畢業(yè)論文關(guān)于和與積相等的矩陣對

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　關(guān)于和與積相等的矩陣對</p><p>　　Matrix having equal sum and product</p><p>　　學 院 數(shù)學與信息科學學院 </p><p>　　專 業(yè)

2、 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　年 級 2010級 </p><p>　　姓 名 </p><p>　　指導教師 職稱 講師 </p

3、><p><b>　　2014年5月3日</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><p><b>　　關(guān)鍵詞1</b></p><p>　　Abstract

4、1</p><p>　　Keywords1</p><p><b>　　0 前言2</b></p><p>　　1 引理及相關(guān)定理2</p><p>　　2 滿足的矩陣對的一些性質(zhì)7</p><p>　　3 主要結(jié)論及證明7</p><p><b>　　

5、參考文獻13</b></p><p>　　摘 要：滿足的矩陣對之間有著密切聯(lián)系.本文從矩陣的秩、跡、非奇異性、特征值、對角化等方面，討論了矩陣對的一些性質(zhì)，并給出滿足這種矩陣對條件下的一些特殊矩陣在跡與秩，行列式計算等方面的性質(zhì).</p><p>　　關(guān)鍵詞：特征值；秩；跡；矩陣對；Hermite陣</p><p>　　Abstract：If mat

6、rix pair satisfies the condition , these two matrices have some connections. In this paper, we discusses some properties of the matrix from the rank , trace, invertibility, eigenvalues, diagonalization, and give the nat

7、ure of some special matrix which satisfies this matrix in trace and rank, the determinant calculation and so on .</p><p>　　Keywords：Eigenvalue; Rank; Trace; Matrix pair; Hermite matrix</p><p>&l

8、t;b>　　0 前言</b></p><p>　　矩陣的和與乘積是矩陣的兩種基本運算，它們的特征值、秩、正定性等方面的關(guān)系問題,在理論上和實際應用中都很有意義,例如 矩陣特征值與奇異值估計在矩陣計算、誤差分析中有著重要的應用, 因此對矩陣和與乘積的研究得到了許多學者的關(guān)注.對于兩個階矩陣,的乘積,一般主要研究它們的可交換性. 但事實上, 矩陣對 ,它們的和與積相等. 這對矩陣在矩陣的秩、特征值和

9、特征向量、正定性、非奇異性等方面都有一些很密切的聯(lián)系.通過對此題目的探討不僅可以加深對矩陣的進一步了解同時也將所學知識與實際結(jié)合，更加深刻認識特殊矩陣在實際中的重要應用.文中表示階單位矩陣，為矩陣的秩，表示矩陣的轉(zhuǎn)置，為階Hermite 矩陣，為矩陣的跡，表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，和分別為矩陣和的Kronecker積和Hadamard積.以下用表示集合：，即階矩陣對符合條件.</p><p>　　如矩陣和以及和都是符合

10、條件的矩陣對.</p><p><b>　　1 引理及相關(guān)定理</b></p><p>　　定義 設(shè)且，若，有，則為正定矩陣.</p><p>　　定義 設(shè)，若，則稱為規(guī)范矩陣.</p><p>　　引理 若是正定矩陣，則.</p><p>　　引理2 若，是非奇異矩陣，則是正定矩陣的充要條件

11、是是正定矩陣.</p><p>　　引理 是規(guī)范矩陣，若，則是正定矩陣.</p><p>　　引理4 相似的矩陣有相同的特征值.</p><p>　　引理5 階矩陣，符合條件的充分必要條件是和互為逆矩陣；且若矩陣對符合條件，則及 </p><p><b>　　證明 因為 </b></p><

12、;p><b>　　.即. </b></p><p>　　又和互為逆矩陣，所以，故.</p><p>　　引理6 若矩陣對符合條件，則存在階非奇異矩陣和，使得.</p><p>　　證明 由引理1顯然得證.</p><p>　　引理 （Hoffman—wieland定理）設(shè)，，，均為實對稱陣，它們的特征值分別為：

13、，，，則，，的特征值之間有如下關(guān)系成立：</p><p>　　引理 （Neumann 不等式）</p><p>　　設(shè)，的特征值分別為，，則</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　設(shè)，的奇異值分別為，，則</p><p><b>　?。?）</b>&

14、lt;/p><p>　　引理 設(shè)是交換族，那么存在一個酉陣，使得對每個，是上三角的.</p><p>　　定理1 設(shè)、，是正定對稱矩陣，，則是正定矩陣的充要條件是.</p><p>　　證明 若是正定矩陣，由引理2知，是正定矩陣,由引理1得.反之，若，則由引理4得.</p><p>　　因 </p&

15、gt;<p>　　故 </p><p>　　因此，是規(guī)范矩陣，由引理3知，是正定矩陣.由引理2知是正定矩陣.</p><p>　　定理2 若矩陣對符合條件，則</p><p>　?。?）矩陣和的特征值均不為1；若是的特征值，則對應的特征，和有公共的特征向量系；</p><p>　?。?）可以對角化的充分必

16、要條件是可以對角化，即，可以同時對角化；</p><p>　　（3）若有個不同的特征值，存在一個次數(shù)不超過的多項式使得,</p><p>　　證明 （1）由引理1，，，即1既不是的特征值，也不是的特征值.設(shè)是矩陣的特征向量，對應的特征值是,則，而,故,，，所以也是矩陣的特征向量，對應的特征值為 ；若是矩陣的特征向量，同理可證它也是的特征向量,這說明與有公共的特征向量系.</p>

17、;<p>　　(2) 只證必要性.由相似于對角矩陣,因而存在非奇異矩陣,使,為的特征值,所以令則,, 為的特征向量,由(1) 知, 也是矩陣B的特征向量,設(shè),為的特征值, ,則,于是相似于對角矩陣.</p><p>　　(3) 有個不同的特征值,故可對角化,由(2) 知也可對角化. 令,取多項式,由于互不相同,根據(jù) Lagrange 插值定理可知,存在一個次數(shù)不超過的多項式 ,使得 ,則 ,即有,從

18、而 ,定理1得證.</p><p>　　推論 設(shè),為正定的Hermite 陣，且滿足條件，則存在酉陣，使得和同時為對角陣.</p><p>　　定理3 若,都是數(shù)域上滿足條件的矩陣，若,的特征值都在中，則存在上非奇異矩陣，使得及都是上三角矩陣，即，可同時上三角化.</p><p>　　證明 對矩陣的階數(shù)用數(shù)學歸納法.當時，結(jié)論顯然，假定對階矩陣結(jié)論成立，因

19、為，滿足條件，則，且與有公共的特征量，不妨，，其中，分別為，的特征值，</p><p>　　則存在上的階非奇異矩陣，</p><p><b>　　使得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中向量，，都是階矩陣.顯然，于是根據(jù)歸納假設(shè)，存在上的階非奇異矩陣，使得及同時

20、為上三角矩陣.</p><p><b>　　令，則</b></p><p><b>　　為上三角陣.</b></p><p><b>　　同理</b></p><p>　　也是上三角矩陣，定理2得證.</p><p>　　推論1 設(shè)矩陣對滿足條件，若是

21、Hermite矩陣，則也是Hermite 矩陣，且存在階酉矩陣，使得和為對角矩陣.</p><p>　　證明 因為是階Hermite 矩陣，所以存在階酉矩陣，使得，由定理1中（2）可知，顯然，也是Hermite 矩陣，且可同時對角化，推論1得證.</p><p>　　推論2 設(shè),是滿足條件的正規(guī)矩陣，則，，，都是正規(guī)矩陣，且存在酉矩陣，使得和為對角矩陣.</p><

22、;p>　　推論3 若矩陣對滿足條件，則下列條件等價：</p><p>　　(i) 非奇異，（ii）非奇異，（iii）或非奇異，（iv）非奇異.</p><p>　　推論4 設(shè)，是滿足條件的正定（或半正定）矩陣，則，，及都是正定（或半正定）矩陣.</p><p>　　兩個Hermite 矩陣積與其特征值之間的關(guān)系問題有著名的Neumann 不等式，兩個實對

23、稱矩陣和的特征值關(guān)系問題有Hoffman—wielandt 定理，故由引理3，引理4及推論1和4，有</p><p>　　推論5 設(shè)，是滿足條件的正定矩陣，則對任意正整數(shù)，有.</p><p>　　推論 6 若，是滿足條件的Hermite 陣，設(shè)為的特征值，則為的特征值，為和的全體特征值.</p><p>　　2 滿足的矩陣對的一些性質(zhì)</p>&

24、lt;p><b>　　性質(zhì)1 如果，則有</b></p><p><b>　　，，，均為正整數(shù)；</b></p><p>　　，其中是的多項式，即與的多項式可交換；</p><p><b>　　，為整數(shù)；</b></p><p>　?。ň仃嚩検蕉ɡ恚?，為整數(shù)；</

25、p><p><b>　　，為整數(shù)；</b></p><p>　　性質(zhì)2 （1）若且是可逆的，則可交換；</p><p>　　（2）若且是可逆的，則可交換.</p><p>　　性質(zhì)3 （1）若且是正交陣，則可交換；</p><p>　?。?）若且是正交陣，則可交換.</p><p&

26、gt;<b>　　3 主要結(jié)論及證明</b></p><p>　　結(jié)論1 是正定矩陣，、都是對稱矩陣且滿足，則是正定矩陣的充要條件是.</p><p>　　證明 因為，由引理5得.</p><p><b>　　從而易得</b></p><p><b>　　，</b></

27、p><p>　　而為實數(shù)，由定理1即得結(jié)論.

28、

29、 </p><p>　　結(jié)論2 矩陣，為滿足條件的階Hermite陣，且，</p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　.</b></

30、p><p>　　上述等式成立當且僅當存在一個具有標準正交列的矩陣和某個使得.

31、

32、 </p><p>　　證 明 設(shè)是的非零特征值，由Cauchy-Schwarz不等式得：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b>

33、;</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因為，滿足所以，即.</p><p>　　所以，可交換.又知，均為Hermite陣，所以為Hermite陣. </p><p>　　下面對等號成立進行證明.</p><p>　　充分性：若，且為標準正交列的矩陣，</p>

34、<p>　　則 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　從而 </b></p><p>　　必要性：記，則且，為非零矩陣.</p><p>　　為Hermite陣，存在酉陣</p><p><b>　

35、　使得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中,酉陣由矩陣的特征向量正交化，單位化得到,即，且，，（）為的非零特征值.</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　又知，所以</b></p>

36、<p><b>　　，</b></p><p>　　將上式展開后重新合并可得：</p><p><b>　　易得 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　記，，則，.</b></p><p

37、>　　結(jié)論3 矩陣，，，均為陣，，且，</p><p><b>　　則 .</b></p><p><b>　　證明 因為</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　又知，所以.</b></p>

38、;<p><b>　　即有 </b></p><p>　　故 . </p><p>　　結(jié)論4 設(shè)分別有特征值和 且，則存在指標 的一個排列，使得的特征值是.</p><p>　　證明 因為，所以.根據(jù)引理9可得，它們可以同時上三角化，即存在酉矩陣，使得</p><p

39、><b>　　和</b></p><p>　　都是上三角矩陣，且分別具有對角元及，</p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　有對角元</b></p><p>　　且以它們?yōu)樘卣髦?，同時，由于相似于，所以它們必定也是的特征值.</p>

40、<p>　　由結(jié)論4可得推論4.1和推論4.2.</p><p>　　推論4.1 且，則的各特征值之和是的各特征值和加上的各特征值的和.</p><p>　　證明 由結(jié)論4得，的特征值為，</p><p><b>　　故的特征值之和為</b></p><p><b>　　又知的特征值之和為<

41、;/b></p><p><b>　　的特征值之和為 </b></p><p>　　顯然推論4.1成立.</p><p>　　推論4.1的另一種表述 </p><p><b>　　若且，則.</b></p><p>　　推論4.2 若且，和 分別為的特征值，，，則是

42、非奇異矩陣.</p><p>　　證明 由結(jié)論4知的特征值是</p><p>　　其中，為的一個重新組合.</p><p><b>　　又知，，所以，，</b></p><p>　　即 均不為零,</p><p>　　所以有個非零特征值，故非奇異.</p>

43、;<p>　　結(jié)論5 ，且滿足，如果對角陣的主對角線上的元素互不相等，那么也是對角陣.</p><p>　　證明 設(shè)，其中（），</p><p><b>　　，（），因為，故，</b></p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　，</b&g

44、t;</p><p><b>　　整理得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　又因為時，，故時，.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 楊興東. 矩陣之和的特征值與奇異值估計[J].數(shù)

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