信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用研究

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p&

3、gt;<p>　　在數(shù)學(xué)分析中, 積分計(jì)算是重要的內(nèi)容. 而利用對(duì)稱性求積分包括定積分、重積分、曲線積分、以及曲面積分則是簡(jiǎn)便計(jì)算的一種常用方法. 然而在現(xiàn)有教材以及我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中往往只強(qiáng)調(diào)定積分可以利用對(duì)稱性計(jì)算, 而對(duì)于其它積分則是很少甚至沒(méi)有提到. 本文就對(duì)稱性在定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分計(jì)算中的應(yīng)用進(jìn)行深入的探討.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 對(duì)稱性; 積分; 計(jì)算&l

4、t;/p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Integrals calculating is a very important part among the mathematical analysis, and applying symmetry to calculating the quadrature including definit

5、e integral, multiple integral, curvilinear integral, curved surface integral is common way of simple calculating. However, in our existing textbook or daily study, we always only emphasize that symmetry can be applied to

6、 calculate the definite integral, regardless of the rest of other integrals. Therefore, this thesis has a basic exploration on the </p><p>　　Key words: Symmetry; Integral; Calculating</p><p>&l

7、t;b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 各種積分的基本理論4</p><p>　　2.1 定積分的定義4

8、</p><p>　　2.2 二重積分的定義4</p><p>　　2.3 三重積分的定義5</p><p>　　2.4 第一型曲線積分的定義5</p><p>　　2.5 第一型曲面積分6</p><p>　　3對(duì)稱性在求各種積分中的應(yīng)用7</p><p>　　3.1 對(duì)稱性在定積分

9、中的應(yīng)用7</p><p>　　3.2 利用對(duì)稱性解二重積分9</p><p>　　3.3 對(duì)稱性在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用13</p><p>　　3.4 第一型曲線積分中的對(duì)稱性問(wèn)題16</p><p>　　3.5 第一型曲面積分中的對(duì)稱性問(wèn)題18</p><p><b>　　4 小結(jié)19<

10、/b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)21</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)計(jì)算中, 積分計(jì)算是一個(gè)非常重要的部分. 早在古希臘時(shí)期數(shù)學(xué)家阿基米德在《拋物線圖形求積法》和《論螺線》中, 利用窮

11、竭法, 借助于幾何直觀, 得出了拋物線弓形的面積和阿基米德螺線周圍成的區(qū)域的面積, 他的思想方法是分割求和, 逐次逼近. 雖然當(dāng)時(shí)還沒(méi)有極限的概念, 不承認(rèn)無(wú)限, 但其求積方法已具有了定積分思想的萌芽. 17 世紀(jì)中葉, 法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、帕斯卡均利用了“分割求和”及無(wú)窮小的性質(zhì)的觀點(diǎn)求積, 更加接近現(xiàn)代的求定積分的方法. 可見(jiàn), 利用“分割求和”及無(wú)窮小的方法, 已被當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家普遍采用.</p><p>　　

12、17世紀(jì)下半葉牛頓和萊布尼茲創(chuàng)造了微積分的基本方法. 但是, 他們留下了大量的事情需要后人去解決, 首先是微積分的主要內(nèi)容的擴(kuò)展, 其次是微積分還缺少邏輯基礎(chǔ). 創(chuàng)立于17 世紀(jì)的微積分, 主要運(yùn)用于天文學(xué)、力學(xué)、幾何學(xué)中的計(jì)算. 而到19世紀(jì)下半葉微積分已經(jīng)發(fā)展成為一門系統(tǒng)、嚴(yán)密、完整的學(xué)科. 積分概念也趨于邏輯化、嚴(yán)密化, 形成我們現(xiàn)在使用的概念. 定積分的概念中體現(xiàn)了分割、近似、求和的極限思想. 其中分割就是將任意地分成個(gè)小間,

13、, 其中 表示第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度, 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)做并求和, 這體現(xiàn)了求和的思想, 當(dāng)區(qū)間的最大長(zhǎng)度趨于零時(shí), 和式的極限若存在即為在上的定積分. 利用定積分可以解決很多實(shí)際問(wèn)題, 例如求由曲線圍成的平面圖形的面積; 求由曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積; 平行截面面積為已知的立體的體積; 求曲線的弧長(zhǎng)以及物理中的功、水壓等等時(shí), 的積分形式也可以推廣: </p><p>　?。?）可以把積分區(qū)間推廣到無(wú)限

14、區(qū)間上, 如 等, 或者把函數(shù)推廣到無(wú)界函數(shù), 也就是廣義積分. </p><p>　?。?）可以把積分區(qū)間推廣到一個(gè)平面區(qū)域, 被積函數(shù)為二元函數(shù), 那么積分就是二重積分; 同樣當(dāng)被積函數(shù)成為三元函數(shù)、積分區(qū)域變成空間區(qū)域時(shí)就是三重積分.</p><p>　?。?）還可以將積分范圍推廣為一段曲線弧或一片曲面, 即曲線積分和曲面積分. </p><p>　　無(wú)論積分

15、推廣到何種形式, 它始終體現(xiàn)了這種分割的極限思想, 比如二重積分的概念: 設(shè) 在有界閉區(qū)域上有界,</p><p>　?。?）分割:將任意分成個(gè)小區(qū)域并表示面積;</p><p>　?。?）近似: 在每個(gè)上任取一點(diǎn)作乘積;</p><p>　?。?）求和取極限: 若各區(qū)域直徑的最大值趨于零時(shí), 和式的極限存在, 即為在上的二重積分. 由此我們發(fā)現(xiàn)定積分與重積分在概念

16、的本質(zhì)上是一致的, 同樣三重積分亦是如此.</p><p>　　此外, 不定積分與定積分之間關(guān)系為: 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù), 則, 這是牛頓 — 萊布尼茲公式. 這個(gè)公式進(jìn)一</p><p>　　步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系. 它表明: 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的任一原函數(shù)在區(qū)間上的增量. 這就給求解定積分提供了一個(gè)簡(jiǎn)便而有效的計(jì)算方法.

17、 </p><p>　　積分在數(shù)學(xué)分析中有很重要的地位, 積分的計(jì)算方法有許多種, 很多文獻(xiàn)都對(duì)它有探討,但是關(guān)于對(duì)稱性的研究卻少有涉及. 對(duì)稱性在積分運(yùn)算中有著很重要的意義, 通?？梢院?jiǎn)化計(jì)算. 本文研究了對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用. 積分在數(shù)學(xué)分析中是相當(dāng)重要的一項(xiàng)內(nèi)容, 而在計(jì)算積分的過(guò)程中, 我們經(jīng)常會(huì)碰到積分區(qū)域或者被積函數(shù)具有某種對(duì)稱性的情況. 那么, 如果我們?cè)诮忸}中發(fā)掘或注意到問(wèn)題的對(duì)稱性, 并巧妙

18、地把它們應(yīng)用到積分的計(jì)算過(guò)程中去, 往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程, 收到意想不到的效果, 引起感情激蕩, 造成感情上的共鳴, 更好地感知, 理解數(shù)學(xué)之美. 特別是對(duì)于有些題目, 我們甚至可以不用計(jì)算就可以直接判斷出其結(jié)果. 在積分計(jì)算中利用對(duì)稱性來(lái)解題這種方法, 是一種探索性的發(fā)現(xiàn)方法, 它與其他方法的不同之處主要體現(xiàn)在其創(chuàng)造性功能. 下面我們舉出幾個(gè)對(duì)稱性在積分計(jì)算中的例子, 張振強(qiáng)他的一篇對(duì)稱性在二重積分中的應(yīng)用論文中介紹如何利用對(duì)稱性來(lái)計(jì)

19、算二重積分, 并提出了通過(guò)適當(dāng)改造被積函數(shù)和積分區(qū)城以利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算的方法. 在一般情況下, 不僅要求積分區(qū)域具有對(duì)稱性, 而且被積分函數(shù)對(duì)于區(qū)域也要具有對(duì)稱性.</p><p>　　因此, 在積分計(jì)算中, 可以利用對(duì)稱性來(lái)幫助求解, 不過(guò)我們?cè)趹?yīng)用對(duì)稱性求積分時(shí)還必須注意: 必須兼顧被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個(gè)方面, 只有當(dāng)兩個(gè)方面的對(duì)稱性相匹配時(shí)才能利用; 對(duì)于第二型曲線積分與曲面積分, 在利用對(duì)稱性時(shí), 還

20、需考慮路線的方向和曲面的側(cè), 應(yīng)慎重; 合理利用輪換對(duì)稱性以求簡(jiǎn)便計(jì)算. </p><p>　　2 各種積分的基本理論</p><p>　　2.1 定積分的定義</p><p>　　定義 設(shè)函數(shù)在上有界, 在中任意插入分點(diǎn), </p><p>　　它們把分成個(gè)小區(qū)間, 第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為</p><p><b

21、>　　, ,</b></p><p>　　在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)</p><p>　　作乘積 </p><p>　　并作和 ,</p><p>　　記 </p

22、><p>　　如果不論對(duì)怎樣的分法, 也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎么取法只要當(dāng)時(shí),和總趨于確定的極限, 稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分, 記為 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.2 二重積分的定義</p><p>　　定義 設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)間區(qū)域上的函數(shù). 是一個(gè)確定的數(shù), 若對(duì)任給的

23、正數(shù), 總存在某個(gè)正數(shù), 使對(duì)于的任何分割, 當(dāng)他的細(xì)度時(shí), 屬于的所有積分和都有 </p><p>　　. （2.1）</p><p>　　則稱在上可積, 數(shù)稱函數(shù)在上的二重積分, 記做</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　其中稱為二

24、重積分的被積函數(shù), 稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域.</p><p>　　當(dāng)時(shí), 二重積分在幾何上就表示以為曲頂, 為底的曲頂柱體的體積. 當(dāng)時(shí), 二重積分的值就等于積分區(qū)域的面積.</p><p>　　由二重積分定義知道, 若在區(qū)域上可積, 則與定積分情況一樣, 對(duì)任何分割, 只要當(dāng)時(shí), (1)式都成立. 因此為了方便計(jì)算起見(jiàn),常選取一些特殊的分割方法, 如選用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)分割,

25、 則每一小網(wǎng)眼區(qū)域, 此時(shí)通常把記作 </p><p>　　. （2.3）</p><p>　　首先可以像定積分那樣類似地證明函數(shù)在有界可求面積區(qū)域上可積的必要條件是它在上有界.</p><p>　　2.3 三重積分的定義</p><p&

26、gt;　　定義 設(shè)為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的函數(shù), 是一個(gè)確定的數(shù). 若對(duì)任給的正數(shù), 總存在某一正數(shù), 使得對(duì)于的任何分割, 只要, 屬于分割的所有積分和都有</p><p>　　, （2.4）</p><p>　　則稱在上可積, 數(shù)稱函數(shù)在上的三重積分, 記作</p><p>　　或 ,

27、 </p><p>　　其中稱為被積函數(shù), 稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域.</p><p>　　2.4 第一型曲線積分的定義</p><p>　　定義2.4 設(shè)為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段,為定義在上的函數(shù). 對(duì)曲線作分割, 它把分成個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段, 的弧長(zhǎng)記為, 分割的細(xì)度為, 在上任取一點(diǎn) 若有極限</p><p><b&g

28、t;　　.</b></p><p>　　且的值與分割與點(diǎn)的取法無(wú)關(guān), 則稱此極限為在上的第一型曲線積分, 記作 </p><p>　　. （2.5）</p><p>　　若為空間可求長(zhǎng)曲線段,為定義在上的函數(shù), 則可類似地定義在空間曲線上的第一型曲線積分, 并且記作</p><

29、;p>　　. （2.6）</p><p>　　2.5 第一型曲面積分</p><p>　　定義2.5 設(shè)是空間中可求面積的曲面, 為定義在上的函數(shù). 對(duì)曲面作分割, 它把分成個(gè)小區(qū)面, 以記小曲面塊的面積, 分割的細(xì)度, 在上任取一點(diǎn), 若極限</p><p>　　,

30、 （2.7）</p><p>　　存在,且與分割與的取法無(wú)關(guān), 則稱此極限為在上的第一型曲面積分, 記作</p><p>　　. （2.8）</p><p>　　3對(duì)稱性在求各種積分中的應(yīng)用</p><p>　　3.1 對(duì)稱性在定積分中的應(yīng)用</p><

31、;p>　　設(shè)積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 記為, 在上可積則當(dāng)被積函數(shù)是奇函數(shù)時(shí), 有; 而當(dāng)是偶函數(shù)時(shí), 有.</p><p>　　如果上述命題做進(jìn)一步推廣, 將得到以下幾個(gè)更為一般的性的結(jié)果, 將這些結(jié)果用于某些定積分的計(jì)算十分方便.</p><p>　　定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積, 則有</p><p>　　, （3.1

32、）</p><p>　　特別地, 當(dāng)積分區(qū)間為時(shí), 有</p><p>　　. （3.2）</p><p>　　證明 設(shè), 則, 且當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), 于是有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(3.2)式可由(3.1)式直接推

33、得. </p><p>　　定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積, 且有, 即關(guān)于區(qū)間的中點(diǎn)為偶函數(shù), 則有, （3.3）</p><p>　　證明 . （3.4）</p><p>　　對(duì)于右式中的第二項(xiàng), 令, 則, 且當(dāng)時(shí),

34、; 當(dāng)時(shí), ,于是有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　代入（3.4）式即得到（3.3）.</p><p>　　定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積, 且有 即關(guān)于區(qū)間的中間點(diǎn)為奇函數(shù), 則有 </p><p>　　, （3.5）</p>

35、<p>　　與定理2的證明同理, 可證得定理3.但考慮到對(duì)稱性,利用定理1來(lái)證明定理3將更為直觀,方便.</p><p>　　證明 由（2）式得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　于是有. </p><p>　　推論 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 則有<

36、;/p><p><b>　　() ,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　證明 .</b></p><p>　　容易驗(yàn)證, 上式右邊積分中的被積函數(shù)關(guān)于區(qū)間中間點(diǎn)為奇函數(shù), 由定理3知積分為0, 于是得證, 同理可得. &

37、lt;/p><p>　　例1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù), 且, 計(jì)算.</p><p><b>　　解法一 令 </b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此由定理1可得

38、</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　解法 二 令</b></p><p><b>　　容易驗(yàn)證</b></p><p><b&

39、gt;　　,</b></p><p>　　即關(guān)于區(qū)間的中點(diǎn)為奇函數(shù), 由定理3 .</p><p><b>　　從而 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例2 計(jì)算積分.</b></p><p&g

40、t;<b>　　解 令,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　其中為偶函數(shù), 則</b></p><p><b>　　.</b></p>

41、<p><b>　　令, 則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　注 此題是利用對(duì)稱性計(jì)算定積分的典型例題. 由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),因此不可能用牛頓——萊布尼茲公式直接計(jì)算.</p><p>　　3.2 利用對(duì)稱性解二重積分</p><p>　

42、　利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分, 可以使計(jì)算簡(jiǎn)化. 在一般情況下, 不僅要求積分區(qū)域D具有對(duì)稱性, 而且被積函數(shù)對(duì)于區(qū)域D也要具有對(duì)稱性. 但在特殊情況下, 即使積分區(qū)域D不對(duì)稱, 或者關(guān)于對(duì)稱區(qū)域D的被積函數(shù)不具備對(duì)稱性, 也可以經(jīng)過(guò)一些技巧性的處理, 使之化</p><p>　　為能用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算的積分. 下面對(duì)三種常見(jiàn)對(duì)稱形式的二重積分簡(jiǎn)化進(jìn)行一些介紹.</p><p>　　1 積分區(qū)

43、域D關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱</p><p>　　定理 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù), 且關(guān)于軸對(duì)稱, 則</p><p>　?。?）當(dāng) (即是關(guān)于的奇函數(shù)) 時(shí), 有</p><p>　?。?）當(dāng) (即是關(guān)于的偶函數(shù)) 時(shí), 有</p><p>　　（其中是落在軸一側(cè)的那部分區(qū)域）.</p><p>　　例1 , 其中為由 及

44、圍成的區(qū)域.</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　解 如圖1, 關(guān)于軸對(duì)稱, 并且, 即被積分函數(shù)是關(guān)于軸的偶函數(shù), 由對(duì)稱性定理結(jié)論有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù), 且關(guān)于軸和軸都對(duì)稱, 則</p&

45、gt;<p><b>　?。?）當(dāng)或時(shí)</b></p><p><b>　　有.</b></p><p><b>　　(2)當(dāng)時(shí)有</b></p><p>　?。ㄆ渲蠨1為D的在第一象限部分的區(qū)域）.

46、 </p><p>　　例2 計(jì)算 其中.</p><p><b>　　圖2</b></p><p>　　解 區(qū)域關(guān)于軸和軸對(duì)稱, 且被積函數(shù)關(guān)于和是偶函數(shù), 即有</p><p><b>　　. 由定理2, 有</b></p><p>　　其中是的第一象限

47、部分, 由對(duì)稱性知</p><p><b>　　故 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2 積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱</p><p>　　定理 設(shè)平面區(qū)域 且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 則當(dāng)上的連續(xù)函數(shù)滿足</p><p><b>　　(1) 時(shí)

48、, 有.</b></p><p>　　( 2) 時(shí), 有.</p><p>　　例3 計(jì)算 其中D是由, , 以及所圍成的區(qū)域.</p><p><b>　　圖3</b></p><p>　　解 如圖, 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 但被積函數(shù)不滿</p><p><b>　　也不滿足

49、</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以不能直接用定理來(lái)計(jì)算, 但若記</p><p><b>　　,有,</b></p><p>　　對(duì)和分別應(yīng)用定理3, 則</p><p><b>　　, 而</b>&l

50、t;/p><p>　　故 </p><p>　　3 積分區(qū)域D關(guān)于直線對(duì)稱</p><p>　　定理 設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù), 且, 關(guān)于直線對(duì)稱, 則</p><p><b>　　(1) </b></p><p><b>　　.</b&g

51、t;</p><p>　　(2) 當(dāng)時(shí)有, .</p><p>　　(3) 當(dāng)時(shí), 有.</p><p><b>　　例4 求 .</b></p><p>　　解 積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱, 由定理4有</p><p><b>　　,</b></p><p

52、><b>　　故</b></p><p><b>　　=.</b></p><p>　　注 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱時(shí), 被積分函數(shù)的兩個(gè)變量可以互換位置的特殊性質(zhì)可以使二重積分計(jì)算簡(jiǎn)化, 類似的, 若積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱, 且滿足</p><p><b>　　或滿足則有</b></p>

53、<p><b>　?。ㄆ渲袨榈囊话耄?</b></p><p>　　3.3 對(duì)稱性在三重積分計(jì)算中的應(yīng)用</p><p><b>　　1 空間對(duì)稱區(qū)域</b></p><p>　　(1) 若對(duì) , 則稱空間區(qū)域關(guān)于 面對(duì)稱; 利用相同的方法, 可以定義關(guān)于另外兩個(gè)坐標(biāo)面的對(duì)稱性. </p>&

54、lt;p>　　(2) 若對(duì), , 則稱空間區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱; 利用相同的方法,可以定義關(guān)于另外兩個(gè)坐標(biāo)軸的對(duì)稱性.</p><p>　　(3) 若對(duì), , 則稱空間區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.</p><p>　　(4) 若對(duì), , 則稱空間區(qū)域關(guān)于具有輪換對(duì)稱性. </p><p>　　2 空間對(duì)稱區(qū)域上的奇偶函數(shù)</p><p>　　設(shè)是

55、定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù).</p><p>　　(1) 若滿足關(guān)系式, 則稱是關(guān)于的奇函數(shù); 滿足關(guān)系式, 則稱是關(guān)于的偶函數(shù). 利用相同的方法, 可以關(guān)于或的奇、偶函數(shù)的定義. </p><p>　　(2) 若滿足關(guān)系式 , 則稱是關(guān)于的奇函數(shù); 滿足關(guān)系式, 則稱是關(guān)于的偶函數(shù). 利用相同的方法可以定義關(guān)于或的奇、偶函數(shù)的對(duì)稱性.</p><p>　　(3)

56、若滿足關(guān)系式, 則稱是關(guān)于的奇函數(shù); 滿足關(guān)系式, 則稱是關(guān)于的偶函數(shù). </p><p>　　(4) 滿足關(guān)系式, 則稱具有輪換對(duì)稱性.</p><p>　　3 奇偶函數(shù)在空間對(duì)稱區(qū)域上的積分</p><p>　　(1) 若空間區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱, 則當(dāng)在是的奇函數(shù)時(shí), </p><p><b>　　,&

57、lt;/b></p><p><b>　　當(dāng)在是的偶函數(shù)時(shí),</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中是在面上側(cè)的部分.</p><p>　　(2) 若空間區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱, 則當(dāng)在是的奇函數(shù)時(shí),</p><p><b>　　,&

58、lt;/b></p><p><b>　　當(dāng)在是的偶函數(shù)時(shí),</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中是位于軸平面一側(cè)的部分. </p><p>　　(3) 若空間區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱, 則當(dāng)在是, , 的奇函數(shù)時(shí),</p><p>&l

59、t;b>　　,</b></p><p><b>　　當(dāng)在是的偶函數(shù)時(shí),</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　其中是位于原點(diǎn)平面一側(cè)的部分. </p><p>　　(4) 若空間區(qū)域具有輪換對(duì)稱性, </p><p><b

60、>　　.</b></p><p>　　例1 計(jì)算三重積分, 其中是由平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體.</p><p>　　解 積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱, 被積函數(shù)是奇函數(shù), 所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2 計(jì)算, 其中是由平面, , 以及拋物面所圍成的區(qū)域.<

61、;/p><p>　　解 積分區(qū)域關(guān)于平面對(duì)稱, 而被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)即</p><p>　　, 故所求積分為0.</p><p>　　例3 計(jì)算, 其中為三個(gè)坐標(biāo)平面及平面所圍成的閉區(qū)間.</p><p>　　解 由于被積函數(shù)和積分區(qū)域都滿足對(duì)的輪換性, 因此</p><p><b>　　.</b

62、></p><p>　　得 .</p><p>　　3.4 第一型曲線積分中的對(duì)稱性問(wèn)題</p><p>　　定理 設(shè)函數(shù)在二維光滑（或分段光滑）曲線上可積, 且曲線關(guān)于或軸對(duì)稱則</p><p>　　(1) 當(dāng)是（或）的偶函數(shù)時(shí), (其中是位于對(duì)稱軸一側(cè)的部分);</p&

63、gt;<p>　　(2) 當(dāng)是（或）的奇函數(shù)時(shí), .</p><p>　　證 設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱的光滑曲線（其中,分別是曲線位于軸上,下兩側(cè)的部分.）則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　用曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)系分割,在上的小弧段中任取一點(diǎn), 在上關(guān)于對(duì)稱于軸的小弧段中任取一點(diǎn), 構(gòu)造和式:</p>

64、;<p>　　令: 諸小弧段中最長(zhǎng)者為, 由于在可積且, 于是</p><p>　　(1) 當(dāng)是的偶函數(shù), 時(shí)</p><p>　　(2)當(dāng)為的奇函數(shù), 時(shí)</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　定理 設(shè)函數(shù)在三維光滑或（分段光滑）曲線上可積, 且曲線對(duì)稱于（或或）坐標(biāo)面, 則&l

65、t;/p><p>　　(1) 當(dāng)為關(guān)于（或或）的偶函數(shù)時(shí),</p><p>　?。ㄆ渲惺俏挥趯?duì)稱坐標(biāo)面一側(cè)的部分）;</p><p>　　(2) 當(dāng)為關(guān)于（或或）的奇函數(shù)時(shí), 有.</p><p>　　推論 設(shè)函數(shù)在二維光滑曲線上可積, 對(duì)稱于和軸,則</p><p>　?。?）當(dāng)是關(guān)于的偶函數(shù)時(shí), 有（其中是位于第象

66、限中的部分）;</p><p>　?。?）當(dāng)是關(guān)于中至少某一變量的奇函數(shù)時(shí), .</p><p><b>　　例1 計(jì)算.</b></p><p>　　解 積分曲線即對(duì)稱于軸又對(duì)稱于軸, 且被積函數(shù)是的奇函數(shù), 則</p><p><b>　　==0.</b></p><p

67、>　　例2 已知曲線 , 其周長(zhǎng)為. 求積分. </p><p>　　解 由曲線 中位置對(duì)稱,</p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><

68、b>　　=.</b></p><p>　　3.5 第一型曲面積分中的對(duì)稱性問(wèn)題</p><p>　　定理 設(shè)函數(shù)在光滑（或分片光滑）曲面上可積, 且對(duì)稱于（或或）坐標(biāo)面, 則</p><p>　　(1) 當(dāng)是關(guān)于（或或）的偶函數(shù)時(shí), （其中是位于對(duì)稱坐標(biāo)面一側(cè)的部分）;</p><p>　　(2) 當(dāng)是關(guān)于（或或）的奇函

69、數(shù)時(shí), .</p><p>　　推論 設(shè)函數(shù)在光滑（或分片光滑）曲面上可積, 且關(guān)于坐標(biāo)面均對(duì)稱, 則 </p><p>　　(1) 當(dāng)是關(guān)于的偶函數(shù)時(shí), （其中是在第卦限的部分）;</p><p>　　(2) 當(dāng)是關(guān)于中至少某一變量的奇函數(shù)時(shí), </p><p>　　例1 計(jì)算其中平面之間的圓柱面.</p><p&g

70、t;　　解 積分曲面對(duì)稱于坐標(biāo)面, 且被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù), 因此=0.</p><p>　　例2 計(jì)算 其中.</p><p><b>　　解 令 則.</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　因?yàn)閷?duì)稱于三個(gè)坐標(biāo)面, 且被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù).所以由對(duì)稱性可知&

71、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　4 小結(jié)</b></p><p>　　積分在數(shù)學(xué)分析中是相當(dāng)重要的一項(xiàng)內(nèi)容, 而在計(jì)算積分的過(guò)程中, 我們經(jīng)常會(huì)碰到積分區(qū)域或者被積函數(shù)具有某種對(duì)稱性的題型. 那么, 如果我們?cè)诮忸}中發(fā)掘或注意到問(wèn)題的對(duì)稱性, 并巧妙地把它們應(yīng)用到積分的計(jì)算過(guò)程中去, 往

72、往可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程, 收到意想不到的效果, 引起感情激蕩, 造成感情上的共鳴, 更好地感知, 理解數(shù)學(xué)美. 特別是對(duì)于有些題目, 我們甚至可以不用計(jì)算就可以直接判斷出其結(jié)果. 在積分計(jì)算中利用對(duì)稱性來(lái)解題這種方法, 是一種探索性的發(fā)現(xiàn)方法, 它與其他方法的不同之處主要體現(xiàn)在其創(chuàng)造性功能, 因此, 掌握和充分利用對(duì)稱性求積分這一方法, 對(duì)于活躍和開拓我們學(xué)生的創(chuàng)造性思維, 提高判斷解題能力, 探討解題方法是十分有益的. 在積分計(jì)算中,

73、可以利用對(duì)稱性來(lái)幫助求解, 不過(guò), 我們?cè)趹?yīng)用對(duì)稱性求積分時(shí)還必須注意: 必須兼顧被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個(gè)方面, 只有當(dāng)兩個(gè)方面的對(duì)稱性相匹配時(shí)才能利用; 對(duì)于第二型曲線積分與曲面積分, 在利用對(duì)稱性時(shí), 還需考慮路線的方向和曲面的側(cè), 應(yīng)慎重; 合理利用輪換對(duì)稱性以求簡(jiǎn)便計(jì)算. 對(duì)稱性在積分計(jì)算中有廣泛而重要的應(yīng)用, 本文中所舉例題只是利用</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b><

74、;/p><p>　　[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編. 高等數(shù)學(xué) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1996. </p><p>　　[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2007.</p><p>　　[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析下 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2007.</p><p>　

75、　[4] 王仲春等編著. 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論 [M]. 北京: 高等教育出版社, 1991. </p><p>　　[5] 龔冬保. 數(shù)學(xué)考研典型題 [M]. 西安: 交通大學(xué)出版社, 2000.</p><p>　　[6] 陳增政, 徐進(jìn)明. 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化被積函數(shù)是線性函數(shù)解的計(jì)算 [J]. 工科數(shù)學(xué), 1994,4(10): 181~183. </p><p&g

76、t;　　[7] 王壽生等編. 130 所高校研究生高等數(shù)學(xué)入學(xué)試題選解及分析 [M]. 沈陽(yáng): 遼寧科技出版社, 1988.</p><p>　　[8] 陳仲、洪祖德編. 高等數(shù)學(xué)·研究生入學(xué)試題與典型例題選解 [M]. 南京: 南京大學(xué)出版社, 1986.</p><p>　　[9] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p roj