特殊質(zhì)量的射影性質(zhì)【畢業(yè)設(shè)計(jì)】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　特殊質(zhì)量的射影性質(zhì)</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</

3、b></p><p>　　摘要：本文主要研究特殊質(zhì)量的射影性質(zhì)，研究Douglas型的Finsler度量的性質(zhì)與等價(jià)方程的含義，介紹了測地線的主要性質(zhì)，并且給出了它的某些應(yīng)用，主要討論了特殊形式F=A^(1/4)+B的Douglas型的Finsler度量，得到關(guān)于此種特殊形式度量作為c的等價(jià)方程。</p><p>　　關(guān)鍵詞：Finsler度量；Douglas度量； 測地線。<

4、/p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　ABSTRACT：This paper mainly studies the special quality of projective properties, studies Finsler metrics type Douglas metrics’s the meaning of nature a

5、nd equivalent equation. consider the properties of geodesic curves and give some applications of geodesic curves. Mainly discusses special form F=A^(1/4)+B Douglas type of Finsler metrics, get about this special form mea

6、surement as the equivalent equation of Douglas metrics.</p><p>　　KEYWORDS：Finsler metrics ; Douglas metric ; Geodesics.</p><p><b>　　、</b></p><p><b>　　目　錄</b>

7、</p><p><b>　　第一章、引言1</b></p><p>　　1.1、finsler幾何的背景和意義；1</p><p>　　1.2 Finsler幾何的發(fā)展和現(xiàn)狀2</p><p>　　第二章、Finsler幾何的相關(guān)知識(shí)4</p><p>　　2.1、Finsler度量的定

8、義及一些重要幾何量；4</p><p>　　2.2、測地線的介紹；5</p><p>　　2.2.1、測地線5</p><p>　　2.2.2、測地曲率5</p><p>　　2.2.3、　測地線的應(yīng)用6</p><p>　　2.3、Finsler度量中的相關(guān)結(jié)果；7</p><p>

9、;　　第三章、 特殊形式的Douglas型的Finsler度量10</p><p>　　3.1、介紹本文中使用的一些記號；10</p><p>　　3.2、特殊形式F=A^(1/4)，B=0的Douglas型的Finsler度量11</p><p>　　3.3、特殊形式F=A^(1/4)+B的Douglas型的Finsler度量12</p>&

10、lt;p><b>　　參考文獻(xiàn)17</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　附錄18</b></p><p><b>　　第一章、引言</b></p><p>　　1.1、Finsler幾何的背景和意義；</p>

11、<p>　　什么是Finsler幾何？所謂Finsler幾何就是沒有二次型限制的黎曼幾何, 它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一門比較重要學(xué)科。早在1854年B.Riemann在著名就職演說時(shí)就提出了后來所謂的Finsler幾何的概念。</p><p>　　Finsler幾何研究已經(jīng)經(jīng)歷了一個(gè)多世紀(jì)，而現(xiàn)在它又有了新的發(fā)展。所以它是一門既古老又新興的學(xué)科，自八十年代起，在Finsler幾何中發(fā)展起來的幾何方法對生物學(xué)，

12、物理學(xué)以及心理學(xué)等領(lǐng)域的一些問題的研究起到了很大的作用，展現(xiàn)了Finsler幾何的獨(dú)特魅力。</p><p>　　在物理學(xué)中，愛因斯坦為了創(chuàng)立他的相對論跳出了經(jīng)典的歐氏幾何，而用黎曼幾何取而代之。最近，一批物理學(xué)家通過研究時(shí)空問題發(fā)現(xiàn)一類由m次根號特殊表達(dá)的Finsler度量可以被看作是時(shí)空的一個(gè)合適的模型。此外，Cartan聯(lián)絡(luò)與Berwald聯(lián)絡(luò)及其相應(yīng)的各類曲率張量對后來的Finsler幾何研究產(chǎn)生了重要影

13、響，并促進(jìn)了Finsler幾何在物理學(xué)、生物（態(tài)）學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用研究。</p><p>　　在導(dǎo)航問題中，如果一個(gè)物體在黎曼空間中運(yùn)動(dòng)的同時(shí)又受到外力的作用，那么它的最短路徑就是某種Finsler度量的測地線。</p><p>　　Douglas曲率是Finsler幾何中一類非常重要的非黎曼曲率，F(xiàn)insler幾何學(xué)家長期以來一直對Douglas曲率性質(zhì)的研究很關(guān)注。Douglas曲率恒

14、為零的Finsler度量稱為Douglas度量。Douglas度量構(gòu)成的集合包含了所有的Berwald度量，也包含了射影平坦Finsler度量。所以對Douglas度量的研究是很重要的。</p><p>　　如：設(shè)是M上的一個(gè)散射.對于任何向量， Berwald曲率是一個(gè)三線形式的定義為</p><p>　　這意味著Brwald曲率是一種雙線性形式的定義為</p><

15、p>　　基于Berwald曲率，J.Douglas[Dgl] 引進(jìn)了一種新的數(shù)量這是一個(gè)三線形式定義為</p><p>　　我們稱為你Douglas曲率。</p><p>　　1.2 Finsler幾何的發(fā)展和現(xiàn)狀</p><p>　　在Finsler幾何的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家們一直關(guān)注和研究具有特殊性質(zhì)的特殊Finsler度量這一重要的問題。Ludwig Be

16、rwald可以說是對Finsler幾何真正作出重要貢獻(xiàn)的第一位數(shù)學(xué)家，他是第一個(gè)在Finsler空間中引入聯(lián)絡(luò)并將黎曼幾何中的黎曼曲率推廣到Finsler幾何中的數(shù)學(xué)家，開創(chuàng)了Finsler幾何中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。在20世紀(jì)50年代至60年代初，Herbert Busemann，對Finsler空間的體積形式進(jìn)行了研究，為人們研究Finsler空間的體積比較定理、探討Finsler流形的整體性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)；還有一位南非數(shù)學(xué)家Hanno

17、 Rund也對Finsler空間的研究做出了重大的貢獻(xiàn)，他們的研究工作對后來Finsler幾何的發(fā)展產(chǎn)生了深刻影響。沈忠民，華裔數(shù)學(xué)家，國際Finsler幾何領(lǐng)域中的一位重要代表人物。他對Riemann-Finsler幾何的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，提出了在被稱為S曲率的重要不變量，而這個(gè)不變量在現(xiàn)在Finsler幾何研究中扮演了重要角色。</p><p>　　目前人們對Finsler度量整體性質(zhì)的研究仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，對

18、Finsler度量整體性質(zhì)的認(rèn)識(shí)還不夠豐富，由于Finsler幾何中相對復(fù)雜的計(jì)算，被人們所熟知的Finsler幾何中的度量還是很少，學(xué)科的發(fā)展急需更多更有意義的特殊度量來支撐。并且在尋找特殊度量的過程中也促進(jìn)了相關(guān)問題的發(fā)展。比如對具有常旗曲率Finsler度量的研究、射影平坦Finsler度量的研究等等。陳省身先生有一個(gè)觀點(diǎn)就是：“整體黎曼幾何在二十世紀(jì)后半葉得到了巨大的發(fā)展。我相信，在二十一世紀(jì)，微分幾何的主要部分應(yīng)是黎曼-Fin

19、sler幾何?！币虼藢ふ乙恍┯醒芯績r(jià)值的Finsler度量對整個(gè)Finsler幾何的發(fā)展將有一定的推動(dòng)作用。本畢業(yè)設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容將是研究特殊形式F=A^(1/4)+B的Douglas型的Finsler度量。</p><p>　　定理、設(shè)是一個(gè)Finsler度量，且、。那么F是一個(gè)Douglas度量,當(dāng)且僅當(dāng) 是Douglas度量，B為閉形式。</p><p>　　第二章、Finsler幾何

20、的相關(guān)知識(shí)</p><p>　　2.1、Finsler度量的定義及一些重要幾何量；</p><p>　?。?）、設(shè)是個(gè)變量的光滑函數(shù)，其中記。若F滿足下列條件：</p><p><b>　?。?）、；</b></p><p>　?。?）、僅當(dāng)y=0時(shí)，；</p><p><b>　　(3

21、)、,</b></p><p>　　則稱F為Finsler函數(shù)。</p><p>　　（2）、令是一個(gè)維實(shí)向量空間. 若上的一個(gè)滿足:</p><p>　　(1)對，有.并且當(dāng)且僅當(dāng)；</p><p>　　(2) 對，有，成立；</p><p>　　(3) 在上是的，使得對，上如下定義的雙線性函數(shù)成為內(nèi)積：

22、</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這時(shí)稱為一個(gè)Minkowski空間.令為的一個(gè)基，，.</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　.</b&

23、gt;</p><p>　　那么，函數(shù)稱為Minkowski范數(shù).</p><p>　　（3）、設(shè)是一個(gè)維流形，上的函數(shù)稱為Finsler度量，如果滿足：</p><p><b>　　(1) 在上是的；</b></p><p>　　(2)對，是上的 Minkowski范數(shù).</p><p>　　則

24、稱為Finsler空間.</p><p>　　對，，在上誘導(dǎo)了如下的一個(gè)內(nèi)積：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　這里表示的坐標(biāo)，表示的局部坐標(biāo).</p><p>　　2.2、測地線的介紹；</p><p>　　測地線是幾何模型外形分析的重要內(nèi)容之一。</p>

25、<p><b>　　2.2.1、測地線</b></p><p>　　曲面上的一條曲線,如果它的每一點(diǎn)處的測地曲率為零,則稱該曲線為測地線。 測地線的微分方程是:</p><p>　　2.2.2、測地曲率</p><p>　　給定一個(gè)曲面。 考慮曲面S上的一條曲線,其中s 是(C) 的自然參數(shù)。設(shè)P 是曲線(C) 上一點(diǎn),是(C)

26、在P 點(diǎn)的單位切向量，β是單位主法向量，γ是單位副法向量。再設(shè) n 是曲面S 在P 點(diǎn)的單位法向量，θ是β與n 的夾角。 那么曲線(C) 在P 點(diǎn)的曲率向量上的投影為曲線(C) 在P 點(diǎn)的測地曲率，若用表示則</p><p>　　測地曲率的幾何意義是：曲面S上的曲線(C)，它在P點(diǎn)的測地曲率的絕對值等于(C) 在P 點(diǎn)的切平面上的正投影曲線的絕對曲率。</p><p>　　由此推出測地線的

27、性質(zhì)：</p><p>　　(1)測地線在每一點(diǎn)P的測地曲率的絕對值都不大于它在P點(diǎn)相切的任何曲線在P點(diǎn)的測地曲率的絕對值。這個(gè)性質(zhì)意味著測地線類似于平面的直線。</p><p>　　(2)如果把曲面曲線的可展曲面(即沿曲線所作曲面的切平面族的包絡(luò))變形成平面時(shí)，只有測地線所對應(yīng)的曲線是直線。</p><p>　　(3)曲面上非直線的曲線是測地線的充分必要條件是除了

28、曲率為零的點(diǎn)以外,曲線的主法線重合于曲面的法線。</p><p>　　(4)過曲面上任一點(diǎn)，給定一個(gè)曲面的切方向，則存在唯一一條測地線切于此方向。</p><p>　　(5)測地線短程性。若給出曲面上充分小鄰域內(nèi)的兩點(diǎn)P和Q，則過P，Q兩點(diǎn)在小鄰域內(nèi)的測地線段是連接兩點(diǎn)P，Q的曲面上的曲線中弧長最短的曲線。即在適當(dāng)?shù)男》秶鷥?nèi)連接任意兩點(diǎn)的測地線是最短線，所以測地線又稱為短程線。</p

29、><p>　　2.2.3、　測地線的應(yīng)用</p><p>　　測地線不僅是數(shù)學(xué)內(nèi)部，如在雙曲幾何和黎曼幾何研究中是必不可少的最基本概念之一，而且也在物理學(xué)、工程技術(shù)學(xué)和大地測量學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　圓柱面上的測地線：將圓柱面剪開鋪平，給出了圓柱面到平面的一個(gè)等距變換，平面的測地線是直線。因此圓柱面上的測地線就是：將平面卷成圓柱面時(shí)，由平面直線變過

30、來的曲線，容易發(fā)現(xiàn)它們是直線(圓柱面的子母線)，平行圓或圓柱螺線。自然界的攀緣植物，沿螺線生長，就是測地線的一個(gè)有趣例子。</p><p>　　球面上的測地線：由于大圓的主法線就是球面的法線，由此推出大圓或其一部分就是球面上的測地線。在球面上。連接兩點(diǎn)的大圓弧(測地線)有兩條，這兩條大圓弧一長一短，短的是最短線，也就是短程線。實(shí)際上，飛機(jī)、輪船都是盡可能以短程線(即為測地線)為航線航行的。</p>

31、<p>　　物理學(xué)中的測地線：假設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在曲面上自由運(yùn)動(dòng)，如無外力作用，則質(zhì)點(diǎn)在曲面上的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條測地線。再如，一條無重量的彈性細(xì)線在一個(gè)光滑曲面上自由移動(dòng)，當(dāng)這條細(xì)線受曲面上兩點(diǎn)間的某張力作用處于平衡狀態(tài)時(shí)，則它取測地線的形狀。</p><p>　　測地線在工程技術(shù)中的應(yīng)用：測地線在工程技術(shù)中的應(yīng)用，就是復(fù)雜曲面的外板展開。這種板金技術(shù)在飛機(jī)機(jī)身、汽車外殼、輪船船體、渦輪葉片、薄殼屋頂、機(jī)耕里面

32、等外形設(shè)計(jì)和制造中有著實(shí)際的應(yīng)用。</p><p>　　在汽車廠，汽車外殼曲面是由許多塊彎曲的鋼板焊接起來的，而且彎曲的鋼板由平板輥軋而成。輥軋之前，先把平板切割成曲邊四邊形。人們要設(shè)計(jì)每塊平板的曲邊四邊形，使得它經(jīng)過切割、輥軋后送到組裝臺(tái)上裝配時(shí)，相鄰兩塊鋼板的邊界恰好拼合無縫，這項(xiàng)工作稱為外板展開。</p><p>　　在汽車外殼曲面上，高斯曲率K = 0的部分總是可以無誤差地展成平面

33、。對于K = 0的區(qū)域，外板展開的過程就是尋找曲面S 到平面Π的一種等距映射。把工藝方法簡要地翻譯成微分幾何的語言，就是:</p><p>　　(1) 在曲面S 上決定一條測地線段。</p><p>　　(2) 當(dāng)?shù)染嘤成涑善矫嫔系闹本€段與的長度相等。</p><p>　　(3) 在曲面S 上作一族垂直于的曲線段</p><p>　　(4)

34、把等距映射為Π上的曲線時(shí)，和的長度相等，而且垂直于。</p><p>　　(5) 在平面Π 的兩側(cè)分別順次連接的端點(diǎn)得到兩條光滑曲線段。</p><p>　　(6) 曲線段及組成平板的曲邊四邊形。</p><p>　　此外，測地線在大地測量學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它可以有效地解決大地測量學(xué)中的有關(guān)問。在大地測量工程中，根據(jù)測地線，定義了“球面三角形”(即測地三角形，由球

35、面上三個(gè)大圓所圍成的三角形)，從而得出結(jié)論：球面三角形的三內(nèi)角之和大于π。</p><p>　　2.3、Finsler度量中的相關(guān)結(jié)果；</p><p>　　Douglas度量： Douglas曲率是Finsler幾何中一類非常重要的非黎曼曲率， Douglas曲率恒為零的Finsler度量稱為Douglas度量。Douglas度量構(gòu)成的集合包含了所有的Berwald度量，也包含了射影平坦

36、Finsler度量。所以對Douglas度量的研究是很重要的。</p><p>　　Berwald度量：測地系數(shù)可表示成y的二次多項(xiàng)式。</p><p>　　在Finsler幾何中，比最為特殊的一類Riemann度量更一般一些且具有特殊性質(zhì)的度量是Berwald度量，Berwald度量在Finsler幾何中有重要的研究意義，是由德國數(shù)學(xué)家Berwald引入，并作了一定的研究，特別對Rand

37、ers度量是Berewald度量的情況給出了特征并得到如下定理。</p><p>　　定理2.3.1、Randers度量為Berwald度量，則關(guān)于是平行的。</p><p>　　以上定理說明對于Randers度量來說，其在Berwald度量的情形下是平凡的。那么對于一般的Finsler度量來說，Berwald度量具有何種性質(zhì)對Finsler幾何的研究有重要作用。近年來，許多數(shù)學(xué)家關(guān)注的一

38、類可計(jì)算的度量是（）-度量。由于它的可計(jì)算性，使得原本很困難的問題在這一類的量上有一定的解決。比如，對射影平坦（）度量的研究、Douglas型（）度量的研究，等等。</p><p>　　此處研究這樣的度量，它是一類特殊的（）度量。對于這類度量在維數(shù)是2的時(shí)候進(jìn)行了研究，并得到其作為Berwald度量的情況下的充要條件。</p><p>　　我們得到以下的定理：</p><

39、;p>　　定理 2.3.2、 設(shè)為在二維曲面上的Finsler度量，其中是歐氏度量，是上的1-形式, 。則是Berwald度量的等價(jià)條件為</p><p><b>　?。?）、為常數(shù)；</b></p><p>　?。?），即是閉的形式</p><p>　　定義2.3.1、 -度量的定義為</p><p><b

40、>　　，</b></p><p>　　其中是一個(gè)Riemann度量，是一個(gè)1-形式（在本文中只在二維下研究）。是上的正函數(shù)，并且滿足</p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　其中。這保證了度量的正則性和正定性，并且是Finsler度量當(dāng)且僅當(dāng)對任意有。特別，當(dāng)取時(shí)，這樣的-度量就是黎曼度量。</p

41、><p>　　當(dāng)時(shí)，，它就是Randers度量，它由物理學(xué)家G. Randers在1941年首先研究，并且后來被應(yīng)用于電子顯微鏡的研究以及導(dǎo)航問題等等。雖然對于-度量的一些計(jì)算仍然比較繁復(fù)，但與其他的Finsler度量相比，它至少是可以計(jì)算的。</p><p>　　定義2.3.2、 設(shè)為維微分流形，是它的切從，若函數(shù)滿足以下條件，則稱它為上的一個(gè)Finsler度量：</p>&l

42、t;p><b>　　（1）在上是函數(shù)；</b></p><p><b>　?。?） ，；</b></p><p><b>　?。?），；</b></p><p>　?。?）基本張量，正定.</p><p>　　我們約定，表示，以此類推.</p><p&

43、gt;　　第三章、 特殊形式的Douglas型的Finsler度量</p><p>　　Finsler幾何中一個(gè)很重要的問題是學(xué)習(xí)Finsler度量的射影性質(zhì)，對于Finsler度量中的一個(gè)流行M，測地線F的局部特征由以下的常微分方程證明。</p><p><b>　　在系數(shù)時(shí)給出</b></p><p><b>　?。?）</

44、b></p><p>　　系數(shù)在每一點(diǎn)x上都有二次。這是學(xué)習(xí)Finsler度量是用類似的測地線的固有性質(zhì)。如果在每一點(diǎn)x上一個(gè)Finsler度量F被說成是局部仿射等價(jià)于一個(gè)黎曼度量g，附近有一個(gè)局部坐標(biāo)的測地線的F符合克參數(shù)化曲線。假若這樣，g和回歸系數(shù)F相同。Finsler度量帶有這種屬性稱為Berwald度量。如果在每一點(diǎn)x上，一個(gè)Finsler度量被說成是局部投影地等價(jià)于一個(gè)黎曼度量g，附近有一個(gè)局部

45、坐標(biāo)的測地線F符合g作為點(diǎn)集。在這種情況下，系數(shù)在下文中形成</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（3）</b></p><p>　　帶有這種屬性的Finsler度量稱為Douglas度量。</p><p>　　3.1、介紹本文中使用的一些記號；</p>

46、;<p><b>　　；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　當(dāng) </b></p><p><b>　　令 那么</b></p><p><b>　　成立。</b></

47、p><p>　　在本文中的普通偏導(dǎo)數(shù)</p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　；</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，是Riemannian度量；</p><p><b>　??；</b></p><p>&l

48、t;b>　?。?lt;/b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　；</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b&g

49、t;　??；</b></p><p>　　3.2、特殊形式F=A^(1/4)，B=0的Douglas型的Finsler度量 </p><p>　　定理3.2.1：出自參考文獻(xiàn)[1].</p><p>　　F=A^(1/4)是一個(gè)Finsler度量，。假設(shè)A不可約，那么F是Douglas度量當(dāng)且僅當(dāng)F是一個(gè)Berwald度量。</p><

50、p>　　證明定理3.2.1：</p><p>　　Douglas度量具有特征（2），有式（2）我們不難得出Douglas度量也滿足下列方程</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中。那么（4）等價(jià)于</p><p><b>　?。?）</b></p>

51、<p>　　假設(shè)F=A^(1/4)是一個(gè)Douglas度量，那來證明F是Berwald度量，它充分證明了是一個(gè)局部1-形式。</p><p>　　設(shè)：； ； </p><p>　?。?； ；</p><p><b>　　通過計(jì)算直接可得</b></p><p><b>　

52、　那么 </b></p><p><b>　　用化簡（2）式得</b></p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　由（5）式我們可以得到</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　由于A不可約，度（

53、）=3，那么由（7）式，可以得出唯一的結(jié)論是是1-形式那么</p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　將（8）式代入（6）式得</p><p>　　則，我們看到中的y是二次的?？傻肍是Berwald度量。</p><p>　　3.3、特殊形式F=A^(1/4)+B的Douglas型的Finsler度

54、量</p><p>　　定理3.3.1、設(shè)是一個(gè)Finsler度量，且、。那么F是一個(gè)Douglas度量,則當(dāng)且僅當(dāng) 是Douglas度量，B為閉形式。</p><p>　　證明定理3.3.1、 </p><p>　　Douglas度量具有特征（2），有式（2）我們不難得出Douglas度量也滿足下列方程</p><p>　　因?yàn)?，則將它們

55、代入上式當(dāng)中</p><p>　　得到 </p><p><b>　　又 </b></p><p>　　則 </p><p><b>　　已知 </b></p&

56、gt;<p><b>　　則可算得 </b></p><p><b>　　那么 </b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　則 易的</b></p><p><b>　　用化簡（2）式得<

57、;/b></p><p><b>　　又因?yàn)?</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　由（5）式我們可以得到</p><p><b>　　化簡得</b></p><p><b>　　則</b>&

58、lt;/p><p><b>　?。?0）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　然后（10）式相當(dāng)于下列方程</p><p><b>　?。?1）</b></p><p><b>　?。?2）</b>&l

59、t;/p><p><b>　?。?3）</b></p><p>　　A不可約，由（13）式可得B能整除，所以得出B能整除</p><p><b>　　那么 用 縮并得</b></p><p><b>　　那么存在一個(gè)， </b></p><p><b&

60、gt;　　因?yàn)?</b></p><p>　　則 ，可知，B為閉形式。</p><p>　　又因?yàn)?A^(1/4)是Douglas度量，B為閉形式,則A^(1/4)+B也是Douglas度量。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] B. Li_and Z. Shen ,

61、 On Douglas Fourth Root Metrics，Canadian Math. Bull. 2011, preprint.</p><p>　　[2], MatsumotoM. On Finsler Spaces of Doug las Ty pe. A Genera lization of the Notion of Berwald Space[J].PublMath Debrecen,1997,

62、51:385-406.</p><p>　　[3], MatsumotoM. Reduction Theorems of Certain Landsberg Spaces to Berwald Spaces [J].Publ Math Debrecen，1996，48:357-366.</p><p>　　[4]Cheng X，Shen Z. On Douglas Metrics [J].

63、Publ Math Debrecen,2005,66:503-512.</p><p>　　[5] Shen Z.Differ ential Geometry of Spray and Finsler Space [M]. Dor dr echt: Kluwer Academaic Publishers,2001.</p><p>　　[6] Z. Shen, Landsberg curv

64、ature, S-curvature and Riemann curvature, in A Sample of Riemann-Finsler Geometry, MSRI Series, vol.50, Cambridge University Press,2004. [7] S.S.Chern and Z.Shen.Riemann-Finsler Geometry,World Scientific,2005.</p>

65、<p>　　[ 8] Shen Z. On R Quadr atic Finsler Spaces [J] .Publicat ions Mathemat ical Debrecen, 2001, 58: 263- 274.</p><p>　　[ 9] Cher n S S, Shen Z. Riemann Finsler Geometr y [M] . Sing apo re: Wo rld S

66、cientific Publisher s, 2005.</p><p>　　[10] 白正國.沈一兵.黎曼幾何初步.北京：高等教育出版社，2003.[11] 蘇步青.微分幾何學(xué).北京：高等教育出版社，1988.</p><p>　　[12] 方德植.陳奕培.射影幾何.北京：高等教育出版社，1983.1.</p><p>　　[13] 徐森林.薛春華胡自勝.金亞東

67、.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009.6.</p><p>　　[14] 沈一兵.整體微分幾何初步.北京：高等教育出版社，2009.7.</p><p>　　[15] 卡爾莫.曲線和曲面的微分幾何學(xué).上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社,1988.</p><p>　　[16]李梁,崔寧偉,王佳,一類射影平坦具有常曲率的()- 度量[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2

68、006,31(6):28-32.</p><p>　　[17]堯克剛,程新躍,薛善增.關(guān)于推廣的Douglas-Weyl變量[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,31(2):40-42.</p><p><b>　　附錄</b></p><p>　　> restart;</p><p>　　> F:=

69、A(x,y)^(1/4)+B(x,y);</p><p>　　> L:=1/2*F^2;</p><p>　　> L_y:=diff(L,y);</p><p>　　> L_i:=subs([diff(A(x,y),y)=A_i(x,y),diff(B(x,y),y)=B_i(x,y)],L_y);</p><p>　　&g

70、t; L_iy:=diff(L_i,y);</p><p>　　> g_ij:=subs([diff(A(x,y),y)=A_j(x,y),diff(B(x,y),y)=B_j(x,y),diff(A_i(x,y),y)=A_ij(x,y),diff(B_i(x,y),y)=0],L_iy);</p><p>　　> y_i:=L_i;</p><p>

71、<b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p>　　> F2_x:=diff(F^2,x);</p&

72、gt;<p>　　> F2_xm:=subs([diff(A(x,y),x)=A_xm(x,y),diff(B(x,y),x)=B_xm(x,y)],F2_x);</p><p>　　> F2_xmy:=diff(F2_xm,y);</p><p>　　> F2_xm_yi:=subs([diff(A(x,y),y)=A_i(x,y),diff(B(x,y)

73、,y)=B_i(x,y),diff(A_xm(x,y),y)=A_xmi(x,y),diff(B_xm(x,y),y)=B_xmi(x,y)],F2_xmy);</p><p>　　> F2_xm_yi_ym:=subs([A_xm(x,y)=A_o(x,y),B_xm(x,y)=B_o(x,y),A_xmi(x,y)=A_oi(x,y),B_xmi(x,y)=B_oi(x,y)],F2_xm_yi);&l

74、t;/p><p>　　> F2_xi:=subs([diff(A(x,y),x)=A_xi(x,y),diff(B(x,y),x)=B_xi(x,y)],F2_x);</p><p>　　> G_i1:=expand(1/4*(F2_xm_yi_ym-F2_xi));</p><p>　　> G_i:=collect(G_i1,[A(x,y),B(x,

75、y)],distributed);</p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><

76、;p>　　> G_i_yi1:=expand(G_i*yi);</p><p>　　> G_i_yi:=subs([B_i(x,y)=B(x,y),B_oi(x,y)=B_o(x,y),B_xi(x,y)=B_o(x,y),A_i(x,y)=4*A(x,y),A_oi(x,y)=4*A_o(x,y),A_xi(x,y)=A_o(x,y),yi=1],G_i_yi1);</p>&l

77、t;p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b>

78、;</p><p>　　> y_j:=subs([A_i(x,y)=A_j(x,y),B_i(x,y)=B_j(x,y)],y_i);</p><p>　　> G_j:=subs([B_oi(x,y)=B_oj(x,y),B_i(x,y)=B_j(x,y),B_xi(x,y)=B_xj(x,y),A_i(x,y)=A_j(x,y),A_xi(x,y)=A_xj(x,y),A_o

79、i(x,y)=A_oj(x,y)],G_i);</p><p>　　> g_im:=subs([A_j(x,y)=A_m(x,y),A_ij(x,y)=A_im(x,y),B_j(x,y)=B_m(x,y),B_ij(x,y)=0],g_ij);</p><p>　　> g_jm:=subs([A_i(x,y)=A_m(x,y),A_ij(x,y)=A_jm(x,y),B_ij

80、(x,y)=0,B_i(x,y)=B_m(x,y)],g_ij);</p><p>　　> T_1:=expand(G_i*y_j-G_j*y_i-g_im*Gm*y_j+g_jm*Gm*y_i);</p><p>　　> T_11:=collect(subs([A(x,y)=A,A_i(x,y)=A_i,A_j(x,y)=4*A,A_o(x,y)=A_o,A_oi(x,y)=

81、A_oi,A_oj(x,y)=4*A_o,A_m(x,y)=A_m,A_im(x,y)=A_im,A_jm(x,y)=3*A_m,A_xi(x,y)=A_xi,A_xj(x,y)=A_o,B(x,y)=B,B_i(x,y)=B_i,B_j(x,y)=B,B_o(x,y)=B_o,B_oi(x,y)=B_oi,B_oj(x,y)=B_o,B_m(x,y)=B_m,B_im(x,y)=B_im,B_jm(x,y)=0,B_xi(x,y)=B

82、_xi,B_xj(x,y)=B_o],T_1),[B,A]);</p><p>　　> collect(expand(32*T_11*A^(7/4)),[A,B,A_i]);</p><p>　　> collect(expand(32*T_11*A^(7/4)),[B,A,A_i]);</p><p><b>　　> </b>

83、</p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p><b>　　> </b></p><p>　　> P_1:=collect(expand((G_i_yi-G_m*y_i)/F^2),[A(x,y)],