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文檔簡介
1、<p><b> 第二講 運(yùn)動(dòng)學(xué)</b></p><p> §2.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念</p><p> 2.1.1、參照物和參照系</p><p> 要準(zhǔn)確確定質(zhì)點(diǎn)的位置及其變化,必須事先選取另一個(gè)假定不動(dòng)的物體作參照,這個(gè)被選的物體叫做參照物。為了定量地描述物體的運(yùn)動(dòng)需要在參照物上建立坐標(biāo),構(gòu)成坐標(biāo)系。<
2、/p><p> 通常選用直角坐標(biāo)系O–xyz,有時(shí)也采用極坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系一般有三種,一種是兩軸沿水平豎直方向,另一是兩軸沿平行與垂直斜面方向,第三是兩軸沿曲線的切線和法線方向(我們常把這種坐標(biāo)稱為自然坐標(biāo))。</p><p> 2.1.2、位矢 位移和路程</p><p> 在直角坐標(biāo)系中,質(zhì)點(diǎn)的位置可用三個(gè)坐標(biāo)x,y,z表示,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),它的坐標(biāo)是時(shí)
3、間的函數(shù)</p><p> x=X(t) y=Y(t) z=Z(t)</p><p> 這就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。</p><p> 質(zhì)點(diǎn)的位置也可用從坐標(biāo)原點(diǎn)O指向質(zhì)點(diǎn)P(x、y、z)的有向線段來表示。如圖2-1-1所示, 也是描述質(zhì)點(diǎn)在空間中位置的物理量。的長度為質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離,的方向由余弦、、決定,它們之間滿足</p><
4、;p> 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),其位矢的大小和方向也隨時(shí)間而變,可表示為=(t)。在直角坐標(biāo)系中,設(shè)</p><p> 分別為、、沿方向、、和單位矢量,則可表示為</p><p> 位矢與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)。</p><p> 研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),不僅要知道它的位置,還必須知道它的位置的變化情況,如果質(zhì)點(diǎn)從空間一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn),相應(yīng)的位矢由1變到2,其改變量為<
5、;/p><p> 稱為質(zhì)點(diǎn)的位移,如圖2-1-2所示,位移是矢量,它是從初始位置指向終止位置的一個(gè)有向線段。它描寫在一定時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置變動(dòng)的大小和方向。它與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān)。</p><p><b> 2.1.3、速度</b></p><p> 平均速度 質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)通過的位移和所用的時(shí)間之比叫做這段時(shí)間內(nèi)的平均速度</p&g
6、t;<p> 平均速度是矢量,其方向?yàn)榕c的方向相同。平均速度的大小,與所取的時(shí)間間隔有關(guān),因此須指明是哪一段時(shí)間(或哪一段位移)的平均速度。</p><p> 瞬時(shí)速度 當(dāng)為無限小量,即趨于零時(shí),成為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度,簡稱速度 </p><p> 瞬時(shí)速度是矢量,其方向在軌跡的切線方向。</p><p> 瞬時(shí)速度的大小稱為速率。速率是
7、標(biāo)量。</p><p><b> 2.1.4、加速度</b></p><p> 平均加速度 質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi),速度變化量為,則與的比值為這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度</p><p> 平均加速度是矢量,其方向?yàn)榈姆较颉?lt;/p><p> 瞬時(shí)加速度 當(dāng)為無限小量,即趨于零時(shí),與的比值稱為此時(shí)刻的瞬時(shí)加速度,簡稱加
8、速度</p><p> 加速度是矢量,其方向就是當(dāng)趨于零時(shí),速度增量的極限方向。</p><p> 2.1.5、勻變速直線運(yùn)動(dòng)</p><p> 加速度不隨時(shí)間t變化的直線運(yùn)動(dòng)稱為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。若與同方向,則為勻加速直線運(yùn)動(dòng);若與反方向,則為勻減速直線運(yùn)動(dòng)。</p><p> 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為:</p><
9、p> 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律也可以用圖像描述。其位移—時(shí)間圖像(s~t圖)和速度—時(shí)間圖像(v~t圖)分別如圖2-1-3和圖2-1-4所示。</p><p> 從(s~t)圖像可得出:</p><p> (1)任意一段時(shí)間內(nèi)的位移。</p><p> (2)平均速度,在()的時(shí)間內(nèi)的平均速度的大小,是通過圖線上點(diǎn)1、點(diǎn)2的割線的斜率。</p>
10、<p> (3)瞬時(shí)速度,圖線上某點(diǎn)的切線的斜率值,等于該時(shí)刻的速度值。從s~t圖像可得出:</p><p> 從(v~t)圖像可得出:</p><p> (1)任意時(shí)刻的速度。</p><p> (2)任意一段時(shí)間內(nèi)的位移,時(shí)間內(nèi)的位移等于v~t圖線,時(shí)刻與橫軸所圍的“面積”。這一結(jié)論對非勻變速直線運(yùn)動(dòng)同樣成立。</p><
11、;p> (3)加速度,v~t圖線的斜率等于加速度的值。若為非勻變速直線運(yùn)動(dòng),則v~t圖線任一點(diǎn)切線的斜率即為該時(shí)刻的瞬時(shí)加速度的大小。</p><p> §2.2 運(yùn)動(dòng)的合成與分解相對運(yùn)動(dòng)</p><p> 2.2.1、運(yùn)動(dòng)的合成與分解</p><p> (1)矢量的合成與分解</p><p> 矢量的合成與分解
12、的基本方法是平行四邊形法則,即兩分量構(gòu)成平行四邊形的兩鄰邊,合矢量為該平行四邊形與兩分量共點(diǎn)的對角線。由平行四邊形法則又衍生出三角形法則,多個(gè)矢量的合成又可推導(dǎo)出多邊形法則。</p><p> 同一直線上的矢量的合成與分解可以簡化為代數(shù)運(yùn)算,由此,不在同一直線上的矢量的合成與分解一般通過正交分解法進(jìn)行運(yùn)算,即把各個(gè)矢量向互相垂直的坐標(biāo)軸投影,先在各軸上進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算之后,再進(jìn)行矢量運(yùn)算。</p>&
13、lt;p> (2)運(yùn)動(dòng)的合成和分解</p><p> 運(yùn)動(dòng)的合成與分解是矢量的合成與分解的一種。運(yùn)動(dòng)的合成與分解一般包括位移、速度、加速度等的合成與分解。運(yùn)動(dòng)的合成與分解的特點(diǎn)主要有:①運(yùn)動(dòng)的合成與分解總是與力的作用相對應(yīng)的;②各個(gè)分運(yùn)動(dòng)有互不相干的性質(zhì),即各個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)與其他方向的運(yùn)動(dòng)存在與否無關(guān),這與力的獨(dú)立作用原理是對應(yīng)的;③位移等物理量是在一段時(shí)間內(nèi)才可完成的,故他們的合成與分解要講究等時(shí)性,
14、即各個(gè)運(yùn)動(dòng)要取相同時(shí)間內(nèi)的位移;④瞬時(shí)速度等物理量是指某一時(shí)刻的,故它們的合成分解要講究瞬時(shí)性,即必須取同一時(shí)刻的速度。</p><p> 兩直線運(yùn)動(dòng)的合成不一定就是直線運(yùn)動(dòng),這一點(diǎn)同學(xué)們可以證明。如:①兩勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成仍為勻速直線運(yùn)動(dòng);②兩初速為零(同一時(shí)刻)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合成仍為初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng);③在同一直線上的一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)和一個(gè)初速為零的勻變速運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)是一個(gè)初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng),
15、如:豎上拋與豎下拋運(yùn)動(dòng);④不在同一直線上的一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)與一個(gè)初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合成是一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng),如:斜拋運(yùn)動(dòng)。</p><p> 2.2.2、相對運(yùn)動(dòng)</p><p> 任何物體的運(yùn)動(dòng)都是相對于一定的參照系而言的,相對于不同的參照系,同一物體的運(yùn)動(dòng)往往具有不同的特征、不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)量。</p><p> 通常將相對觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系;將相
16、對觀察者運(yùn)動(dòng)的參照系稱為運(yùn)動(dòng)參照系。物體相對靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對運(yùn)動(dòng),相應(yīng)的速度和加速度分別稱為絕對速度和絕對加速度;物體相對運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)稱為相對運(yùn)動(dòng),相應(yīng)的速度和加速度分別稱為相對速度和相對加速度;而運(yùn)動(dòng)參照系相對靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng),相應(yīng)的速度和加速度分別稱為牽連速度和牽連加速度。</p><p> 絕對運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系是:絕對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和。</
17、p><p> 這一結(jié)論對運(yùn)動(dòng)參照系是相對于靜止參照系作平動(dòng)還是轉(zhuǎn)動(dòng)都成立。</p><p> 當(dāng)運(yùn)動(dòng)參照系相對靜止參照系作平動(dòng)時(shí),加速度也存在同樣的關(guān)系:</p><p> 當(dāng)運(yùn)動(dòng)參照系相對靜止參照系作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),這一關(guān)系不成立。</p><p> 如果有一輛平板火車正在行駛,速度為(腳標(biāo)“火地”表示火車相對地面,下同)。有一個(gè)大膽的駕駛員駕
18、駛著一輛小汽車在火車上行駛,相對火車的速度為,那么很明顯,汽車相對地面的速度為:</p><p> (注意:和不一定在一條直線上)如果汽車中有一只小狗,以相對汽車為的速度在奔跑,那么小狗相對地面的速度就是</p><p> 從以上二式中可看到,上列相對運(yùn)動(dòng)的式子要遵守以下幾條原則:</p><p> ?、俸纤俣鹊那澳_標(biāo)與第一個(gè)分速度的前腳標(biāo)相同。合速度的后腳標(biāo)和
19、最后一個(gè)分速度的后腳標(biāo)相同。</p><p> ?、谇懊嬉粋€(gè)分速度的后腳標(biāo)和相鄰的后面一個(gè)分速度的前腳標(biāo)相同。</p><p> ?、鬯蟹炙俣榷加檬噶亢铣煞ㄏ嗉印?lt;/p><p> ?、芩俣鹊那昂竽_標(biāo)對調(diào),改變符號。</p><p> 以上求相對速度的式子也同樣適用于求相對位移和相對加速度。</p><p> 相
20、對運(yùn)動(dòng)有著非常廣泛的應(yīng)用,許多問題通過它的運(yùn)用可大為簡化,以下舉兩個(gè)例子。</p><p> 例 如圖2-2-1所示,在同一鉛垂面上向圖示的兩個(gè)方向以的初速度拋出A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),問1s后A、B相距多遠(yuǎn)?這道題可以取一個(gè)初速度為零,當(dāng)A、B拋出時(shí)開始以加速度g向下運(yùn)動(dòng)的參考系。在這個(gè)參考系中,A、B二個(gè)質(zhì)點(diǎn)都做勻速直線運(yùn)動(dòng),而且方向互相垂直,它們之間的距離</p><p><b&g
21、t; m</b></p><p> 在空間某一點(diǎn)O,向三維空間的各個(gè)方向以相同的速度射出很多個(gè)小球,球ts之后這些小球中離得最遠(yuǎn)的二個(gè)小球之間的距離是多少(假設(shè)ts之內(nèi)所有小球都未與其它物體碰撞)?這道題初看是一個(gè)比較復(fù)雜的問題,要考慮向各個(gè)方向射出的小球的情況。但如果我們?nèi)∫粋€(gè)在小球射出的同時(shí)開始自O(shè)點(diǎn)自由下落的參考系,所有小球就都始終在以O(shè)點(diǎn)為球心的球面上,球的半徑是,那么離得最遠(yuǎn)的兩個(gè)小球之
22、間的距離自然就是球的直徑2。</p><p><b> §2.3拋體運(yùn)動(dòng)</b></p><p> 2.3.1、曲線運(yùn)動(dòng)的基本知識</p><p> 軌跡為曲線的運(yùn)動(dòng)叫曲線運(yùn)動(dòng)。它一定是一個(gè)變速運(yùn)動(dòng)。圖2-3-1表示一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),它經(jīng)過P點(diǎn)時(shí),在P點(diǎn)兩旁的軌跡上取兩點(diǎn),過三點(diǎn)可作一圓,當(dāng)這兩點(diǎn)無限趨近于P點(diǎn)時(shí),則圓亦趨近于一
23、個(gè)定圓,我們把這個(gè)圓叫P點(diǎn)的曲率圓,曲率圓的半徑叫P點(diǎn)的曲率半徑,曲率圓的圓心叫P點(diǎn)的曲率中心,曲率半徑的倒數(shù)叫P點(diǎn)的曲率。如圖2-3-1,亦可做出Q點(diǎn)的曲率圓。曲率半徑大,曲率小,表示曲線彎曲較緩,曲率半徑小,曲率大,表示曲線彎曲厲害。直線可認(rèn)為是曲率半徑為無窮大的曲線。</p><p> 質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的方向總是沿該點(diǎn)的切線方向。如圖2-3-2所示,質(zhì)點(diǎn)在△t時(shí)間內(nèi)沿曲線由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),速度由V
24、變化到VB,則其速度增量為兩者之矢量差,=VB―V,這個(gè)速度增量又可分解成兩個(gè)分量:在VB上取一段AC等于V,則△V分解成△V和△V,其中△V表示質(zhì)點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到B的速度方向上的增量,△V表示速度大小上的增量。</p><p> 法向加速度a表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度方向改變的快慢,其大小為在A點(diǎn)的曲率圓的向心加速度:</p><p> 其方向指向A點(diǎn)的曲率中心。切向加速度表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)
25、動(dòng)時(shí)速度大小改變的快慢,方向亦沿切線方向,其大小為</p><p> 總加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。</p><p> 2.3.2、拋物運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要特例</p><p> 物體以一定的初速度拋出后,若忽略空氣阻力,且物體的運(yùn)動(dòng)在地球表面附近,它的運(yùn)動(dòng)高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑,則在運(yùn)動(dòng)過程中,其加速度恒為豎直向下的重力加速度。因此,拋體運(yùn)動(dòng)
26、是一種加速度恒定的曲線運(yùn)動(dòng)。</p><p> 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的疊加原理,拋體運(yùn)動(dòng)可看成是由兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)疊加而成。常用的處理方法是:將拋體運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。</p><p> 如圖2-3-3。取拋物軌跡所在平面為平面,拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),水平方向?yàn)閤軸,豎直方向?yàn)閥軸。則拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為:</p><p><b>
27、其軌跡方程為</b></p><p> 這是開口向下的拋物線方程。</p><p> 在拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平面上的情況下,飛行時(shí)間T,射程R和射高H分別為</p><p> 拋體運(yùn)動(dòng)具有對稱性,上升時(shí)間和下降時(shí)間(拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)在同一水平面上)相等(一般地,從某一高度上升到最高點(diǎn)和從最高點(diǎn)下降到同一高度的時(shí)間相等);上升和下降時(shí)經(jīng)過同一高度時(shí)速
28、度大小相等,速度方向與水平方向的夾角大小相等。</p><p> 下面介紹一種特殊的拋體運(yùn)動(dòng)——平拋運(yùn)動(dòng):</p><p> 質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下,且具有水平方向的初速度的運(yùn)動(dòng)叫平拋運(yùn)動(dòng)。它可以看成水平方向上的勻速運(yùn)動(dòng)(速度為v0)與豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)的合成。</p><p> ?、偎俣龋翰捎盟截Q直方向的直角坐標(biāo)可得: ,其合速度的大小為,其合速度的方
29、向?yàn)椋ㄔO(shè)水平方向夾角為θ),可見,當(dāng)時(shí),,即表示速度趨近于自由落體的速度。</p><p> ?、谖灰疲喝园瓷鲜鲎鴺?biāo)就有,。仿上面討論也可得到同樣結(jié)論,當(dāng)時(shí)間很長時(shí),平拋運(yùn)動(dòng)趨近于自由落體運(yùn)動(dòng)。</p><p> ③加速度:采用水平和豎直方向直角坐標(biāo)系有,,用自然坐標(biāo)進(jìn)行分解,如圖2-3-4其法向加速度為,切向加速度為,θ為速度與水平向方的夾角,將速度在水平與豎直方向的坐標(biāo)系中分解可知:
30、</p><p> 由此可知,其法向加速度和切向加速度分別為:</p><p> 由上兩式可以看出,隨著時(shí)間的推移,法向加速度逐漸變小趨近于零,切向加速度趨近于定值g,這表示越來越接近豎直下拋運(yùn)動(dòng)。在生活中也很容易看到,平拋物體的遠(yuǎn)處時(shí)就接近豎直下落了。</p><p><b> 運(yùn)動(dòng)的軌跡方程:</b></p><p
31、> 從方程可以看出,此圖線是拋物線,過原點(diǎn),且越大,圖線張開程度大,即射程大。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性,經(jīng)常把斜拋運(yùn)動(dòng)分解成水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的豎直上拋運(yùn)動(dòng)來處理,但有時(shí)也可以用其它的分解分法。</p><p> 拋體運(yùn)動(dòng)另一種常用的分解方法是:分解沿方向的速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)二個(gè)分運(yùn)動(dòng)。</p><p> 如圖2-3-5所示,從A點(diǎn)以的初速度拋
32、出一個(gè)小球,在離A點(diǎn)水平距離為s處有一堵高度為h的墻BC,要求小球能越過B點(diǎn)。</p><p> 問小球以怎樣的角度拋出,才能使最???</p><p> 將斜拋運(yùn)動(dòng)看成是方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和另一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng),如圖2-3-6所示。</p><p> 在位移三角形ADB在用正弦定理</p><p><b> ①<
33、/b></p><p> ④軌跡:由直角坐標(biāo)的位移公式消去時(shí)間參數(shù)t便可得到直角坐標(biāo)系中的平拋運(yùn)</p><p> 由①式中第一個(gè)等式可得</p><p><b> ?、?lt;/b></p><p> 將②式代入①式中第二個(gè)等式</p><p> 當(dāng)有極大值1時(shí),即時(shí),有極小值。<
34、/p><p><b> 因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b> 所以</b></p><p> 當(dāng)小球越過墻頂時(shí),y方向的位移為零,由②式可得</p><p> ?、凼酱胧舰伲何覀冞€可用另一種處理方法</p><p> 以AB方向作為x軸(圖2-3
35、-7)這樣一取,小球在x、y方向上做的都是勻變速運(yùn)動(dòng)了,和g都要正交分解到x、y方向上去。</p><p><b> 小球運(yùn)動(dòng)的方程為</b></p><p><b> ∴</b></p><p> 當(dāng)最大,即時(shí),,有極小值</p><p> §2.4質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)</p
36、><p> 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)</p><p> 2.4.1、質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)</p><p> (1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖2-4-1所示,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為R的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),它的位置可用角度θ表示(習(xí)慣上以逆時(shí)針轉(zhuǎn)角正,順時(shí)針轉(zhuǎn)角為負(fù)),轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢用角速度表示:</p><p> 質(zhì)點(diǎn)P的速度方向在圓的切線方向,大小為</p>
37、;<p> ω(或v)為常量的圓周運(yùn)動(dòng)稱為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這里的“勻速”是指勻角速度或勻速率,速度的方向時(shí)刻在變。因此,勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)具有加速度,其加速度沿半徑指向圓心,稱為向心加速度(法向加速度)。</p><p> 向心加速度只改變速度的方向,不改變速度的大小。</p><p> (2)變速圓周運(yùn)動(dòng) ω(或v)隨時(shí)間變化的圓周運(yùn)動(dòng),稱為變速圓周運(yùn)動(dòng),描述
38、角速度變化快慢的物理量為角加速度</p><p> 質(zhì)點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),速度的大小和方向都在變化。將速度增量分解為與平行的分量和垂直的分量,如圖2-4-2。相當(dāng)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)個(gè)的,的大小為</p><p><b> =</b></p><p><b> 質(zhì)點(diǎn)P的加速度為</b></p><p&g
39、t; 其中就是切向加速度和法向加速度。</p><p> β為常量的圓周運(yùn)動(dòng),稱為勻變速圓周運(yùn)動(dòng),類似于變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,有</p><p> (3)圓周運(yùn)動(dòng)也可以分解為二個(gè)互相垂直方向上的分運(yùn)動(dòng)。參看圖2-4-3一個(gè)質(zhì)點(diǎn)A在t=0時(shí)刻從x正方向開始沿圓周逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),在x方向上</p><p><b> 在y方向上: </b&
40、gt;</p><p> 從x和y方向上的位移、速度和加速度時(shí)間t表達(dá)的參數(shù)方程可以看出:勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)互相垂直方向上的簡諧運(yùn)動(dòng),它們的相位相差</p><p> 2.4.2、剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)</p><p> 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的特征是,剛體上的任意質(zhì)點(diǎn)都作平行于一個(gè)固定平面的運(yùn)動(dòng)。如圓柱沿斜面的滾動(dòng),即為平面平行運(yùn)動(dòng)??扇傮w上任意平行于固定平面
41、的截面作為研究對象。</p><p> 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng),常有兩種研究方法:一種是看成隨基點(diǎn)(截面上任意一點(diǎn)都可作為基點(diǎn))的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng);另一種是選取截面上的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心S(簡稱瞬心)為基點(diǎn)。瞬心即指某瞬間截面上速度為零的點(diǎn)。這樣,剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)看成僅作繞瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)。</p><p> 確定瞬心的方法有兩種:如圖2-4-4(a)所示,若已知截面上兩點(diǎn)的速度,則與兩速
42、度方向垂直的直線的交點(diǎn)即為瞬心?;蛉鐖D2-4-4(b)所示,已知截面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及截面上某一點(diǎn)A的速度,則在與速度垂直的直線上,與A點(diǎn)距離為的點(diǎn)即為瞬心。</p><p> 注意,瞬心的速度為零,加速度不一定為零。</p><p> 2.4.3、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)</p><p> 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),剛體上或其延展部分有一根不動(dòng)直線,該直線稱為定軸,剛體繞這一軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛
43、體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其上各點(diǎn)都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),各點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同,在某一時(shí)刻,剛體上所有各點(diǎn)的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各點(diǎn)的線位移、線速度和線加速度則隨各點(diǎn)離開轉(zhuǎn)軸的垂直距離不同而不同。</p><p> 2.4.4、一些求曲率半徑的特殊方法</p><p> 先看橢圓曲線,要求其兩頂點(diǎn)處的曲率半徑。介紹以下兩種方法:</p><p&g
44、t; (1)將橢圓看成是半徑R=A(設(shè)A>B)的圓在平面上的投影,圓平面和平面的夾角滿足關(guān)系式(如圖2-4-5)</p><p> 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以速率v在圓上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則向心加速度,從上圖中可以看出,當(dāng)頂點(diǎn)的投影在橢圓的長軸(x軸)上的P點(diǎn)時(shí),其速率和加速度分別為:</p><p><b> , </b></p><p> 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)
45、的投影在橢圓的短軸(y軸)上的Q點(diǎn)時(shí),其速率和加速度分別為:</p><p><b> 。</b></p><p> 因此橢圓曲線在P、Q的曲率半徑分別為:</p><p> (2)將橢圓看成是二個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的合成,可以把橢圓的參數(shù)方程(設(shè)A>B)(如圖2-4-6)</p><p><b> 可改寫為
46、 </b></p><p> 即可進(jìn)一步寫出x,y二個(gè)方程的速度v和加速度a:</p><p> 那么在長軸端點(diǎn)P處()的曲率半徑:</p><p> 在短軸端點(diǎn)Q處()的曲率半徑</p><p> 再把拋物線y=Ax,要求其任意一點(diǎn)的曲率半徑(如圖2-4-7)因?yàn)閽佄锞€可以寫作參數(shù)方程</p><p
47、> 其中,這樣就可以導(dǎo)出 </p><p> 對任意一個(gè)t值: v=</p><p><b> a=acos=a</b></p><p> 所以這一點(diǎn)的曲率半徑</p><p> 將t=代入,可得 </p><p> 因?yàn)椋話佄锞€y=Ax上任意一點(diǎn)的曲率半徑<
48、;/p><p> §2.5幾種速度的特殊求法</p><p> 2.5.1、相關(guān)的速度</p><p> 當(dāng)繩端在做既不沿繩方向,又不垂直于繩方向的運(yùn)動(dòng)時(shí),一般要將繩端的運(yùn)動(dòng)分解為沿繩方向和垂直于繩方向二個(gè)分運(yùn)動(dòng)。</p><p> 如圖2-5-1所示的情況,繩AB拉著物體m在水平面上運(yùn)動(dòng),A端以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),問m做什么運(yùn)
49、動(dòng)?有的同學(xué)會(huì)將繩的速度v分解成豎直</p><p> 分速度vsina和水平分速度vcosa,以為木塊的速度(u<v).這是錯(cuò)誤的。因?yàn)閷?shí)際上木塊并沒有一個(gè)向上的分速度。應(yīng)該將繩端B實(shí)際上的水平速度分解成沿繩方向的分速v∥=和垂直于繩的分速v⊥=,v∥使繩子縮短,所以v∥=v,v⊥使繩子圍繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)。因此,而且隨著a的增大而越來越大。</p><p> 如圖2-5-2所示,桿A
50、B沿滑下,A、B二端的速度和也是二個(gè)相關(guān)的速度。將分解成沿桿方向的分速和垂直于桿的分速。由于桿的長度不會(huì)發(fā)生變化,所以,即,即</p><p> 2.5.2、兩桿交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)兩桿的交點(diǎn)同時(shí)參與了二桿的運(yùn)動(dòng),而且相對每一根桿還有自己的運(yùn)動(dòng),因而是一種比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。圖2-5-3(a)中的AC、BD兩桿均以角速度繞A、B兩固定軸在同一豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖示。當(dāng)t=0時(shí),60º,試求t時(shí)刻兩棒交點(diǎn)M
51、點(diǎn)的速度和加速度。t=0時(shí),△ABM為等邊三角形,因此AM=BM=,它的外接圓半徑,圖2-5-3(b)。二桿旋轉(zhuǎn)過程中,角增大的角度一直等于角減小的角度,所以M角的大小始終不變(等于60º),因此M點(diǎn)既不能偏向圓內(nèi)也不能偏向圓外,只能沿著圓周移動(dòng),因?yàn)椤虾汀鲜菍χ欢螆A?。ǎ┑膱A心角和圓周角,所以∠=2∠,即M以2的角速度繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),任意時(shí)刻t的速度大小恒為 </p><p> 向心加
52、速度的大小恒為</p><p> 再看圖2-5-4(a),一平面內(nèi)有二根細(xì)桿和,各自以垂直于自己的速度和在該平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),試求交點(diǎn)相對于紙平面的速率及交點(diǎn)相對于每根桿的速率。</p><p> 參考圖2-5-4(b),經(jīng)過時(shí)間之后,移動(dòng)到了的位置,移動(dòng)到了的位置,和的原位置交于點(diǎn),和交于點(diǎn)。</p><p><b> =</b></p
53、><p><b> 在中:</b></p><p> 因?yàn)榻呛徒腔パa(bǔ),所以</p><p> 因此兩桿交點(diǎn)相對于紙平面的速度</p><p> 不難看出,經(jīng)過時(shí)間后,原交點(diǎn)在上的位置移動(dòng)到了A位置,因此交點(diǎn)相對的位移就是,交點(diǎn)相對的速度就是:</p><p><b> =</
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