信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文也談矩陣的廣義逆

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p><b>　　也談矩陣的廣義逆</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 信息與計(jì)算科學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要<

3、/b></p><p>　　矩陣的廣義逆與初等變換是十分重要的運(yùn)算.它們?cè)诮饩仃嚪匠探M, 求逆矩陣以及矩陣?yán)碚摰奶接懼杏泻苤匾淖饔? 矩陣的廣義逆在實(shí)際應(yīng)用中為著不同的目的可以定義不同意義的廣義逆, 即也可研究滿足泊松方程中的部分方程的矩陣. 本文首先簡(jiǎn)要介紹了矩陣和矩陣廣義逆的發(fā)展簡(jiǎn)史, 然后介紹矩陣廣義逆的定義及其性質(zhì)和計(jì)算方法, 并列舉出了各種特殊情況和非特殊情況下如何求解矩陣廣義逆, 最后介紹了通

4、過(guò)矩陣廣義逆求解矩陣方程的方法, 并給出了具體的實(shí)例. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 矩陣廣義逆；初等變換；矩陣方程；Penrose方程</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Matrix generalized inverses and elementary transformation matrix i

5、s a very important operation. In solving equations, the inverse of matrix and matrix theory, it is playing a very important role. Generalized inverses in practical applications, for different purposes can define the gene

6、ralized inverse different meaning, in other words we can also study the equation that satisfy part of the Penrose matrix equation. </p><p>　　In this paper, we briefly introduces the generalized inverse matri

7、x and the matrix, the definition of generalized inverse matrix and its properties and calculation methods, and give examples of the various special cases and the non-exceptional circumstances how to solve Matrix Inverse.

8、 Then introduced the way to solve the matrix equation, and gives some specific examples.</p><p>　　Keywords: Generalized inverses matrix; Elementary transformation; Matrix equation; Penrose equation</p>

9、<p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1前 言1</b></p><p><b>　　2矩陣的廣義逆2</b></p

10、><p>　　2.1 廣義逆矩陣2</p><p>　　2.2 廣義逆矩陣5</p><p>　　3 廣義逆矩陣的計(jì)算9</p><p>　　3.1 求解廣義逆矩陣9</p><p>　　3.2 求解廣義逆矩陣10</p><p>　　4 利用廣義逆矩陣求解矩陣方程12</p&g

11、t;<p><b>　　5小結(jié)14</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)15</b></p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p><b>　　1前 言</b></p><p>　　矩陣的現(xiàn)代概念在19世紀(jì)逐漸形成. 1801年高

12、斯把一個(gè)線性變換的全部系數(shù)作為一個(gè)整體. 1844 年, 愛(ài)森斯坦討論了“變換”（矩陣）及其乘積. 1850年, 西爾維斯特首先使用矩陣一詞.1858年, 凱萊發(fā)表《關(guān)于矩陣?yán)碚摰难芯繄?bào)告》. 他首先將矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象加以研究, 并在這個(gè)主題上首先發(fā)表了一系列文章, 因而被認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者, 他給出了現(xiàn)在通用的一系列定義. 1854年, 埃米爾特使用了“正交矩陣”這一術(shù)語(yǔ), 但他的正式定義到1878年才由費(fèi)羅貝尼烏斯發(fā)表.

13、 1879年, 費(fèi)羅貝尼烏斯引入矩陣秩的概念. </p><p>　　矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì), 矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展, 現(xiàn)在已經(jīng)成為一門(mén)數(shù)學(xué)分支——矩陣論. 而矩陣論又可分為矩陣分解論和廣義逆矩陣論矩陣的現(xiàn)代理論. 矩陣的應(yīng)用是多方面的, 不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里, 而且在力學(xué), 物理, 科技等方面都有十分廣泛的應(yīng)用. </p><p>　　矩陣廣義逆的概

14、念最早由I.Fredholm提出, 他給出了矩陣廣義逆的定義, 并稱為偽逆, 1920年, E.H.Moore首先提出了矩陣的廣義逆的概念, 他利用投影矩陣定義了矩陣唯一Moore的廣義逆. 1933年, E.H.Moore的學(xué)生Y.Y.Tseng又將Moore廣義逆推廣到Hilbert空間, 提出了Hilbert空間線性算子的廣義逆的概念, 然而, 矩陣的廣義逆真正得到迅速的發(fā)展并在各個(gè)領(lǐng)域獲得卓有成效的應(yīng)用是在1955年R.Penr

15、ose利用四個(gè)矩陣方程（現(xiàn)在稱之為Penrose方程組）給出了廣義矩陣的簡(jiǎn)潔實(shí)用的新定義, 即矩陣的Moore廣義逆滿足以下四個(gè)矩陣方程:</p><p>　?。?）， （2），</p><p>　?。?）， （4）</p><p>　　因此, 通常稱條件（1）～（4）為Moore-Penrose條件. </p>&

16、lt;p>　　近五十年來(lái), 廣義逆矩陣的理論和應(yīng)用得到了迅速發(fā)展, 并扮演著不可或缺的角色, 例如在微分方程, 數(shù)值代數(shù), 線性統(tǒng)計(jì)推斷, 最優(yōu)化, 測(cè)量學(xué)等方面, 特別是在研究最小二乘問(wèn)題, 長(zhǎng)方及病態(tài)線性方程問(wèn)題, 非線性問(wèn)題, 馬爾科夫鏈等統(tǒng)計(jì)問(wèn)題, 線性及非線性規(guī)劃等問(wèn)題中, 廣義逆是不可缺少的工具. 因此, 至今為止, 矩陣及算子廣義逆仍然是國(guó)際上非常活躍的一個(gè)研究領(lǐng)域. 而且廣義逆理論本身以及相關(guān)的應(yīng)用領(lǐng)域蓋有很多有待

17、進(jìn)一步研究.</p><p><b>　　2矩陣的廣義逆</b></p><p>　　我們熟知, 對(duì)于階矩陣, 如果, 則存在逆矩陣, 滿足. 但是當(dāng)方陣不可逆時(shí), 是否也有類似的概念.</p><p>　　1955年彭羅斯（Penrose）證明了對(duì)任給的矩陣, 存在唯一的矩陣, 滿足下列四個(gè)方程:</p><p>　　

18、（1）， （2），</p><p>　　（3）， （4）</p><p>　　這四個(gè)方程稱為彭羅斯方程, X稱為彭羅斯—穆?tīng)枺∕oore）逆, 記作. </p><p>　　特別地, 若A是可逆方陣, 則滿足上述四個(gè)方程, 即. </p><p>　　在實(shí)際應(yīng)用中, 為著不同的目的可以定義不同意義

19、的廣義逆, 即可研究滿足彭羅斯方程中的部分方程的矩陣. 設(shè)矩陣, 用記號(hào)表示滿足彭羅斯方程中的第,第, …, 第個(gè)方程的那些階矩陣的集合. 用符號(hào)表示集合中任何一個(gè)矩陣, 稱其為A的一個(gè)逆.</p><p><b>　　2.1 廣義逆矩陣</b></p><p>　　定義2. 1 設(shè), 若有滿足Penrose方程, 即</p><p>　　（1

20、）； （2）；</p><p>　　（3） （4）. </p><p>　　則稱為的Moore-Penrose逆, 記為. </p><p>　　定理2.1 設(shè), , 即有</p><p><b>　?。?）,</b></p>

21、<p><b>　　(2) .</b></p><p>　　證明 對(duì)于, 記, 則有</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p

22、><b>　　, </b></p><p><b>　　所以, 并且.</b></p><p>　　同理可證另一結(jié)論. </p><p>　　定理2. 2 設(shè), 則存在且唯一. </p><p>　　證明 存在性. 當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), , 從而有滿秩分解. 記, 則有</p>

23、<p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　由定義可得</b></p>

24、;<p><b>　　, </b></p><p>　　唯一性. 對(duì)于, 如果和都滿足Penrose方程, 則有</p><p><b>　　所以唯一. </b></p><p><b>　　廣義逆有如下性質(zhì):</b></p><p><b>　　,

25、</b></p><p>　　若A為可逆方陣, 則, </p><p><b>　　, 其中</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b&

26、gt;</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　A為實(shí)對(duì)稱方陣時(shí), , </p><p><b>　　以下等式成立:</b></p><p><b>　?、? </b>

27、</p><p><b>　?、? </b></p><p>　　計(jì)算非零矩陣的廣義逆矩陣, 定理2.2給出了只用矩陣滿秩分解的方法. 下面再來(lái)介紹使用矩陣奇異值分解的方法. </p><p>　　定理2.3 設(shè)的奇異分解為</p><p><b>　　, </b></p><

28、p>　　其中和及的意義同式, 則</p><p><b>　　. </b></p><p>　　廣義逆矩陣的一個(gè)重要應(yīng)用是研究線性方程組的最小二乘法問(wèn)題, 即尋找, 使得達(dá)到極小. </p><p>　　引理2.1 設(shè), 則有</p><p><b>　?。?）, 并且;</b></

29、p><p>　?。?）, 并且. </p><p>　　定理2.4 如果方程組有解, 則它的極小范數(shù)解唯一, 并且. </p><p>　　定理2.5 如果方程組有解, 則它的極小范數(shù)最小二乘法解唯一, 并且. </p><p><b>　　2.2 廣義逆矩陣</b></p><p>　　

30、定義2.2 設(shè), 若有滿足, 則稱為的一個(gè)逆, 記為或, 其全體記為. 易見(jiàn). </p><p>　　下面介紹用初等變換求一個(gè)（或幾個(gè)）的方法. </p><p>　　設(shè), 由“擬Hermite標(biāo)準(zhǔn)型”可得:存在可逆矩陣, 使得. 再由</p><p><b>　　,</b></p><p>　　又得: 存在置換矩

31、陣, 使得, 于是有, 或者. </p><p>　　設(shè), 數(shù)是A的某一個(gè)｛1｝逆, 則有如下性質(zhì):</p><p><b>　　, </b></p><p>　　若A可逆, 則, 此時(shí)唯一, </p><p><b>　　, 其中</b></p><p><b>

32、;　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　設(shè)矩陣P, Q可逆, 則, </p><p><b>　　, </b></p><p>　　和都是冪等矩陣. （若則稱B為冪等矩陣）. </p><p>　　證明 （1）因?yàn)?

33、所以. </p><p>　　, 即對(duì)任何, 都有, 所以集合A｛1｝只有唯一的一個(gè)元素.</p><p>　　若, 由定義知零矩陣就是零矩陣的一個(gè)｛1｝逆. 若, 則, 于是, 故.</p><p>　　由, 根據(jù)兩個(gè)矩陣之積的秩小于等于兩個(gè)矩陣中任何一個(gè)矩陣的秩, 可推出</p><p><b>　　. </b>&

34、lt;/p><p><b>　　由可推出</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　因此 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　因?yàn)? 故只能取等式時(shí)才成立,

35、即</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　同理可證. </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　因此和都是冪等矩陣. </p><p>　　定理2.6 任意給定, 則</p>

36、;<p>　　是矩陣的一個(gè)逆. </p><p><b>　　證明 </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　因此. </b></p><p>　　應(yīng)用矩陣的逆, 可以研究矩陣方程</p><p&g

37、t;<b>　?。?.1）</b></p><p>　　的可解性及其求解方法. </p><p>　　定理2.7 矩陣方程（2.1）有解的充要條件是</p><p>　　, （2.2）</p><p>　　并且在有解時(shí), 其通解為</p>

38、<p>　　, （2.3）</p><p><b>　　其中任意. </b></p><p>　　證明 條件（2.2）成立時(shí), 是方程（2.1）的解;方程（2.1）有解時(shí), 直接導(dǎo)出</p><p><b>　　, </b></p><p>　　即

39、條件（2.2）成立. </p><p>　　方程（2.1）有解時(shí), 由于</p><p><b>　　, </b></p><p>　　所以式（2.3）是方程（2.1）的解. 又設(shè)是方程（2.1）的任一解, 則有</p><p><b>　　, </b></p><p>　

40、　即方程（2.1）的解可以表示為式（2.2）的形式, 故式（2.2）是方程（2.1）的通解. </p><p>　　式（2.3）表明是方程（2.1）的一個(gè)解, 而是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解. </p><p><b>　　推論1 設(shè), 則</b></p><p><b>　　, </b></p><p

41、>　　證明 因?yàn)? 所以有解, 其通解為</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　令, 即, 則有</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　推論2 設(shè), 則線性方程組有解的充要條件是</p>

42、<p>　　, （2.4）</p><p>　　并且在有解時(shí), 其通解為</p><p>　　, （2.5）</p><p><b>　　其中任意. </b></p><p>　　3 廣義逆矩

43、陣的計(jì)算</p><p>　　3.1 求解廣義逆矩陣</p><p>　　例3.1 求的廣義逆矩陣. </p><p>　　解 （1）滿秩分解方法:</p><p><b>　　設(shè), 則</b></p><p><b>　　, </b></p><p&g

44、t;<b>　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　?。?）奇異值分解方法:</p><p>　　由題意得的奇異值分解為</p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　. <

45、;/b></p><p>　　需要指出, 可逆矩陣的逆矩陣具有的性質(zhì), 對(duì)于一般矩陣的廣義逆矩陣不一定具有. 例如</p><p>　?。?）:取, , 則</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　?。?

46、）:不是方陣時(shí), 這是明顯的;是方陣時(shí), 取同例3. 1, 則</p><p><b>　　. </b></p><p>　　3.2 求解廣義逆矩陣 </p><p>　　例3.2 設(shè), 且A可寫(xiě)成如下分塊矩陣：</p><p><b>　　, </b></p><p>

47、　　其中是r階單位方陣, 求. </p><p>　　解 設(shè), 則X是矩陣, 將X適當(dāng)分塊, </p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　其中于是</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　由知

48、, 即A｛1｝中的任一個(gè)矩陣可寫(xiě)成</p><p>　　其中為任意矩陣. </p><p><b>　　求的一個(gè)逆. </b></p><p><b>　　解 , </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b&

49、gt;　　, </b></p><p>　　其中和是任意常數(shù). </p><p>　　4 利用廣義逆矩陣求解矩陣方程</p><p>　　定理4.1 設(shè), 向量為已知, 向量為未知, 則</p><p>　　線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是, </p><p>　　方程組有解時(shí), 為它的一個(gè)特解

50、, 方程組的通解為</p><p>　　其中, 為任意列向量. </p><p>　　例4.1 已知線性方程組Ax=b中</p><p>　　求該方程組的最小二乘解和通解. </p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　, </b></p&g

51、t;<p>　　故的特征值為. 它們對(duì)應(yīng)的單位特征向量分別是</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　所以</b></p&g

52、t;<p><b>　　, </b></p><p><b>　　故最小二乘解為</b></p><p><b>　　通解為</b></p><p>　　其中為任意實(shí)向量. </p><p><b>　　5小結(jié)</b></p>

53、<p>　　矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念, 是代數(shù)學(xué)中的主要研究對(duì)象, 也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要的工具. 它是從許多實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算中抽象出來(lái)的一個(gè)極其重要的數(shù)學(xué)概念, 它被廣泛的應(yīng)用于管理科學(xué), 自然科學(xué), 工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域. 本文通過(guò)對(duì)矩陣概念中的一項(xiàng)——矩陣的廣義逆發(fā)展和歷史背景的介紹, 對(duì)矩陣的廣義逆有了初步的認(rèn)識(shí). 接著介紹了矩陣廣義逆的定義和一系列相關(guān)定理, 然后講述了矩陣廣義逆的計(jì)算, 這樣逐步加深對(duì)矩陣

54、廣義逆的了解.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 陳公寧. 矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用[M]. 科學(xué)出版社, 2007: 192~210.</p><p>　　[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 矩陣分析[M]. 同濟(jì)大學(xué)出版社. 2005:153~173.</p><p>　　[3] 吳有為. 求

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56、業(yè)大學(xué)出版社, 2006:82~123.</p><p>　　[7] 陳永林. 廣義逆矩陣的理論與方法[M]. 南京師范大學(xué)出版社, 2005:20~54.</p><p>　　[8] 鄭兵. 矩陣廣義逆理論. 計(jì)算及其應(yīng)用的若干問(wèn)題[M]. 上海大學(xué)出版社, 2003:32~71.</p><p>　　[9] Zhong-peng Yang, Chong-Guan

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