為非線(xiàn)性時(shí)，極化能密度的表達(dá)式將會(huì)發(fā)生變化，這時(shí)一般不再把宏觀靜電能和極化能合在一起考慮。,當(dāng)存在介質(zhì)損耗時(shí)，極化功中只有一部分轉(zhuǎn)化為極化能，另一部分則轉(zhuǎn)化為熱量。■例如鐵電體就屬于這種情況。鐵電體的 P 和 E 的關(guān)系不僅是非線(xiàn)性的，而且是非單值的，一定的 E 所對(duì)應(yīng)的 P 值依賴(lài)于極化過(guò)程。 極化過(guò)程是不可逆過(guò)程。,當(dāng)從某點(diǎn)A出發(fā)沿著電滯回線(xiàn)循環(huán)一周回到A點(diǎn)時(shí)，電源對(duì)單位

28、體積鐵電體所作的功可由式（3.5.4）求得：,,(3.5.8),0,式中右邊沿電滯回線(xiàn)的閉路積分正好等于電滯回線(xiàn)所圍的“面積”。這部分功既不改變電場(chǎng)E，又不改變介質(zhì)的極化狀態(tài)P，而是轉(zhuǎn)化為熱量，使介質(zhì)發(fā)熱。這部分因電滯現(xiàn)象而消耗的能量，稱(chēng)為電滯損耗。,(3.5.8),,*§3.6 利用靜電能求靜電力,利用靜電能可求得靜電場(chǎng)中的靜電力. N個(gè)帶電導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，設(shè)想某一個(gè)導(dǎo)體在其他導(dǎo)體的作用下，受到靜電力 F , 位移

29、?r , 則靜電力F 所作的功為： ?A=F· ? r =Fx ?x +Fy?y +Fz?z分兩種情形討論: （1）帶電體的電量不變，即不接電源，為孤立系統(tǒng)；（2）帶電體的電勢(shì)不變，接電源。,(3.6.1),（1）孤立系統(tǒng)，帶電體的電量不變,位移 ?r只改變各導(dǎo)體的電勢(shì)，使系統(tǒng)的靜電能發(fā)生變化， 由能量守恒：即靜電力所作的功等于系統(tǒng)靜電能的減少， ∴ （ ? We)Q

30、= ?A于是有 （ ? We)Q= (Fx ?x +Fy?y +Fz?z )■ 由數(shù)學(xué)知：(下標(biāo)Q—電量不變）,(3.6.2),(3.6.3),（2）接電源，帶電體的電勢(shì)不變,系統(tǒng)不是孤立的，外界（電源）通過(guò)給系統(tǒng)的導(dǎo)體提供電荷而作功 ?A’， 由能量守恒定律知系統(tǒng)靜電能的變化為： ? We= ?A+ ?A’ (3.6.4) 電源使各導(dǎo)體的電勢(shì) Ui 保

31、持恒定，設(shè)當(dāng)導(dǎo)體位移?r 時(shí)，各導(dǎo)體的電量會(huì)在電源的作用下變化?Qi , 則電源對(duì)系統(tǒng)作功為：,■ 又系統(tǒng)靜電能變化，由前靜電能公式可得：,,(3.6.5),(3.6.6),■比較上兩式，得外接電源作功是靜電能變化的兩倍：,(3.6.7),■代入式（3.6.4）右邊，并將該式左邊的 代之以 得：,,(3.6.8),它表示當(dāng)維持各導(dǎo)體的電勢(shì)不變時(shí)，靜電力作功等于系統(tǒng)靜電能的增加?！霭矗?）中推導(dǎo),(3.6.9)

32、,,■說(shuō)明： 所有由靜電能求靜電力的表達(dá)式，包括已經(jīng)得到的式（3.6.3）和式（3.6.9），是彼此等效的，即對(duì)同一個(gè)靜電力計(jì)算問(wèn)題會(huì)給出同一答案。原因很簡(jiǎn)單，對(duì)任何給定的帶電系統(tǒng)，其中某個(gè)帶電導(dǎo)體所受的靜電力是由當(dāng)時(shí)系統(tǒng)的電荷分布狀態(tài)通過(guò)庫(kù)侖定律唯一決定的，它與系統(tǒng)狀態(tài)以后的變化無(wú)關(guān)。因此，就可以隨意設(shè)想一種系統(tǒng)狀態(tài)的變化，只要便于計(jì)算。,同理可推得靜電力矩公式,只要將位移? r換成角位移??，靜電力做功：

33、 ?A=L? ·? ? L?為靜電力矩,[例3.6]真空平行板電容器，極板面積為S, 相距為 x , 充電至電壓U=V, 求帶正電極板所受的力。,[解]電容器的 靜電能:,若K斷開(kāi)， Q不變,若K閉合， U不變,將c=?0S/x代入，兩式的計(jì)算結(jié)果相同，負(fù)號(hào)表示負(fù)極板對(duì)正極板的引力：,[例3.7] 平行板電容器極板面積為S, 極板間距為d, 其間充滿(mǎn)介電常數(shù)為?的介質(zhì)，求將介質(zhì)從極板間完全取出時(shí)外力

34、所作的功：(1) U不變；(2) Q 不變。,[解]用 x 表示介質(zhì)從極板間移出的距離X=0時(shí)，C1=?S/d, 介質(zhì)充滿(mǎn)；X=d時(shí)，C2=?0S/d, 介質(zhì)全部抽出。（1）U不變時(shí)，靜電力：外力作功：,（2） Q 不變時(shí)，靜電力： 外力作功：,,說(shuō)明: 這是兩種不同的真實(shí)物理過(guò)程,（1）U不變，接電源。外力作正功, 系統(tǒng)靜電能卻減少。抽出電介質(zhì)時(shí), 電容減小,極板電量變小, 對(duì)電源充電. 外力作功和電容器減少的靜

35、電能全部轉(zhuǎn)化為電源的儲(chǔ)能.（2）Q不變, 孤立系。外力作功等于系統(tǒng)靜電能的增加。,[例3.8]平行板電容器極板面積為S, 極板間距為d, 插入介電常數(shù)為?、密度為?的液體介質(zhì)中， 維持電容器的電壓U不變，求液面在電容器中上升的高度h。,[解] 這是靜電力與重力平衡的問(wèn)題，設(shè)極板高為b=b1+b2 ,寬為a, S=ab, b1為電容器中液柱高, b2 為電容器中空氣柱高,,平衡時(shí),F=mg, g為重力加速度m = dah?, 因此,[

36、例3.9]求在電場(chǎng)E(r)中，電偶極子p所受的力和力矩。[解]式（3.3.6）給出了電偶極子在外場(chǎng)中的靜電能：,,電偶極子在外電場(chǎng)中的平移和旋轉(zhuǎn),,設(shè)電偶極子作一平移，由A點(diǎn)移到B點(diǎn)（右圖(a)）。由于是平移（即平行移動(dòng)），p的方向應(yīng)保持不變。另外，電荷分布不變，即p的大小也應(yīng)保持不變。于是，靜電力為：,,根據(jù)矢量微分公式：考慮到 ，有,,,,與例2-2結(jié)果一致。,■在偶極子平移過(guò)程中，由于E 的方向隨空間變化

37、， 也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，一般會(huì)有 ?；谏鲜龇治?，當(dāng)直接計(jì)算時(shí), 應(yīng)將上式中的 p ?E 代以 , 不能從梯度運(yùn)算符號(hào)中提出，應(yīng)為：,,,,,,■下面求電偶極子所受的力矩。為此，設(shè)電偶極子作一角位移 ，如前頁(yè)圖(b)所示。此時(shí)p的大小不變，但方向會(huì)發(fā)生變化。于是得：,,,,注意電偶極子的位置并未挪動(dòng)，故E被當(dāng)作“常數(shù)”從微分號(hào)下提出。上式表明，在 作用