工程制圖基礎b-第二章工程制圖投影理論-楊智勇

1、第二章 工程制圖投影理論,主講教師：楊智勇,機械與電子控制工程學院,主要內(nèi)容,2.1 正投影及三視圖,工程圖樣是根據(jù)什么原理繪制出來的呢？ —正投影原理機件最簡單表達方法是什么呢？ — 三視圖,日常生活中，我們經(jīng)常見到一種自然現(xiàn)象，在光的照射下，物體在平面上會出現(xiàn)它影子。,投影法的概念,2.1.1投影的分類及方法,2.1 正投影及三視圖,影子 投影,光源

2、 投影中心,光線 投影線,平面 投影面,,,,,投影中心、投影線、投影面、投影四要素構成了一個投影體系。,投影是我們在投影面上得到的圖形，不是一個動作。,定義：投影體系中，在投影面上得到投影的方法叫做投影法。,2.1 正投影及三視圖,中心投影,平行投影,斜投影,正投影,中心投影法——所有投影線都通過一個投影中心,平行投影法——投影線相互平行,（1）斜投影法（2）正投

3、影法,— 投影線相互平行，投影線與投影面傾斜。— 投影線相互平行，投影線與投影面垂直。,投影法的種類,2024/3/4,2.1 正投影及三視圖,工程上常用的幾種投影圖,1.透視圖,2.軸測圖,3.多面正投影圖,4.標高投影,按中心投影法原理繪制的透視圖,按平行投影法原理繪制的軸測圖,按正投影法原理繪制的標高投影,2.1 正投影及三視圖,,積聚性,真實性,類似性,正投影的特性,2.1 正投影及三視圖,正投影 — 視圖 — 三視圖 三個

4、概念是什么關系呢？,正投影 ＝ 視圖　 畫圖時,用視線代替投影線,視圖（三個）＝ 三視圖 特指三個視圖,為什么要采用三個視圖,一個視圖或兩個視圖，不能唯一地表達一個物體。 三視圖可唯一地表達一個物體。所以要采用三視圖來表達物體的形狀。,2.1 正投影及三視圖,三視圖的形成,正立投影面,側立投影面,水平投影面,正立投影面 — 正 面 — V水平投影面 — 水平面 — H側立投影面 — 側 面 — W,把

5、物體放在三個投影面之間，物體不動，然后分別向三個投影面投影。,V不動，H繞OX軸旋轉90º，W面繞OZ軸旋轉90º。在一張圖紙上得到三個不同方向的投影圖。,2.1 正投影及三視圖,主視圖(V),俯視圖(H),左視圖(W),主視圖：長 高俯視圖：長 寬左視圖： 寬 高,2024/3/4,2.1 正投影及三視圖,三視圖關系,,,,,,,,,,,,,,主俯視圖：長對正主左視圖：高平齊俯左視圖：寬相等,,,

6、,,“三等規(guī)律”整體和局部都適用。,2024/3/4,2.2 點投影,Α —空間點A；a —點A的水平(H)投影;a′ —點A的正面(V)投影;a″ —點A的側面(W)投影。,1.點的空間位置,空間點的位置，可由直角坐標值來確定，如A(x,y,z)。,2.點的投影特性,,,,,,點的投影永遠是點。,3.點的三面投影,2024/3/4,2.2 點投影,,,,,X,V,A,Y,O,W,Z,a,a″,a′,,,,,,,,,,,,,,,

7、,,,H面向下旋轉90°,H,W面向右旋轉90°,V面不動,2.2 點投影,,,Aa′=aax= a? az=ay0=yA——A點到V面的距離,Aa =a?ax= a? ay=az0=zA——A點到H面的距離,Aa″=aay= a? az=ax0=xA——A點到W面的距離,,4.點的投影與點坐標的關系,,,,X,V,Y,O,W,Z,a,a″,a′,,,,,,,,,,,,,H,,,,,,a?a⊥OX軸; a?a?⊥

8、OZ軸; a到OX軸的距離= a?到OZ軸的距離,5.點的投影規(guī)律,2.2 點投影,例1: 已知A點的坐標值A(12，10，15)，求作A點的三面投影圖。,1.作投影軸；,2.量?。篛ax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點 ；,步驟:,3.過ax、az、aYH、aYW等點分別作所在軸的垂線，交點a、a′、a″既為所求。,2.2 點投影,,,,6.兩點的相對位置,兩點的相對位置指兩點

9、在空間的上下、前后、左右位置關系。,x 坐標大的在左；,y 坐標大的在前；,z 坐標大的在上。,判定方法：,,,B點在A點的左、下、前方,2024/3/4,2.2 點投影,當空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應相等時，該兩點處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。,重影點需要判斷其可見性，將不可見點的投影用括號括起來，以示區(qū)別。,7. 兩點重影,,,( ),,,H面重影,2.2

10、點投影,點的投影與其坐標之間的對應關系： 空間點為A（X，Y，Z），則其投影為： a(x,y,0)、a’(x，0，z)、a”（0，y，z）點的投影規(guī)律 1.點的正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸， 2.點的正面投影與側面投影的連線垂直于OZ軸， 3.點的水平投影到OX軸距離等于側面投影到OZ軸的距離。,小 結,2024/3/4,2.3 直線的投影,兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，

11、就得到直線的投影。,直線平行于投影面投影反映線段實長 ab=AB 真實性,,直線垂直于投影面 投影重合為一點ab=0 積聚性,直線傾斜于投影面 投影比空間線段短 ab＜AB 類似性,1. 直線的投影特性,,2024/3/4,2.3 直線的投影,（2）投影面平行線,（3）投影面垂直線,正平線（平行于Ｖ面）,側平線（平行于Ｗ面）,水平線（平行于Ｈ面）,正垂線（垂直于Ｖ面）,側垂線（垂直于Ｗ面）,鉛垂線（垂直

12、于Ｈ面）,（1）一般位置直線,與三個投影面都傾斜的直線,,,2. 直線在三投影面體系中的投影特性,平行于某一投影面，而與其余兩投影面傾斜,垂直于某一投影面，而與其余兩投影面平行,2.3 直線的投影,,,投影特征：,三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長，與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。,,,（1）一般位置直線,2.3 直線的投影,求一般位置直線的實長---直角三角形法,原理分析：,,,,,α,,,△ABB0 為直角三角形,

13、,B0,,,,zb’-za’,結論： 已知線段的兩個投影，可利用直角三角形法，求出線段的實長及對H 投影面的傾角α。,,2.3 直線的投影,,實長、坐標差、投影長、傾角為直角三角形的四要素。,注意： 直線的坐標差、投影長、傾角是對同一投影面而言。,2.3 直線的投影,,,,,,,,,,,,o,X,,,所得直角三角形的斜邊即實長AB 。AB 與a b 的夾角為α 。,1.以ab 為一直角邊；,2.取zb’- za’ 為另一直角邊;,

14、zb’-za’,zb’-za’,,例1 求線段AB 的實長及α。,2.3 直線的投影,,,例2 已知EF =30 ，試完成e’ f ’ 。,f ',,zf ’-ze’,,,,,,,,,,zf’-ze’,1.以ef 為一直角邊；,2.以R30 為半徑畫弧，在另一直角邊上截得zf ’ -ze’ ;,3.在f f ’ 投影連線上定f ’ 點，完成 e’f’ 。,,,2.3 直線的投影,,,,,,,,,,X1,,,,換面法的概念,在V

15、/H 投影體系中，AB 為一般位置直線。,,,增設新投影面V1，使V1⊥H ，且∥直線AB ；,在V1 / H 新投影體系中，AB 為投影面平行線直線。 AB 在新投影面上的投影反映實長及對H 面的傾角。,建立新投影系：,這種增設新投影面，用新投影取代原舊投影求解的方法稱為換面法。,,,例1 求AB 線段的實長及α。,作圖要點：,,,,,,,a'1,b'1,,,,X1 ∥ab,X1,,都與不變投影面有關,X1 軸

16、平行不變投影，求得線段對不變投影面的傾角。,2.3 直線的投影,2.3 直線的投影,例2 將AB 線段變換為投影面垂直線。,分析：,AB 為正平線，則設H1 面⊥AB 。,,O,,,,,,,A,,,,,,B,a’,b’,a,b,X1,,,,,X1,,,a1 (b1 ),作圖要點：,X1 ⊥a’b’,a1b1,,,2.3 直線的投影,H面投影反映線段實長，即：ab=AB;V、W面投影：a′b′∥ox軸，a″b″∥OYW軸；H面投影與O

17、X、OYH軸的成夾角。,水平線的投影特征：,（2）投影面平行線,水平線（平行于Ｈ面）,（對正平線、側平線作分析，可得出類似的投影特征。）,2.3 直線的投影,,1.在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角。,水平線,側平線,正平線,投影特征：,與H面的夾角:α 與V面的角:β 與W面的夾角:γ,實長,實長,實長,（2）投影面平行線,2.另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。,2.3 直線的投影,

18、H面投影積聚成一點；V、W面投影反映實長，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影： a′b′⊥ox軸、a″b″ ⊥oz軸 。,（對正垂線和側垂線作分析，可得出類似的投影特征。）,鉛垂線投影特征:,（3）投影面垂直線,鉛垂線（垂直于Ｈ面）,2.3 直線的投影,鉛垂線,正垂線,側垂線,2. 另外兩個投影面上，投影反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。,1. 在其垂直的投影面上，投影有積聚性。,投影特性:,積聚為點,積聚為點,積聚為點,（

19、3）投影面垂直線,2.3 直線的投影,AB為水平線,CD為側平線,例1：判斷下列直線的空間位置,2.3 直線的投影,（1）點在直線上，其投影必在直線的同面投影上。,3. 單一直線投影的性質,（2）直線上的點分線段之比等于其投影之比。,AC：CB = a c： c b = a'c'：c'b',2.3 直線的投影,,,例1 求點C ，使AC :CB =1:4 。,,,,,c,c”,,,,,,,,,,分析,作圖

20、,2.3 直線的投影,例2 判斷點C 是否在AB 直線上。,,,,,,,,,a”,b”,,,,,c”,兩種判斷方法：,1.從屬性---作側投影,否,≠ a’c’ : c’b ’,ac : cb,否,2.定比性---分析比例關系。,單一直線投影及其特性 一點兩線垂直線 一斜兩平平行線 三線皆斜為一般單一直線的投影規(guī)律 一般位置直線：三面投影都小于實長；三面投影都傾斜于投影軸，不反映實角。 投影面

21、平行線：在其平行的投影面上，投影反映實長，且反映兩個實際角度；另外兩面投影為平行于相應坐標軸的直線段。 投影面垂直線：在其垂直的投影面上，投影積聚成一點；另外兩面投影為反映實長且垂直于相應坐標軸的直線段。,2.3 直線的投影,小 結,兩直線的相對位置 相交 平行 交叉,2.3 直線的投影,5. 兩直線的相對位置及其投影特性,（1）平行,兩直線平行，其同面投影必定平行；反之，若兩直線的同面投影都互相平行，則

22、兩直線必平行。,,,,,2024/3/4,2.3 直線的投影,,例1 過點E（e、e’）作直線∥AB。,,,O,X,,,,,,,,,e,e’,a’,b’,b,a,,,,,,,若使 EF ∥ AB，,須 ef ∥ ab ；,e’f’∥a’b’ 。,,分析:,作圖:,2.3 直線的投影,兩直線相交，其同面投影必定相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律；反之亦然。,,,,,,,,,,,,B,C,a',b,a,b',O,A,D,d,

23、d',c',c,k',k,K,,（2）相交,2.3 直線的投影,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,A,C,B,c',d',b',a',b,a,d,c,4,1,2,3,(2’ )1‘,3(4 ),既不平行也不相交的空間兩直線稱為交叉。,投影圖上的交點是重影點。,,,,,（2’）1‘,3（4）,,,1,2,,不符合投影規(guī)律,O,（3）交叉,2.3 直線的投影,,,,例1 判斷

24、AB 、EF 兩直線的相對位置。,,,,相交,,,,k’,分析：,判斷方法：,方法一作第三投影（略）,方法二按定比性。,,k,由于 a’k’ :k’b’ = ak :kb,結論：,所以 AB、 EF 相交。,2.3 直線的投影,,例2 判斷AB 、CD 兩直線的相對位置。,,,,,,,交叉,,,分析：,判斷方法：,方法一作第三投影（略）,方法二： 假定AB、CD平行，則ABCD 共面，AD 和BC 必相交，,AB、CD 兩交叉直線

25、。,結論：,平行？,交叉？,作圖：,2.3 直線的投影,6. 直角投影定理,在直角中： 如兩直角邊同時平行某一投影面，則在該投影面上的投影必反映直角關系； 如有一條直角邊平行某一投影面，則在該投影面上的投影也反映直角關系--直角投影定理。,,2.3 直線的投影,,直角投影定理,,,,,,,,,,,C,A,,,,B,已知：AB為水平線，∠BAC 為直角，則∠bac 仍為直角。,證明：,∵ AB⊥AC， AB⊥Aa ,∴

26、AB⊥平面ACca ，,∵ AB∥H面， ab ∥AB∴ ab⊥平面ACca 有ab⊥ac 。,ab∥AB,a’b’∥OX,直角,有AB⊥ac ；,∠bac 仍為直角,X,反之：若a’b’∥OX，∠bac 為直角，則空間∠BAC 為直角。,2.3 直線的投影,直角投影定理也適于兩交叉直線。,已知CD 與EF 交叉垂直，EF 為水平線，則在H 面上cd 與ef 垂直。,投影圖,X,2.3 直線的投影,,例1 已知AB∥V，試過點E

27、作直線EK 與AB 垂直相交。,,,,,k’,k,,,分析：,AB 為正平線，正面投影反映垂直關系。,作圖過程：,2.3 直線的投影,,,例2 過點A 作直線垂直CD 。,,e,,,,,,e',f,分析：,有無數(shù)解。,能圖示出垂直關系的有兩條：一條水平線，一條正平線。,,,,f’,,,作圖：,作正平線AE ，使a’e’ ⊥c’ d’ ，ae∥OX 。,作水平線AF ，使af ⊥cd ，a’f’∥OX 。,單一直線投影及其特

28、性 一點兩線垂直線 一斜兩平平行線 三線皆斜為一般單一直線的投影規(guī)律 一般位置直線：三面投影都小于實長；三面投影都傾斜于投影軸，不反映實角。 投影面平行線：在其平行的投影面上，投影反映實長，且反映兩個實際角度；另外兩面投影為平行于相應坐標軸的直線段。 投影面垂直線：在其垂直的投影面上，投影積聚成一點；另外兩面投影為反映實長且垂直于相應坐標軸的直線段。,2.3 直線的投影,小 結,兩直線的

29、相對位置 相交 平行 交叉,2.4 平面的投影,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,不共線的三點,平面的幾何元素表示法?,2.4 平面的投影,,,,1. 平面的投影特性,,平面垂直投影面投影積聚成直線→積聚性,平面傾斜投影面 投影類似原平面→類似性,平面平行投影面 投影就將實形現(xiàn) →真實性,根據(jù)平面與投影面的位置關系，可有平行、垂直和傾斜三種情況。,2.4 平面的投影,（

30、2）投影面平行面,（3）投影面垂直面,正平面（平行于Ｖ面）,側平面（平行于Ｗ面）,水平面（平行于Ｈ面）,正垂面（垂直于Ｖ面）,側垂面（垂直于Ｗ面）,鉛垂面（垂直于Ｈ面）,（1）一般位置平面,與三個投影面都傾斜的平面,,,2. 平面在三投影面體系中的投影特性,平行于某一投影面，而與其余兩投影面垂直,垂直于某一投影面，而與其余兩投影面傾斜,2.4 平面的投影,（1）一般位置平面,三個投影都類似。,投影特性：,2.4 平面的投影,例 包含A（

31、a，a’）作一般位置平面。,任作兩相交直線決定一平面.,,,b,c,,,b’,c’,,,無數(shù)解!,2.4 平面的投影,（2）投影面平行面,投影特性：,1.在它所平行的投影面上的投影反映實形。,2.另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。,（對正平面和側平面作分析，可得出類似的投影特性。）,實形性,積聚性,積聚性,2.4 平面的投影,,,例1 包含點A（a，a’）作正平面。,,,,正平面的水平投影為一條∥OX 軸的直線。,

32、b,c,b’,c’,2.4 平面的投影,ABC是什么位置的平面？,,,,,,,,a,b,c,a?,c?,b?,c?,b?,a?,,,,,,,,,(3)投影面垂直面,鉛垂面,投影特性：,1.在平面所垂直的投影面上的投影積聚成直線。2.該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,3.另外兩個投影面上的投影有類似性。,為什么？,積聚性,類似性,類似性,（對正垂面和側垂面作分析，可得出類似的投影特性。）,2.4 平面的投影,例

33、1 包含A（a，a’）作α=30° 的正垂面。,,,,,,兩相交直線決定平面,b,c,b’,c’,d,d’,2.4 平面的投影,3. 平面內(nèi)的點和直線,（1）直線在平面內(nèi)的幾何條件,通過一平面上的兩個點；,通過平面上一點同時又平行該平面上另一直線。,,,,M,N,2.4 平面的投影,,例：判斷直線ⅠⅡ 是否在ABC 平面內(nèi)。,,,,,,,1’,,2,2’,,a,b,c,X,O,b',a',c’,,,,,1,,

34、,,,,,,,,否,3’,4’,4,3,平面內(nèi)一般位置直線,2.4 平面的投影,平面內(nèi)投影面的平行線,,,從屬性(屬于平面); 投影面平行線的投影特性。,D,E,e',d',e,d,,,,投影特性:,d’e’∥OX 軸,,,,,B,2.4 平面的投影,例：在平面(AB∥CD )內(nèi)作直線EF ∥V 面，使距離V面為15 。,e,f,f',,,e',,,2.4 平面的投影,（2）點在平面內(nèi)的幾何條件,在平面

35、內(nèi)定點時，一般要通過包含點在平面內(nèi)取輔助線求解。,,點在平面內(nèi)的一條直線上。,2.4 平面的投影,例1：完成平面四邊形ABCD 的水平投影。,作圖分析：,平面四邊形ABCD 的對角線必相交。,k’,c,X,k,,,,,,,,,,,作圖：,,2.4 平面的投影,例2:完成平面多邊形的水平投影，并求側面投影。,作圖：,投影分析：,帶切口的三角形一般位置平面有關線段平行,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

36、,,,,,,,b,4’,1,3‘,1’,,,,,4,2,,,,,,,,,a”,c”,b”,4”,1”,3”,2”,2.5 幾何要素之間的相對位置,1. 直線與平面平行,幾何條件,如果平面P 外的一條直線AB 與平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線AB 和這個平面P 平行。,反之，如果直線AB 與平面P 平行，那么在平面內(nèi)一定有一條直線與該直線AB 平行。,∵ L∈P ； L ∥AB ；∴ AB ∥ P 。,2.5 幾何要素之間

37、的相對位置,例2 判斷直線AB 與平面△ⅠⅡⅢ是否平行。,只要判斷能否在平面內(nèi)找到一條與AB 直線平行的直線即可，有則平行，否則不平行。,,,a',b',a,b,,,,,1’,1,作圖：,2.連接1d ；,∵1d 與ab 不平行，∴平面ⅠⅡⅢ 與直線AB 不平行。,分析：,,,,,,,X,O,,2',3',,,,2,3,,,,,,,,,,,,d',d,,,1.在平面內(nèi)取直線ⅠD， 使1’d

38、' ∥a'b' ；,2.5 幾何要素之間的相對位置,2. 平面與平面平行,如果一平面內(nèi)的兩相交直線與另一平面內(nèi)的兩相交直線分別對應平行，則兩平面平行。,,,,,,,L1,L2,L3,L4,∵ L1 ∥ L2 ； L3 ∥ L4 ；∴ R ∥ P 。,幾何條件,2.5 幾何要素之間的相對位置,例： 含點A1 作平面平行定平面（A2 B2 × A2 C2 ）。,,,b‘1,c‘1,,,c1

39、,b1,,,只要含點A1 作相交直線分別與A2B2 和A2C2 平行即可。,1.作a‘1b‘1 ∥a'2 b'2 ； a1b1 ∥a 2 b 2 ；,作圖：,則平面(A1B1×A1C1)與平面（A2B2×A2C2）平行。,分析：,2.作a‘1c‘1 ∥a'2 c'2 ； a1c1 ∥a2 c2 ；,2.5 幾何要素之間的相對位置,3. 特殊位置平面與直線

40、或平面相交,直線和平面、平面和平面若不平行就必相交。,基本問題,性質,求共有點的方法,利用積聚性，確定交點的已知投影直接作圖；,通過輔助平面作圖。,1.求交點、交線； 2.判別可見性。,共有點；共有線。求交點——求直線和平面的共有點；求交線——求出兩個共有點，然后連線。,2.5 幾何要素之間的相對位置,利用積聚性投影作圖,,,,,,,,,,k,k’,,,,例1 求直線AB 與平面△CDE 的交點。,K,k,作圖：,從屬性,2.5

41、幾何要素之間的相對位置,,,,,k,k’,,,,可見性判別：,方法1：,1’,2’,2,1,( ),,,k’2’ 不可見，畫細虛線；k’b’ 可見，線段描粗。,例1 求直線AB 與平面△CDE 的交點。,,1在前,方法2,,2.5 幾何要素之間的相對位置,,,,,,,,,,,,,,例3 求兩平面△ABC 與△DEF 的交線。,分析：,△DEF 為鉛垂面，交線的H 投影已知；根據(jù)從屬性，求交線的V 投影。,a,b,c,k,l,l’

42、,k’,K,L,k,l,2.5 幾何要素之間的相對位置,,判別可見性：,根據(jù)空間位置關系判別。,,前，可見,后，不可見,界,例2 求△ABC 與△DEF 兩平面的交線。,k,l,l’,k’,解題完畢,V 面投影投射方向,2.5 幾何要素之間的相對位置,4. 一般位置直線與平面相交,引：求直線DE 與平面△ABC 的交點。,輔助平面法,分析,K,P,,,2.5 幾何要素之間的相對位置,,已知平面,輔助平面法作圖過程：,1.包含直線作輔助

43、平面；,2.求輔助平面與已知平面的交線；,3.求交線與已知直線的交點。,已知直線,輔助平面,交點,輔助平面的位置原則?,特殊位置平面,引：求直線DE 與△ABC 平面的交點。,輔助平面法,2.5 幾何要素之間的相對位置,,,,,,,,,PV,,,,( ),1,2,,( ),,,4’,3‘,k,k’,作圖過程：,1.包含直線DE 作正垂面P (或鉛垂面）；,2.求P 平面與△ABC 平面的交線，并確定交點K ；,3.利用重影點判

44、別可見性。,引：求直線DE 與平面△ABC 的交點。,輔助平面法,直線V 投影的可見性,直線H 投影的可見性,解題完畢,,,,,,,,,,2.5 幾何要素之間的相對位置,,,,PV,,,,k,,,,k’,,,,分析：,如果直線AB 與交叉直線ⅠⅡ和Ⅲ Ⅳ均相交，則AB與I II構成一平面，而Ⅲ Ⅳ與該平面的交點K 一定在AB上。,K,B,投影作圖：,b,b’,例：包含點A 作直線AB 使與兩交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ 相交。,解題完畢,,,因此

45、找到Ⅲ Ⅳ與平面A I II的交點K ，連接AK的直線即為所求。,2.5 幾何要素之間的相對位置,PV,,,,k,,QV,,,,,l’,k’,,l,,,,,,例1 求兩平面△ABC 和△DEF 的交線。,線面相交法,分析:,兩次運用直線與平面相交的方法,求兩交點連線即可。,投影作圖:,5. 兩一般位置平面相交,2.5 幾何要素之間的相對位置,,,,,k,k’,,,,,,,,l’,l,例1 求兩平面△ABC 和△DEF 的交線。,分析:,

46、兩次運用直線平面相交的方法,求兩交點連線即可。,投影作圖:,判別可見性:,V 投影的可見性,H 投影的可見性,,,解題完畢,2.5 幾何要素之間的相對位置,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2 求△ABC 和平面(L1∥L2 )的交線。,輔助平面三面共點法,x,o,b,a,c',b',a',c,L1’,L2’,L1,L2,原理分析:,K1,K2,S1,S2,P,Q,投影作圖:,K1,K2,K1’

47、,K2’,交線,解題完畢,SV1,SV2,2.5 幾何要素之間的相對位置,如果一條直線和一平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與該平面垂直。,,,,,A,B,D,C,L,直線和平面垂直的條件,定理：,,6. 直線與平面垂直,2.5 幾何要素之間的相對位置,直線垂直平面的投影分析：,,,,,,,,直線的正面投影垂直平面內(nèi)正平線的正面投影。,直線的水平投影垂直平面內(nèi)水平線的水平投影；,a’,b’,c’,A,B,C,a,c,b,D,E,d’,e’

48、,d,e,1',2,1,取正平線AE,取水平線BD,bd⊥12 。,a’e’⊥1’2’。,b’d’∥ox ;,ae∥ox ;,Ⅰ,Ⅱ,,2.5 幾何要素之間的相對位置,直線垂直平面的投影作圖：,,,,,,,a’,b’,1',c’,b,d,c,2,1,2',e’,e,d’,c,x,o,a,2.5 幾何要素之間的相對位置,例1 含點E 作直線垂直△ABC，并求垂足。,分析：,再求EF與△ABC 的垂足K ；,先過E

49、求EF 垂直△ABC ；,最后判別可見性。,2.5 幾何要素之間的相對位置,例1 含點E 作直線垂直△ABC，并求垂足。,,,,,,,,,,,,,,,2,2',1',1,3',4,4',3,,,,,k,k',,f',f,,,,,,,解題過程：,4.含EF 作鉛垂面QH ,求垂足K ;,1.在平面 內(nèi)取正平線CⅡ (c2∥OX ) ;,2.在平面內(nèi)取水平線AⅠ (a ’1 ’∥

50、OX ) ;,3.過e 作ef⊥a1 ; 過e ’作e ’f ’⊥c ’2 ’ ;,5.判別可見性。,則EF 垂直△ABC,解題完畢,2.5 幾何要素之間的相對位置,AB⊥BC，則C一定在過B且與AB垂直的平面內(nèi)。,例2 已知AB⊥BC，完成bc 。,分析：,解題思路：,1.過B 作平面P⊥AB ； 2.使C 點在P 面內(nèi)，則BC 在P 面內(nèi)，AB⊥BC 。,2.5 幾何要素之間的相對位置,,,,,,,,,,,,,,,2,c,

51、2',1',1,3',4,4',3,解題過程：,4.由從屬性在34上定點c，得bc。,1.作水平線BⅠ垂直AB ， (b1⊥ab ),2.作正平線BⅡ垂直AB ， (b’2’⊥a’b’ ),例2 已知AB⊥BC，完成bc 。,,平面P 以相交直線(BⅠ×BⅡ)表示。,解題完畢,2.5 幾何要素之間的相對位置,7. 平面與平面垂直,如果一個平面過另一平面的垂線，這兩平面垂直。,定理：,反之

52、，如果兩平面垂直，則含第一個平面內(nèi)一點所做垂直于第二個平面的直線，必在第一個平面內(nèi)。,,,,,,P,,P ⊥Q,直線在平面P 內(nèi),,,Q,Q,2.5 幾何要素之間的相對位置,例 含點A 作平面⊥平面△ⅠⅡⅢ 。,,,,,,,,,,,,,,,b,b',a,1',c',c,分析:,2.無窮解。,1.含A 作直線垂直已知平面;,作圖:,1.在△ⅠⅡⅢ內(nèi)取水平線、正平線；,2.過A 作直線AB 垂直該水平線、正平線；,3