數(shù)學(xué)建模微分方程模型

1、§2 傳染病模型,§3 戰(zhàn)爭模型,§4 最優(yōu)捕魚問題,§1 微分方程模型,微 分 方 程 模 型,§1 微分方程模型,<,>,,一、微分方程模型的建模步驟 在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)、體育、生物、社會等學(xué)科中的許多系統(tǒng)，有時很難找到該系統(tǒng)有關(guān)變量之間的直接關(guān)系——函數(shù)表達式，但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式，這時往往

2、采用微分關(guān)系式來描述該系統(tǒng)——即建立微分方程模型 。我們以一個例子來說明建立微分方程模型的基本步驟。,,<,>,例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陳代謝（即自動消耗）。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是69 （焦/公斤?天）乘以他的體重（公斤）。假設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868（焦）。試研究此人的體重隨時間變化的規(guī)律。,<

3、,>,模型分析 在問題中并未出現(xiàn)“變化率”、“導(dǎo)數(shù)”這樣的關(guān)鍵詞，但要尋找的是體重（記為W）關(guān)于時間t的函數(shù)。如果我們把體重W看作是時間t的連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個含有 的微分方程。,<,>,模型假設(shè) 1.以W(t)表示t時刻某人的體重，并設(shè)一天開始時人的體重為W0。2．體重的變化是一個漸變的過程。因此可認為W(t)是關(guān)于連續(xù)t而且充分光滑的。3．體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入

4、是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；輸出就是進行健身訓(xùn)練時的消耗。,<,>,,,,模型建立 問題中所涉及的時間僅僅是“每天”，由此，對于“每天”體重的變化=輸入-輸出。由于考慮的是體重隨時間的變化情況，因此，可得體重的變化/天=輸入/天—輸出/天。代入具體的數(shù)值，得 輸入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天）， 輸出/天 = 69（焦/公斤?天）×（公斤

5、）= 69（焦/天）。,<,>,體重的變化/天=△W/△t（公斤/天），當△t→0時，它等于dW/dt?？紤]單位的匹配，利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方程模型,<,>,模型求解 用變量分離法求解，模型方程等價于積分得,<,>,從而求得模型解就描述了此人的體重隨時間變化的規(guī)律。,<,>,現(xiàn)在我們再來考慮一下：

6、此人的體重會達到平衡嗎?顯然由W的表達式，當t→∞時，體重有穩(wěn)定值W → 81 。我們也可以直接由模型方程來回答這個問題。 在平衡狀態(tài)下， W是不發(fā)生變化的。所以 這就非常直接地給出了W平衡=81。 所以，如果我們需要知道的僅僅是這個平衡值，就不必去求解微分方程了！,<,>,至此，問題已基本上得以解決。一般地，建立微分方程模型，其方法可歸納為：(1)   根

7、據(jù)規(guī)律列方程。利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或許多經(jīng)過實踐或?qū)嶒灆z驗的規(guī)律和定律，如牛頓運動定律、物質(zhì)放射性的規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分方程模型。,<,>,(3)   模擬近似法。在生物、經(jīng)濟等學(xué)科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，常常用模擬近似的方法來建立微分方程模型、建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，這個過程是近似的，用模擬近似

8、法所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上去求解或分析解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，看這個微分方程模型能否刻劃、模擬、近似某些實際現(xiàn)象。本章將結(jié)合例子討論幾個不同領(lǐng)域中微分方程模型的建模方法。,§2 傳染病模型,問題,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報傳染病高潮到來的時刻,預(yù)防傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型,<,>,已感染人數(shù) (病人) i(t),每個病人每天有效接觸(足

9、以使人致病)人數(shù)為?,模型1,假設(shè),若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加,建模,,,,?,<,>,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為,2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為?, 且使接觸的健康人致病,建模,,? ~ 日接觸率,SI 模型,<,>,模型2,tm~傳染病高潮到來時刻,? (日接觸率)? ? tm?,病人可以治愈！,?,t=tm,

10、di/dt 最大,<,>,模型3,傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染,增加假設(shè),SIS 模型,3）病人每天治愈的比例為?,? ~日治愈率,建模,? ~ 日接觸率,1/? ~感染期,? ~ 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。,,<,>,模型3,接觸數(shù)? =1 ~ 閾值,感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,<,

11、>,模型4,傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者,SIR模型,假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為,2）病人的日接觸率? , 日治愈率?, 接觸數(shù) ? = ? / ?,建模,需建立 的兩個方程,<,>,模型4,SIR模型,,<,>,模型4,SIR模型,相軌線 的定義域,在D

12、內(nèi)作相軌線 的圖形，進行分析,<,>,<,>,模型4,SIR模型,相軌線 及其分析,s(t)單調(diào)減?相軌線的方向,P1: s0>1/? ? i(t)先升后降至0,P2: s0<1/? ? i(t)單調(diào)降至0,1/?~閾值,<,>,模型4,SIR模型,預(yù)防傳染病蔓延的手段,? (日接觸率)? ? 衛(wèi)生水平?,?(日治愈率)? ? 醫(yī)療水平?,傳染病不蔓延

13、的條件——s0<1/?,? 的估計,,降低 s0,提高 r0,,提高閾值 1/?,<,>,模型4,SIR模型,被傳染人數(shù)的估計,記被傳染人數(shù)比例,,? 小, s0 ? ?1,提高閾值1/??降低被傳染人數(shù)比例 x,s0 - 1/? = ?,<,>,戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭,只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱,兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加,戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān),建模思路和方

14、法為用數(shù)學(xué)模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例,第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型,§3 戰(zhàn)爭模型,<,>,一般模型,每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力,每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比,甲乙雙方的增援率為u(t), v(t),f, g 取決于戰(zhàn)爭類型,x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力,模型假設(shè),模型,<,>,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)

15、斗力,雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn),忽略非戰(zhàn)斗減員,假設(shè)沒有增援,,f(x, y)=?ay, a ~ 乙方每個士兵的殺傷率,a=ry py, ry ~射擊率， py ~命中率,<,>,正規(guī)戰(zhàn)爭模型,為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論 x 與 y 的關(guān)系,,,平方律 模型,,<,>,游擊戰(zhàn)爭模型,雙方都用游擊部隊作戰(zhàn),甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加,,f(x, y)=?cxy, c~

16、乙方每個士兵的殺傷率,c = ry pyry~射擊率py ~命中率,游擊戰(zhàn)爭模型,,,線性律 模型,,<,>,<,>,混合戰(zhàn)爭模型,甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊,,,,,乙方必須10倍于甲方的兵力,設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2),<,>,再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）,再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)

17、最大產(chǎn)量或最佳效益。,問題及 分析,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。,如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。,背景,§4 最優(yōu)捕魚問題,<,>,產(chǎn)量模型,假設(shè),無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律,單位時間捕撈量與漁場魚量成正比,建模,捕撈情況下漁場魚量滿足,不需要求解x(t), 只需知道x(t)穩(wěn)定的條件,r~固有增長率, N~最大魚量,h(x)=Ex,

18、 E~捕撈強度,x(t) ~ 漁場魚量,<,>,一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,一階非線性（自治）方程,F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡點,不求x(t), 判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法,(1)的近似線性方程,<,>,產(chǎn)量模型,穩(wěn)定性判斷,x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量,x1 穩(wěn)定, 漁場干枯,E~捕撈強度,r~固有增長率,,,<,>,產(chǎn)量模型,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大,圖解法

19、,P的橫坐標 x0~平衡點,P的縱坐標 h~產(chǎn)量,產(chǎn)量最大,控制漁場魚量為最大魚量的一半,<,>,效益模型,假設(shè),魚銷售價格p,單位捕撈強度費用c,單位時間利潤,在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大.,求E使R(E)最大,,漁場魚量,收入 T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,<,>,捕撈過度,封閉式捕撈追求利潤R(E)最大,開放式捕撈只求利潤R(E) > 0,R(E)=0時的捕撈強度