零點(diǎn)與沖激響應(yīng)14.9極點(diǎn)

1、第14章 線性動(dòng)態(tài)電路的 復(fù)頻域分析,本章重點(diǎn),重點(diǎn),(1) 拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì) (2) 掌握用拉普拉斯變換分析線性電 路的方法和步驟,(3) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念(4) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn),返 回,拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來(lái)，把時(shí)域問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問(wèn)題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路

2、的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)算法。,14.1 拉普拉斯變換的定義,1. 拉氏變換法,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,一些常用的變換,對(duì)數(shù)變換,乘法運(yùn)算變換為加法運(yùn)算,相量法,時(shí)域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算,拉氏變換,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,2. 拉氏變換的定義,定義 [ 0 , ∞)區(qū)間函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換式：,正變換,反變換,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,積分域,注意,今后討論的均為0 ? 拉氏變換。,[0? ,0＋]區(qū)間 f(t)

3、=?(t)時(shí)此項(xiàng) ? 0,象函數(shù)F(s) 存在的條件：,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,如果存在有限常數(shù)M和 c 使函數(shù) f(t) 滿足：,則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因?yàn)榭偪梢哉业揭粋€(gè)合適的s 值使上式積分為有限值。,下 頁(yè),上 頁(yè),,象函數(shù)F(s) 用大寫字母表示,如I(s)，U(s),原函數(shù)f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t),返 回,3.典型函數(shù)的拉氏變換,(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù),下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,(

4、3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù),(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù),下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,14.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),1.線性性質(zhì),下 頁(yè),上 頁(yè),證,返 回,例1,解,例2,解,根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行相乘及加減計(jì)算。,下 頁(yè),上 頁(yè),結(jié)論,返 回,2. 微分性質(zhì),下 頁(yè),上 頁(yè),證,若?足夠大,返 回,例,解,下 頁(yè),上 頁(yè),利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù),,返 回,推廣

5、：,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),3.積分性質(zhì),證,應(yīng)用微分性質(zhì),,,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),例,解,返 回,4.延遲性質(zhì),,下 頁(yè),上 頁(yè),證,返 回,例1,例2,求矩形脈沖的象函數(shù),解,根據(jù)延遲性質(zhì),求三角波的象函數(shù),解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,求周期函數(shù)的拉氏變換,設(shè)f1(t)為一個(gè)周期的函數(shù),例3,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),對(duì)于本題脈沖序列,,5.拉普拉斯的卷積定理,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),證,返

6、 回,14.3 拉普拉斯反變換的部分分式展開(kāi),用拉氏變換求解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：,(1)利用公式,(2)對(duì)簡(jiǎn)單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù),下 頁(yè),上 頁(yè),(3)把F(s)分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合,,部分分式展開(kāi)法,返 回,利用部分分式可將F(s)分解為：,下 頁(yè),上 頁(yè),象函數(shù)的一般形式,待定常數(shù),討論,,返 回,待定常數(shù)的確定：,方法1,下 頁(yè),上 頁(yè),方

7、法2,求極限的方法,令s = p1,,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),例,解法1,返 回,解法2,下 頁(yè),上 頁(yè),原函數(shù)的一般形式,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),K1、K2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù),注意,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,? n =m 時(shí)將F(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和,由F(s)求f(t) 的步驟：,求真分式分母的根，將真分式展開(kāi)成部分分式,求各部分分式

8、的系數(shù),對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換,下 頁(yè),上 頁(yè),小結(jié),返 回,例,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,14.4 運(yùn)算電路,基爾霍夫定律的時(shí)域表示：,1.基爾霍夫定律的運(yùn)算形式,下 頁(yè),上 頁(yè),根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運(yùn)算形式,對(duì)任一結(jié)點(diǎn),對(duì)任一回路,返 回,u=Ri,2.電路元件的運(yùn)算形式,電阻R的運(yùn)算形式,取拉氏變換,電阻的運(yùn)算電路,下 頁(yè),上 頁(yè),時(shí)域形式：,返 回,電感L的運(yùn)算形式,取拉氏變換,由微分性質(zhì)得

9、,L的運(yùn)算電路,下 頁(yè),上 頁(yè),時(shí)域形式：,返 回,電容C的運(yùn)算形式,C的運(yùn)算電路,下 頁(yè),上 頁(yè),時(shí)域形式：,取拉氏變換,由積分性質(zhì)得,返 回,耦合電感的運(yùn)算形式,下 頁(yè),上 頁(yè),時(shí)域形式：,取拉氏變換,由微分性質(zhì)得,互感運(yùn)算阻抗,返 回,耦合電感的運(yùn)算電路,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,受控源的運(yùn)算形式,受控源的運(yùn)算電路,下 頁(yè),上 頁(yè),時(shí)域形式：,取拉氏變換,返 回,3. RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算形式,下 頁(yè),上 頁(yè),時(shí)域電路,拉氏變換,

10、運(yùn)算電路,運(yùn)算阻抗,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),運(yùn)算形式的歐姆定律,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,電壓、電流用象函數(shù)形式；,元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示；,電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。,下 頁(yè),上 頁(yè),電路的運(yùn)算形式,小結(jié),例,給出圖示電路的運(yùn)算電路模型。,解,t=0 時(shí)開(kāi)關(guān)打開(kāi),uc(0-)=25V iL(0-)=5A,時(shí)域電路,返 回,注意附加電源,下 頁(yè),上 頁(yè),t >0 運(yùn)算電路,返 回,14.5 應(yīng)用

11、拉普拉斯變換法 分析線性電路,由換路前的電路計(jì)算uc(0-) , iL(0-) ；,畫運(yùn)算電路模型，注意運(yùn)算阻抗的表示和附加電源的作用；,應(yīng)用前面各章介紹的各種計(jì)算方法求象函數(shù)；,反變換求原函數(shù)。,下 頁(yè),上 頁(yè),1. 運(yùn)算法的計(jì)算步驟,返 回,例1,(2) 畫運(yùn)算電路,解,(1) 計(jì)算初值,下 頁(yè),上 頁(yè),電路原處于穩(wěn)態(tài)，t =0 時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，試用運(yùn)算法求電流 i(t)。,返 回,(3) 應(yīng)用回路電流法,下 頁(yè),上 頁(yè),

12、,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),(4)反變換求原函數(shù),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),例2,解,畫運(yùn)算電路,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),,返 回,t = 0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān) ,求電感電流和電壓。,例3,下 頁(yè),上 頁(yè),解,計(jì)算初值,畫運(yùn)算電路,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),,注意,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),注意,由于拉氏變換中用0- 初始條件，躍變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中，故不需先求 t =0+時(shí)的躍變值。,兩個(gè)電感電壓中的

13、沖擊部分大小相同而方向相反，故整個(gè)回路中無(wú)沖擊電壓。,滿足磁鏈?zhǔn)睾恪?返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,14.6 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義,1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H（s）的定義,線性線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)在單一電源激勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵(lì)的像函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,由于激勵(lì)E(s)可以是電壓源或電流源，響應(yīng)R(s)可以是電壓或電流，故 s 域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗（導(dǎo)納），轉(zhuǎn)移阻抗（導(dǎo)納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電

14、流轉(zhuǎn)移函數(shù)。,下 頁(yè),上 頁(yè),注意,若E(s)=1，響應(yīng)R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是該響應(yīng)的像函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應(yīng) h(t)。,2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的應(yīng)用,由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求取任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng),返 回,,例,下 頁(yè),上 頁(yè),解,畫運(yùn)算電路,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,下 頁(yè),上 頁(yè),解,畫運(yùn)算電路,,,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),3. 應(yīng)用卷積定理求電路響應(yīng),結(jié)論,可以通過(guò)求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)與任意激勵(lì)的象函數(shù)E(s)之

15、積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡(luò)在任何激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 。,,返 回,K1=3 , K2= -3,例,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,14.7 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn),1. 極點(diǎn)和零點(diǎn),下 頁(yè),上 頁(yè),當(dāng) s =zi 時(shí)，H(s)=0， 稱 zi 為零點(diǎn)， zi 為重根，稱為重零點(diǎn)；,返 回,2. 復(fù)平面（或s 平面）,在復(fù)平面上把 H(s) 的極點(diǎn)用‘ ? ’表示 ，零點(diǎn)用‘ o ’表示。,零、極點(diǎn)分布圖,下 頁(yè),上 頁(yè),,zi ， Pj 為

16、復(fù)數(shù),返 回,例,繪出其極零點(diǎn)圖。,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,14.8 極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng),下 頁(yè),上 頁(yè),1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖擊響應(yīng),,沖擊響應(yīng),H(s) 和沖激響應(yīng)構(gòu)成一對(duì)拉氏變換對(duì)。,結(jié)論,返 回,H0=-10,例,已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)為s =0、s =-1，一個(gè)單零點(diǎn)為s=1，且有 ，求H(s) 和 h(t),解,由已知的零、極點(diǎn)得：,,下 頁(yè),上 頁(yè),,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),

17、2. 極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng),若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)為：,討論,當(dāng)pi為負(fù)實(shí)根時(shí)，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)pi為正實(shí)根時(shí)，h(t)為增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)；,極點(diǎn)位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同，極點(diǎn)反映網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)動(dòng)態(tài)過(guò)程中自由分量的變化規(guī)律。,注意,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),不穩(wěn)定電路,穩(wěn)定電路,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),當(dāng)pi為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，h(t)為衰減或增長(zhǎng)的正弦函數(shù)；,不穩(wěn)定電路,穩(wěn)定電路,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),當(dāng)pi為

18、虛根時(shí)，h(t)為純正弦函數(shù)，當(dāng)Pi為零時(shí)，h(t)為實(shí)數(shù)；,注意,一個(gè)實(shí)際的線性電路是穩(wěn)定電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)一定位于左半平面。根據(jù)極點(diǎn)分布情況和激勵(lì)變化規(guī)律可以預(yù)見(jiàn)時(shí)域響應(yīng)的全部特點(diǎn)。,返 回,14.9 極點(diǎn)、零點(diǎn)與頻率響應(yīng),令網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)中復(fù)頻率s =j?，分析H(j?)隨?變化的特性，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)零、極點(diǎn)的分布可以確定正弦輸入時(shí)的頻率響應(yīng)。,對(duì)于某一固定的角頻率?,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,幅頻特性,相頻特性,下 頁(yè),上 頁(yè)