微分方程建模案例2

1、為了保持自然資料的合理開(kāi)發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問(wèn)題。,種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,由此引起的誤差將是十分微小的。,Malthus模型與Logistic模型,模型1 馬爾薩斯（Malthus）模型,馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長(zhǎng)率r基本上是一常數(shù)，

2、（r=b-d,b為出生率，d為死亡率）， 既：,馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。,Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。,所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。,模型2 Logistic模型,人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r

3、(N),r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無(wú)法用擬合方法來(lái)求 。,為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。,r(N)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）,(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無(wú)限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過(guò)多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾

4、病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。,圖3-5,對(duì)（3.9）分離變量：,兩邊積分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的圖形請(qǐng)看圖3.5,大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來(lái)描述種

5、群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲(chóng)放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始時(shí)草履蟲(chóng)以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線： 幾乎完全吻合，見(jiàn)圖3.6。,圖3-6,Malthus模型和Logistic模型的總結(jié),Malthus模型和Logistic

6、模型均為對(duì)微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。,用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。,Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它

7、們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問(wèn)題，只要這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。,例5 贗品的鑒定,在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣過(guò)藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫(huà)家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫(huà)家揚(yáng)·弗米爾（Jan Veermeer）的油畫(huà)“捉奸”等賣給納粹德國(guó)

8、戈林的中間人?？墒?，范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說(shuō)，這一幅畫(huà)和眾所周知的油畫(huà)“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫(huà)和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫(huà)家）的油畫(huà)，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開(kāi)始偽造弗米爾的油畫(huà)“耶穌在門徒們中間”，當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫(huà)變陳，以免

9、留下罪證。,為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國(guó)際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗(yàn)畫(huà)布上是否曾經(jīng)有過(guò)別的畫(huà)。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫(huà)中有沒(méi)有歷經(jīng)歲月的跡象?？茖W(xué)家們終于在其中的幾幅畫(huà)中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫(huà)中檢驗(yàn)出了20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹(shù)脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年?？墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩

10、個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。,然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門徒”是范·梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫(huà)已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡，并以17萬(wàn)美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買下。專家小組對(duì)于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒(méi)有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”，來(lái)證明他高于三流畫(huà)家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅“

11、在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后，他在炮制后來(lái)的偽制品時(shí)就不太用心了 。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個(gè)偽造品。這一問(wèn)題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們 基本上解決。,原理與模型,測(cè)定油畫(huà)和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。,放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素

12、的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時(shí)間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。,用N(t)表示時(shí)間t時(shí)存在的原子數(shù),則：,用λ來(lái)計(jì)算半衰期T:,其解為:,與本問(wèn)題相關(guān)的其他知識(shí):,(1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達(dá)兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來(lái)的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡(jiǎn)圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）,(3)從鉛礦中提煉鉛時(shí)，鉛210與鉛206一起

13、被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。,鈾238-45億年->釷234-24天->釙234-6/5分->鈾234-257億年->釷230-8萬(wàn)年->鐳226-1600年->氡222-19/5天->釙218-3分->鉛214-27分->釙214-鉛210-20年->鉍210-5天->釙210-138天->鉛206（一種非放射

14、性物質(zhì)）注：時(shí)間均為半衰期,(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測(cè)量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬(wàn)分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于2—3%的。,簡(jiǎn)化假定：,本問(wèn)題建模是為了鑒定幾幅不超過(guò)300年的古畫(huà)，為了

15、使模型盡可能簡(jiǎn)單，可作如下假設(shè)：,(1)由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過(guò)300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。,建模：,(1)記提煉白鉛的時(shí)刻為t=0，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同?？梢酝扑愠霎?dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個(gè)。,以上確定了每克白鉛中

16、鉛分解數(shù)的上界，若畫(huà)上的鉛分解數(shù)大于該值，說(shuō)明畫(huà)是贗品；但若是小于不能斷定畫(huà)一定是真品。,(2)設(shè)t時(shí)刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：,由此解得：,故：,畫(huà)中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)λy(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測(cè)出，從而可求出λy0的近似值，并利用（1）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。,Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問(wèn)的油畫(huà)作了

17、鑒定，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（見(jiàn)表3-1）。,例6 新產(chǎn)品的推廣,經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問(wèn)題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。,設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記t時(shí)刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律：,記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：,此方程即Logistic模型，解為：,對(duì)