畢業(yè)論文帶有隔離的傳染病模型的全局分析

1、<p>　　天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)</p><p>　　Tianjin University of Technology and Education</p><p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　班級學(xué)號： 0901 –

2、 33 </p><p>　　學(xué)生姓名： </p><p>　　指導(dǎo)教師： 副教授 </p><p><b>　　二〇一三年六月</b></p><p>　　天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文</p><p>　　帶有隔離的傳染病模型

3、的全局分析</p><p>　　Global Analysis of Epidemic Model with Quarantine</p><p>　　專業(yè)班級：數(shù)學(xué)0901</p><p>　　學(xué)生姓名： </p><p>　　指導(dǎo)教師： 副教授</p><p>　　學(xué) 院：理學(xué)院</

4、p><p><b>　　2013年6月</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　國際上傳染病動力學(xué)的研究進展迅速，大量的數(shù)學(xué)模型被用于研究各種各樣的傳染病模型，由于隔離和接種是行之有效的控制傳染病蔓延的極為重要的措施，因此研究帶有隔離或接種的傳染病模型就十分重要。本文主要討論的是帶有隔離的

5、SIQS傳染病模型。首先根據(jù)易感人群，染病人群和已經(jīng)染病并且被隔離的人群建立一個關(guān)于帶隔離傳染病的SIQS模型。接著對所建立的模型中的偏微分方程組轉(zhuǎn)化成方差方程組，然后求出該系統(tǒng)的平衡點，根據(jù)平衡點得到雅可比矩陣。再根據(jù)得到的雅可比矩陣依據(jù)定理和推論說明平衡點的穩(wěn)定性。</p><p>　　關(guān)鍵詞：SIQS模型；差分方程；平衡點</p><p><b>　　ABSTRACT<

6、;/b></p><p>　　First create a band isolated on infectious diseases SIQS model. Then on the established model of partial differential equations into variance equations, then find the balance point of the sy

7、stem, according to the balance point to get the Jacobian matrix. According to Jacobian matrix based on theorems and corollaries illustrate the stability of the equilibrium point.</p><p>　　Key Words：SIQS mode

8、l; Differential equation; Equilibrium point</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引 言1</b></p><p><b>　　2 穩(wěn)定性理論3</b></p><p>　　2.1矩陣

9、的范數(shù)3</p><p>　　2.2全局的穩(wěn)定性4</p><p>　　2.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性9</p><p>　　2.3.1非自治線性系統(tǒng)9</p><p>　　2.3.2自治線性系統(tǒng)10</p><p>　　2.4相空間分析12</p><p>　　2.5線性漸近穩(wěn)定13&l

10、t;/p><p><b>　　3 建立模型18</b></p><p><b>　　4 模型求解20</b></p><p>　　4.1求平衡點20</p><p>　　4.2平衡點的穩(wěn)定性21</p><p><b>　　結(jié) 論23</b>&l

11、t;/p><p><b>　　參考文獻24</b></p><p><b>　　致 謝25</b></p><p><b>　　1 引 言</b></p><p>　　在世界迅速的全球化的今天，傳染病仍是當(dāng)今世界范圍內(nèi)引起人類死亡的主要原因，而新傳染?。仔虷1N1流感

12、，AIDS病，SARS）的出現(xiàn)、舊傳染?。ㄐ圆?、結(jié)核）的復(fù)蘇，均構(gòu)成了對人類健康的巨大威脅。因此，傳染病的防制是關(guān)系到人類健康和國計民生的重大問題，對疾病流行規(guī)律的定量研究是防制工作的重要依據(jù)。傳染病動力學(xué)就是根據(jù)疾病發(fā)生，發(fā)展及環(huán)境的變化等情況，建立反映其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，通過模型動力學(xué)性態(tài)的研究來顯示疾病的發(fā)展過程，預(yù)測其流行規(guī)律和發(fā)展的趨勢，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素，尋求對其進行預(yù)防和控制的最優(yōu)策略，為人們防制決策提供理論基

13、礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù)。傳染病動力學(xué)的研究中，模型的建立一直是直觀重要的。早在1760年，D.Bernoulli就用數(shù)學(xué)模型研究過天花的傳播，但確定性的傳染病模型始于二十世紀。1906年Hamer為理解麻疹的反復(fù)流行，構(gòu)造并分析了一個離散模型。1911年公共衛(wèi)生醫(yī)生Ross博士利用微分方程模型對瘧疾在蚊子與人群之間傳播的動態(tài)行為進行了研究，得到了瘧疾流行與否的臨界值，Ross因此而獲得第二次諾貝爾醫(yī)學(xué)獎。1926年Kermack和McKendri

14、ck為研究1665</p><p>　　生態(tài)系統(tǒng)是在一定空間范圍內(nèi)，各生物成分和非生物成分通過能量流動、物質(zhì)循環(huán)、信息傳遞和價值流向而相互作用、相互依存所形成的一個生態(tài)學(xué)單位。任何一個生態(tài)系統(tǒng)都是結(jié)構(gòu)和功能相互依存，相互制約的統(tǒng)一體。結(jié)構(gòu)和功能相互適應(yīng)、完善，使生態(tài)系統(tǒng)在一定時間內(nèi)各組分通過制約、轉(zhuǎn)化、補償、反饋等機制處于協(xié)調(diào)穩(wěn)定狀態(tài)。在其彈性限度以內(nèi)的外來干擾下，生態(tài)系統(tǒng)通過自我調(diào)節(jié)，可以恢復(fù)到初始的穩(wěn)定狀態(tài)或

15、者保持一定的穩(wěn)態(tài)平衡。</p><p>　　生態(tài)系統(tǒng)具有穩(wěn)定性、可測性和可控性三大屬性，是個多層次、多因子、多變量的系統(tǒng)。對它的管理和研究，也是多方面的，只用常規(guī)的定性描述和一般的數(shù)理統(tǒng)計，搞不清它的內(nèi)在規(guī)律。用系統(tǒng)分析的方法對生態(tài)系統(tǒng)進行全面的分析，建立數(shù)學(xué)模型，找出物質(zhì)生產(chǎn)、能量流轉(zhuǎn)和價值流向的定量規(guī)律，對生態(tài)系統(tǒng)實行管理、預(yù)測和調(diào)控，使其持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展已成為現(xiàn)代生態(tài)學(xué)研究的重要課題和前沿領(lǐng)域之一。</p

16、><p>　　依照分離的時間間隔來模擬世界，這是一種有效的方法就像時鐘一樣，不是連續(xù)滑動，而是一秒一秒往前跳動。微分方程描述了隨時間而平穩(wěn)變化的過程，但微分方程難以計算；對于一種狀態(tài)跳到另一種狀態(tài)的過程可以采用簡單些的方程—差分方程。</p><p>　　假設(shè)在種群中無傳染病存在時，總?cè)旱脑鲩L規(guī)律就是種群總數(shù)與出生率和正常死亡率差的乘積。</p><p>　　在傳染病存

17、在于種群中的時候。設(shè)總種群（N）分為易感類（S）和染病類（I）。若傳染病恢復(fù)后不具有免疫力，即染病者恢復(fù)后又成為易感者。這時相應(yīng)的傳染病模型稱為SIS模型。模型一般適用于由細菌引起的傳染病。當(dāng)引入隔離后，總種群（N）分為由易感個體組成的子種群（S），由已經(jīng)染病但未被隔離的個體組成的子種群（I）和由已經(jīng)染病并且被隔離的個體組成的子總?cè)海≦）。</p><p>　　設(shè)被隔離者恢復(fù)后也不具有免疫力，即恢復(fù)后又成為易感者

18、，這時相應(yīng)的傳染病模型被稱為SIQS模型。 </p><p><b>　　2 穩(wěn)定性理論</b></p><p><b>　　2.1矩陣的范數(shù) </b></p><p>　　我們開始本節(jié)引入的概念，向量和矩陣的范數(shù)。</p><p>　　定義2.1。實值函數(shù)的向量空間V被稱為范數(shù)，用表示，如果下面

19、的性質(zhì)成立：</p><p><b>　　和當(dāng)且僅當(dāng)</b></p><p><b>　　對于所有的和標量</b></p><p><b>　　對于所有的.</b></p><p>　　最常用的三個范數(shù)如圖2-1所示。在這里，我們要注意，所有范數(shù)在這個意義上是等價的，如果，是

20、任何兩個范數(shù)，那么存在常數(shù)，使得 </p><p>　　因此，如果是在中的數(shù)列，然后當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)對應(yīng)每個向量范數(shù)在。一個可以用K×K矩陣A定義這個范數(shù)為</p><p><b>　　它可以容易</b></p><p>　　使用這個定義，可以很容易地計算相對上述三種范數(shù)如表2-1所示。 </p><p>

21、;　　，我們可以推斷，任何范數(shù)</p><p>　　其中譜半徑的特征值A(chǔ)。</p><p><b>　　表2-1</b></p><p><b>　　2.2全局的穩(wěn)定性</b></p><p>　　讓我們考慮向量差分方程</p><p>　　其中。我們假設(shè)有在中是連續(xù)的?；叵?/p>

22、一下，被說成是自主或時間不變的，如果變量n不顯式出現(xiàn)在右邊的方程</p><p>　　。則可以被說成是周期性的，如果所有正整數(shù) N有A點對被稱為在的平衡點，如果對所有時。在大多數(shù)的文獻中被假定為原點O，被稱為零解。這個假設(shè)的理由如下：設(shè)則成為</p><p>　　請注意，的對應(yīng)于。由于在許多情況下，也不是很方便，使這個坐標變換，我們將假設(shè)，除非它是這樣做的更方便?；叵胍幌?，在以前，我們處理

23、的存在性和唯一線性系統(tǒng)解決方案，這個情況下解的存在性和唯一性。，其中是一個矩陣。</p><p>　　我們現(xiàn)在準備推出的各種穩(wěn)定的平衡點的概念。定義2.2平衡點在被說成是：</p><p>　　穩(wěn)定性，如果給定的和，存在，意味著 對所有都是均勻穩(wěn)定的。如果會獨立選擇時，則他不是穩(wěn)定的。</p><p>　　漸近性，如果存在當(dāng)意味著，一致漸近。如果是選擇

24、是獨立的。一致漸近的條件可能會轉(zhuǎn)述成，存在，使得每個和存在獨立，當(dāng)對所有，每當(dāng)。</p><p>　　漸近穩(wěn)定性，如果它是穩(wěn)定和漸近的，且均勻漸近穩(wěn)定，如果是均勻穩(wěn)定和均勻漸近。</p><p>　　指數(shù)穩(wěn)定性，如果存在，和。，當(dāng), </p><p>　　解是有界的，如果一非負的常數(shù)M，為所有，其中M可能取決于每個解。</p><p>　　如

25、果在部分（二），（三）或部分（四）時，相應(yīng)的穩(wěn)定是被認為是全局性的。在圖2-2中，我們壓制（時間）n和只顯示運動的一個解，δ為球內(nèi)的半徑。下圖所示，未來所有狀態(tài)中，時。會留在球內(nèi)。此圖被稱為相空間畫像，并且將在后面的章節(jié)中廣泛使用。</p><p>　　圖2-2 在相空間中的穩(wěn)定平衡</p><p>　　圖4-3 穩(wěn)定平衡</p><p>　　圖2-4 一致漸

26、近穩(wěn)定平衡點</p><p>　　圖2.5 穩(wěn)定性概念層次</p><p>　　在圖2-3中，表示時間是一個三維坐標系統(tǒng)的一部分，并且提供了另一種視角的穩(wěn)定。</p><p>　　圖2-4描述了一致漸近穩(wěn)定的零解。請注意，在上面的定義中，一些穩(wěn)定點意味著一個或多個。</p><p>　　圖2-5顯示了層次結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性的概念。</p>

27、;<p>　　重要說明：在一般情況下，圖4-5中的箭頭不可能逆轉(zhuǎn)。然而，對于特殊類別的方程，這些圖4-5中的箭頭可能逆轉(zhuǎn)。在本節(jié)中，將顯示的線性系統(tǒng)</p><p>　　其中，是一個K×K矩陣Z上定義的一致漸近穩(wěn)定性</p><p>　　意味著指數(shù)的穩(wěn)定性（UAS?ES）。</p><p><b>　　對于自治系統(tǒng)</b>

28、;</p><p><b>　　我們有下面的結(jié)果。</b></p><p>　　定理2.3。對于自治系統(tǒng)，下面的語句是關(guān)于平衡點：</p><p><b>　　證明。</b></p><p>　　設(shè)和對于的兩個解，，。請注意，和在時相交。通過獨特的方案解決。這意味著，在穩(wěn)定的定義中的是相對于初始時間

29、獨立的。這樣就確立了我們的結(jié)果。證明和跟證明的時候類似。</p><p>　　下面的例子是對定義的說明。</p><p>　　該標量方程的解由下式給出的，因此零解是均勻穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定的。</p><p><b>　　標量方程的解是</b></p><p>　　因此，可以得出以下結(jié)論：</p><

30、p>　　零解是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)</p><p>　　其中M是一個取決于的正的常數(shù)。此條件成立的情況下，如果其中。</p><p>　　為了說明這一點，我們寫出的解，當(dāng)。因為，它遵循</p><p>　　由于和，如果我們讓，然后意味著。</p><p>　　零解是一致穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)</p><p>　　其中M是一

31、個相對于獨立的正常數(shù)。如果則條件成立。</p><p>　　零解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)</p><p>　　這種情況清楚地認為，如果。該解是由決定的。因此，零解是一致穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定（全局），但不是一致漸近穩(wěn)定。 </p><p>　　零解是一致漸近穩(wěn)定（從而指數(shù)穩(wěn)定），當(dāng)且僅當(dāng)</p><p>　　對于一些，。如果這可能是成立的。</p

32、><p>　　定理2.7。在實線上有一個連續(xù)映射吸引不穩(wěn)定的固定點。</p><p>　　為了方便定理的證明，我們首先建立一個穩(wěn)定的相對于獨立的結(jié)果，因為不要求可微性。</p><p>　　定理2.8 。一個固定的點的連續(xù)映射是漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)有一個開區(qū)間含例如，的和的。</p><p>　　2.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性</p><

33、p>　　2.3.1非自治線性系統(tǒng)</p><p>　　在這一小節(jié)中，我們調(diào)查的線性非自治的穩(wěn)定性（隨時間變化）系統(tǒng)。</p><p>　　, </p><p>　　我們假設(shè)對于是非退化的。</p><p>　　如果是任何基本矩陣系統(tǒng)或，然后記得作為轉(zhuǎn)變矩陣。在下面的結(jié)

34、果，我們表達了穩(wěn)定矩陣系統(tǒng)的根本條件。</p><p>　　定理2.9?？紤]系統(tǒng)。然后它的解是</p><p>　　穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正的常數(shù)M，使得</p><p>　　當(dāng) </p><p>　　一致穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正的常數(shù)M，使得該</p&

35、gt;<p>　　當(dāng) </p><p>　　漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)</p><p>　　一致漸近穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)存在正常數(shù)和，使得：</p><p>　　當(dāng) </p><p>　　推論2.10。對于

36、線性系統(tǒng)下面的結(jié)論成立：（i）本零解是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)所有的解是有界的。（ii）本零解是指數(shù)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一致漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　推論2.11。對于系統(tǒng)，每一個局部穩(wěn)定的零解意味著相應(yīng)的全局穩(wěn)定。</p><p><b>　　定理2.12 </b></p><p>　　若，，則系統(tǒng)的零解是一致穩(wěn)定的。</p>

37、<p>　　若，對于一些，，那么零解是一致漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　2.3.2自治線性系統(tǒng)</p><p>　　在本小節(jié)中，我們專門對上一節(jié)的自治系統(tǒng)（時間不變）的結(jié)果</p><p>　　在接下來的定理，我們概述線性自治系統(tǒng)的主要穩(wěn)定結(jié)果。</p><p>　　定理2.13。下面的結(jié)論成立：</p>&l

38、t;p>　?。↖）的零解是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)和特征值的單位模量半單。（ii）的零解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)。</p><p>　　在許多應(yīng)用中需要明確的標準矩陣的條目特征值在單位圓內(nèi)。因此，考慮矩陣</p><p>　　其特征方程由下式給出</p><p><b>　　或者</b></p><p><b>

39、　　比較與方程</b></p><p>　　其中，，我們可以從定理中知道條件</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　是和的平衡點或者解是漸近穩(wěn)定的充分必要條件。得出結(jié)論單位圓內(nèi)的特征值當(dāng)且僅當(dāng) </p><p>　　，， </p>

40、<p><b>　　或者，等價</b></p><p>　　它如下所示的條件下中，零解的方程。</p><p><b>　　是漸近穩(wěn)定的。 </b></p><p>　　定理2.14（穩(wěn)定的子空間（集成塊）定理）。如果A是一條雙曲線，則下列說法成立：</p><p>　　如果是的解在中

41、，然后對于每個中，。此外</p><p>　　如果是的解在中，然后對于每個中，。此外</p><p><b>　　2.4相空間分析</b></p><p>　　在本節(jié)中。我們講研究二階線性自治系統(tǒng)（時間不變）的穩(wěn)定性。</p><p><b>　　或者</b></p><p>

42、;<b>　　當(dāng)</b></p><p>　　回想一下。是系統(tǒng)的一個平衡點。如果或者。所以如果是非奇異的。則是這個一系統(tǒng)的唯一平衡點。另一方面，如果是奇異的。則有一系列的平衡點。則如圖2-8。在后者情況下我們把代到得到系統(tǒng)則這是跟是相同的系統(tǒng)。因此任何平衡點穩(wěn)定的性質(zhì)與平衡點 是相同的。此后，我們將假設(shè)是系統(tǒng)的唯一平衡點。</p><p>　　讓是的Jordan標準型

43、。則具有下列的一種形式。</p><p><b>　　不同的實數(shù)特征值。</b></p><p><b>　　相同的特征值。</b></p><p>　　共軛復(fù)數(shù)的特征值。 </p><p><b>　　如果我們讓</b></p><p><b&g

44、t;　　或</b></p><p>　　圖2-8 漸近穩(wěn)定的節(jié)點</p><p><b>　　則系統(tǒng)就變成了</b></p><p>　　如果是系統(tǒng)的初始條件。則系統(tǒng)相應(yīng)的初始條件就是。所以我們就可以注意到系統(tǒng)和系統(tǒng)有相同的穩(wěn)定點性質(zhì)。</p><p><b>　　2.5線性漸近穩(wěn)定</

45、b></p><p><b>　　它的線性分量為；</b></p><p>　　其中是一個的矩陣，對于任意n是屬于，函數(shù)，是一個連續(xù)的函數(shù)。</p><p>　　其中，在平衡點處是連續(xù)可微的，現(xiàn)在我們用線性化方法描述一下系統(tǒng)。我們把寫成的形式則會有:</p><p>　　為了方便起見，被記為,將</p>

46、<p><b>　　代人中則有：</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　果我們令 錯誤!未找到引用源。,那么我們就得到系統(tǒng)這個方程。從假設(shè)我們能得到結(jié)論。這意味著當(dāng) 錯誤!未找到引用源。存在 錯誤!未找到引用源。使得 錯誤!未找到引用源。成立，這里 錯誤!未找到引用源。，任意屬于。</p>

47、;<p>　　我們注意當(dāng) 錯誤!未找到引用源。時，有：</p><p>　　使得系統(tǒng)在特殊情況下是一個自治系統(tǒng)。</p><p><b>　　可寫成</b></p><p>　　定理1.假設(shè) 錯誤!未找到引用源。。如果線性系統(tǒng)的零解是一致漸近穩(wěn)定的，那么非線性系統(tǒng)的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。</p><p>　　

48、證明：給出和由常數(shù)變化得到的</p><p><b>　　可以將</b></p><p><b>　　方程寫成</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　對于給定的 錯誤!未找到引用源。， 錯誤!未找到引用源。有，只要，方程就能變?yōu)?lt;/p>

49、;<p>　　令，然后用Gronwall不等式將方程轉(zhuǎn)化為</p><p><b>　　從而有，</b></p><p>　　令 錯誤!未找到引用源。，則。從而憑借方程，我們可知是成指數(shù)穩(wěn)定的。</p><p>　　推論2.如果 錯誤!未找到引用源。，那么方程的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。</p><p>　　推論

50、3.如果，那么方程的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。</p><p><b>　　定理4.</b></p><p>　　若 錯誤!未找到引用源。，則方程的零解可能是穩(wěn)定的或者是不穩(wěn)定的。</p><p>　　若 錯誤!未找到引用源。且 錯誤!未找到引用源。 錯誤!未找到引用源。，則方程的零解不是穩(wěn)定的。</p><p>　　定理5.

51、（離散Gronwall不等式）令和為兩個實數(shù)序列。 錯誤!未找到引用源。， 錯誤!未找到引用源。如果</p><p>　　那么對于任意 錯誤!未找到引用源。有</p><p><b>　　3 建立模型</b></p><p>　　假設(shè)在種群中無傳染病存在時，總?cè)旱脑鲩L規(guī)律就是種群總數(shù)與出生率和正常死亡率差的乘積。</p><

52、p>　　在傳染病存在于種群中的時候。設(shè)總種群（N）分為易感類（S）和染病類（I）。若傳染病恢復(fù)后不具有免疫力，即染病者恢復(fù)后又成為易感者。這時相應(yīng)的傳染病模型稱為SIS模型。模型一般適用于由細菌引起的傳染病。當(dāng)引入隔離后，總種群（N）分為由易感個體組成的子種群（S），由已經(jīng)染病的個體組成的子種群（I）和由已經(jīng)染病并且被隔離的個體組成的子總?cè)海≦）。</p><p>　　設(shè)被隔離者恢復(fù)后也不具有免疫力，即恢復(fù)

53、后又成為易感者，這時相應(yīng)的傳染病模型被稱為SIQS模型。 </p><p>　　傳染病患者能傳染給易感人群的數(shù)目與此環(huán)境中的未隔離的易感人群所占的比例成正比。其中為疾病的傳播系數(shù)，為出生率，為染病者的恢復(fù)率，為染病率和被隔離的因病死亡率，為隔離者的恢復(fù)率，為對染病者的隔離率。為正常死亡率。以上參數(shù)都是正的。</p><p><b>　　4 模型求解</b></

54、p><p><b>　　4.1求平衡點</b></p><p><b>　　我們建立的模型是</b></p><p>　　首先對已經(jīng)建立的模型把它轉(zhuǎn)化為差分方程。</p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　則可以得到&l

55、t;/b></p><p>　　則模型可以轉(zhuǎn)換為，，在所占比例的差分方程模型。</p><p>　　令模型中表示易感人群在總?cè)巳褐械谋壤?，為已?jīng)感染的人群在總?cè)巳旱谋壤?，為已?jīng)染病并且被隔離的人群在總?cè)巳褐械谋壤?lt;/p><p><b>　　則模型變換為 </b></p><p><b>　　又因為

56、</b></p><p><b>　　則代入</b></p><p><b>　　原模型變換為</b></p><p>　　所以該模型的平衡點是</p><p><b>　　和</b></p><p>　　4.2平衡點的穩(wěn)定性</p&g

57、t;<p>　　則對于的雅可比矩陣是</p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　將代入</b></p><p><b>　　則 </b></p><p>　　根據(jù)定理假設(shè)。如果線性系統(tǒng)的零解是一致漸近穩(wěn)定的，那么非線性系統(tǒng)的零解是成指

58、數(shù)穩(wěn)定的。則我們就可以稱平衡點是漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　則根據(jù)平衡點的雅可比矩陣。</p><p><b>　　則的特征值為</b></p><p><b>　　和</b></p><p>　　因為我們知道參數(shù)都是大于零小于一的。</p><p><b>

59、　　則</b></p><p><b>　　當(dāng)時</b></p><p>　　則根據(jù)定理如果 則方程的零解不是穩(wěn)定的。</p><p><b>　　當(dāng)時</b></p><p>　　則根據(jù)定理如果，系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的。</p><p><b>　　當(dāng)

60、時</b></p><p>　　則系統(tǒng)不確定是否穩(wěn)定。</p><p>　　所以在平衡點是漸近穩(wěn)定的。而平衡點，在時是不穩(wěn)定的，在時是漸近穩(wěn)定的。在時不能確定它是否穩(wěn)定。</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　按照傳染病傳播的一般規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的方法研究這個模型，進而提

61、出有效的預(yù)防傳染病蔓延的手段是當(dāng)今傳染病研究的一個熱點問題具有重要的現(xiàn)實意義。本文主要對一個模型進行了定性分析。</p><p><b>　　模型為</b></p><p>　　通過對這個帶有隔離項的模型研究，本文證明了模型的平衡點的存在性和它的漸近穩(wěn)定性。</p><p>　　當(dāng)然對于傳染病值得研究的內(nèi)容還很多。本文僅僅考慮了一類簡單的傳染病

62、模型。在實際生活中，影響傳染病傳播的因素很多，比如不同形式的傳染率，多個區(qū)域同時傳播等等，因而傳染病模型的研究具有很重要的現(xiàn)實意義，因為傳染病與人類的生存息息相關(guān)，所以傳染病的研究前景和意義都是不可估量的，本人還需要更多的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法和計算機的技巧，以便能夠綜合運用傳染病動力學(xué)知識，更好地來研究更多更復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><

63、;p>　　[1]Hethcote H W. The mathematics of infectious disease [J].SIAM Review.2000;42:599-653</p><p>　　[2]Feng Z,Thieme H R.Recurrent outbreaks of childhood disease revisited.The impact of isolation[J].Math

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71、　[15]Lu Zhonghua , Chi Xuebin , Chen Lansu. The effect of constant and pulse vaccination on SIR epidemic model [J]. Mathematical and Computer Modeling,2000,31:207-215</p><p><b>　　致 謝</b></p

72、><p>　　在本文即將成文之際，我要由衷地感謝在我畢業(yè)論文階段，幫助和支持過我的老師和同學(xué)！</p><p>　　首先衷心地感謝我的導(dǎo)師 副教授！在這十幾周里，呂老師一直對我悉心指導(dǎo)，在學(xué)習(xí)和科研方面給了我大量的輔導(dǎo)，文中的每一步都傾注著呂老師無微不至的關(guān)懷、教導(dǎo)和鼓勵.經(jīng)過這一段時間的學(xué)習(xí)，我不僅學(xué)到了知識，掌握了研究此類問題的方法，也獲得了實踐鍛煉的機會，這為我以后的學(xué)習(xí)生涯提