應用數(shù)學畢業(yè)論文-直接法和二維toda格方程的周期解

1、<p>　　學校代碼：11517</p><p>　　學 號：201311002242</p><p>　　HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING</p><p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目 直接法和二維Toda格方程的周期解</p>

2、<p>　　學生姓名 李靈霜 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學1342 </p><p>　　學 號 201311002242 </p><p>　　院 （部） 理學院

3、 </p><p>　　指導教師(職稱) 蘇婷(副教授) </p><p>　　完成時間 2017 年5 月26 日 </p><p><b>　　河南工程學院</b></p><p>　　畢業(yè)設計（論文）版權使用授權書</p><p>　

4、　本人完全了解河南工程學院關于收集、保存、使用學位畢業(yè)設計（論文）的規(guī)定，同意如下各項內(nèi)容：按照學校要求提交畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版本；學校有權保存畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、掃描、數(shù)字化或其它手段保存畢業(yè)設計（論文）；學校有權提供目錄檢索以及提供本畢業(yè)設計（論文）全文或者部分的閱覽服務；學校有權按有關規(guī)定向國家有關部門或者機構送交畢業(yè)設計（論文）的復印件和電子版；在不以贏利為目的的前提下，學校可以適當復

5、制畢業(yè)設計（論文）的部分或全部內(nèi)容用于學術活動。</p><p>　　畢業(yè)設計（論文）作者簽名：</p><p>　　年 月 日 </p><p><b>　　河南工程學院</b></p><p>　　畢業(yè)設計(論文)原創(chuàng)性聲明</p><p>　　本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)設計（論

6、文），是本人在指導教師指導下，進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本畢業(yè)設計（論文）的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的作品的內(nèi)容。對本畢業(yè)設計（論文）所涉及的研究工作做出貢獻的其他個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本學位畢業(yè)設計（論文）原創(chuàng)性聲明的法律責任由本人承擔。</p><p>　　畢業(yè)設計（論文）作者簽名：</p><p>　　年

7、 月 日 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><p><b>　　第1章 緒論2</b></p><p>　　第2章二維Toda格方程的雙線性形式3</p><p>　　

8、第3章一維周期波解和漸進性4</p><p>　　3.1一維周期波解4</p><p>　　3.2單周期波解的漸近性6</p><p>　　第4章雙周期波解及其漸近性7</p><p>　　4.1構建雙周期波解7</p><p>　　4.2雙周期波解的漸近性9</p><p><

9、;b>　　致 謝11</b></p><p><b>　　參考文獻13</b></p><p>　　直接法和二維Toda格方程的周期解</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　Hirota雙線性方法被用來直接構造周期波解依照Riemann theta

10、函數(shù)（2+1）-1維Toda晶格方程。對周期波的漸進性進行詳盡的分析，包括單周期解和雙周期解。并繪制解的曲線來分析此解，結果表明可以從周期波解中減少公知的孤子解。</p><p>　　關鍵詞：Riemann theta 函數(shù) 周期波解 一種直接方法</p><p><b>　　第1章 緒論</b></p><p>　　1.1選題的背景和意義&l

11、t;/p><p>　　眾所周知，有很多成功的方法來構造微分方程的顯式解，例如：散射變換、Darboux變換、Hirota直接法、algebra-geometrical方法等等。準周期性解或algebra-geometrical解可以借助于 algebra-geometrical方法獲得，然而他們解的形式復雜可以借助于黎曼曲面和Abel-Jacobi函數(shù)。Hirota直接方法提供了一個強有力的方法來構造非線性方程的精確

12、解，一旦通過因變量變換以雙線性形式寫入非線性方程，則可以獲得多孤子解和有理解。Nakamura在1979年和1980年提出了單周期波解和基于Hiorta的雙周期波解，借助Riemann theta函數(shù)。其中得到KdV和Boussinesq方程的周期解，這種方法的重要優(yōu)勢在Dai et al首次被證明。對于KP方程，可以明確地繪制解分布圖，并且通過使用合適的漸近極限，可以從準周期解推導多分散解。這種程序在Dai et al中有介紹，并

13、被其他作者用來研究用大量孤子方程來構造準周期性解。</p><p>　　1.2國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀</p><p>　　關于Toda晶格問題已經(jīng)進行了大量的調(diào)查研究。Nakamura研究關于（3+1）-維Tode方程，此方程的解是一系列的Bessell函數(shù)的級數(shù)展開式的表達式形式。Krichever和Vaninsky得到了周期和開放Toda晶格之間的關系。此外algebra-geometrica

14、l方法關于開放Toda晶格是發(fā)展的。對于開放Toda格代數(shù)幾何方法的開發(fā)，基于李超代數(shù)方法，這是超級Toda晶格和超KdV方程有一定關系發(fā)現(xiàn).Baleanu和Baskal討論了個Lax方程的張量形式和Cartan撓率張量的幾何形式存在的透明。此外，給出了Toda晶格的Lax張量方程的解。Baleanu等人提出了Killing張量和Lax算子之間的聯(lián)系，并詳細分析了Toda晶格方程的應用，Ito和Locke研究了仿射Toda場方程，并得出

15、了一些有趣的解。Mahmood通過使用Darboux變換得到NC Painleve方程的準決定性解，其中Toda解在n = 1處。Klein和Roidot提出了對于雙曲線和橢圓形情況的波長極限（2 + 1）維度Toda的數(shù)值研究。Wu等人將離散小數(shù)演算的工具引入到擴散問題的離散建模</p><p>　　1.3 課題理論基礎介紹</p><p>　　對于二維Toda晶格方程：</p&g

16、t;<p><b>　　(1.1)</b></p><p>　　Nakamura【31】發(fā)現(xiàn)新的類型精確解（ripplon解，新的解反映了系統(tǒng)的基本多維度的影響事實上，方程（1.1）是修正拉普拉斯方程的離散化形式。（參考【31】）</p><p><b>　　(1.2)</b></p><p>　　在本文中，

17、我們采用了戴等人提出的方法，【13】在方程（1.1）的Riemannθ函數(shù)中直接構造周期波解通過進行合適的漸近分析，獲得并導出單周期和雙周期解。此外，我們繪制一些解的曲線來詳細分析解。</p><p><b>　　1.4 本文結構</b></p><p>　　本論文的結構如下，在第二章中，我們得出了2D Toda格方程的雙線性形式。在第三章中給出了一階周期波解和漸近

18、性。在第四章中，我們得到雙周期波解及其漸近性。類似于第三章，虛部的一些解曲線將被丟棄。</p><p>　　第2章二維Toda格方程的雙線性形式</p><p><b>　　我們考慮方程</b></p><p><b>　　(2.1)</b></p><p><b>　　通過作如下變換：&

19、lt;/b></p><p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　方程（2.1）具有雙線性形式：</p><p><b>　　(2.3)</b></p><p>　　其中，這是由于積分的結果。在文獻【4】中對Hirota 雙線性微分算子做了如下定義：</p>&

20、lt;p>　　差分運算符被定義為：</p><p>　　從Hirota算子的定義我們可知關系： </p><p>　　其中此外，我們很容易推導出關系： （2.4）</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p>　　第3章一維周期波解和漸進性</p><p><b&g

21、t;　　3.1一維周期波解</b></p><p>　　我們假設2D-Toda格方程的雙線性形式的Riemann theta函數(shù)解為：</p><p><b>　　(3.1)</b></p><p>　　其中是一個對稱矩陣，且</p><p>　　我們考慮N = 1的情況，則（3.1）變?yōu)椋?lt;/p>

22、;<p><b>　　(3.2)</b></p><p>　　為了使上述形式可以成為一個解，p，l，可以不是獨立的，我們繼續(xù)找到他們的關系</p><p>　　將（3.2）代入（2,3）再用（2,4）-（2.5）我們可以得到：</p><p>　　其中引入了新的求和指數(shù)，被定義為： </p><p>&

23、lt;b>　　（3.3）</b></p><p>　　在等式（3.3）中，令 ，我們可以得到：</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　這個關系意味著如果有 此時就有 </p><p>　　通過這種方式，我們可以得出：</p><p><b>

24、;　　（3.5）</b></p><p><b>　?。?,6）</b></p><p><b>　　表示 </b></p><p>　　那么等式（3.5） - （3.6）簡化為： </p><p><b>　　（3.7）</b></p><p

25、><b>　　（3.8）</b></p><p><b>　　解決系統(tǒng)，我們有</b></p><p><b>　　（3.9）</b></p><p><b>　　(3.10)</b></p><p>　　系數(shù)p，l和u需要滿足（3.8），并且比照著

26、（3.2）和（2.2）給出單周期解。</p><p>　　3.2單周期波解的漸近性</p><p>　　眾所周知,2D Toda格方程的的孤子解可以作為周期解的極限。為此，我們將和極限寫為(或)。</p><p>　　定理1當時，（2.1）的周期解（3.1）傾向于通過（2.2）的孤子解。</p><p><b>　　(3.11) &

27、lt;/b></p><p><b>　　其中 ，且 </b></p><p>　　證明指出時，此時定義的量化在q的冪中擴展為：</p><p>　　此時，當時，有，因此</p><p>　　單周期波解（2.1）當收斂到</p><p><b>　　(3.12)</b>

28、</p><p>　　經(jīng)過一些繁瑣的計算，我們得出（3.11）</p><p>　　第4章雙周期波解及其漸近性</p><p>　　在下文中，我們考慮了（2 + 1）維Toda晶格方程（2.1）的雙周期波解，它是單周期波解的二維推廣。</p><p>　　4.1構建雙周期波解</p><p>　　現(xiàn)在我們來構建2D T

29、oda格方程的雙周期波解。令式（3.1）中的設N = 2并將其代入式（2.3）中，我們有</p><p><b>　　（4.1）</b></p><p>　　其中引入了新的求和指數(shù) ，被定義為:</p><p><b>　　(4.2)</b></p><p>　　這種關系意味著，如果</p&g

30、t;<p><b>　　那么 ，</b></p><p><b>　　表示 </b></p><p>　　在這里并且矩陣A和向量b的元素是：</p><p><b>　　那我們有</b></p><p><b>　　(4.3)</b><

31、/p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　并且是從替換列1-4與b</p><p>　　4.2雙周期波解的漸近性</p><p>　　2D Toda格方程的雙孤子解可以作為雙周期解的極限來獲得。</p><p>　　定理2假設和是滿足和的常數(shù)（下面給出</p><

32、;p>　　的定義）. 那么等式（2.1）的周期解（3.1）通過等式（2.2）趨向于孤子解. </p><p>　　并限制: (4.5)</p><p><b>　　(4.6)</b></p><p><b>　　其中 </b></p><p><b>　　通過數(shù)量來證明

33、：</b></p><p>　　我們以下列形式擴展了雙周期波解（3.1）（N = 2）：</p><p><b>　　(4.7)</b></p><p>　　我們現(xiàn)在驗證公式（4.5）和（4.6）。 為此，我們將中的每個函數(shù)擴展為和的系列. 我們只需要用和進行一階擴展來顯示漸近關系（4.5）和（4.6）。在這里，我們保留二階項，以便

34、看到兩個周期解和雙孤子解的參數(shù)之間更深的關系。</p><p><b>　　由</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　其中當 我們得到。由</p><p><b>　　(4.9)</b></p><p>　　其中由，我們得

35、到漸近關系：</p><p><b>　?。?.10） </b></p><p><b>　　由</b></p><p><b>　　（4.11）</b></p><p>　　其中由我們得到漸近關系：</p><p><b>　?。?.12）&

36、lt;/b></p><p><b>　　由</b></p><p><b>　?。?.13）</b></p><p>　　其中因為，我們得到漸近關系：</p><p><b>　?。?.14）</b></p><p><b>　　致

37、謝</b></p><p>　　時光飛逝，大學時光即將過去，很高興在這四年里能遇到許許多多很好的老師和同學，老師水平都很高，信息專業(yè)的同學們也很優(yōu)秀。無論在學習上，還是在生活上，他們給予了我很多幫助，在此表示感謝！此外，感謝家人一直以來都很支持我的學業(yè)，在經(jīng)濟上和精神上對我的支持，使我能安心在大學學習。在論文寫作期間我能有個安靜的環(huán)境，經(jīng)過幾個月的努力，在老師的指導下終于完成了大學的畢業(yè)論文寫作，在此

38、很感謝我的室友和老師。</p><p>　　首先，在此感謝老師，在老師的指導下我完成了論文的選題和寫作過程。同時在論文的寫作過程中，遇到許多難點，老師耐心指導，教會了我許多解決問題的技巧和方法，使我的論文能夠順利完成。另外和丁老師的交談中，老師的耐心指導和對我們未來發(fā)展的建議，收獲很多。從老師那學到許多為人處世的道理和為未來不懈奮斗的動力，這將是我終身受益的財富。在此向老師表示衷心的感謝！</p>

39、<p>　　另外感謝信息專業(yè)的同學們，回顧大學四年，很高興能遇到你們，回想起一幕幕的場景，一起去爬山游玩，班級舉辦晚會的情景，運動會的情景，一起自習，以及和小伙伴們?yōu)閴粝肫床那榫暗鹊龋诖酥x謝大家，希望大家的未來更美好！</p><p>　　最后，大家即將踏上一段新的旅程，未來是美好的，但需要我們?nèi)テ床ヅ?，愿大家的未來越來越美好?lt;/p><p><b>　　參

40、考文獻</b></p><p>　　1.Ablowitz,MJ,Clarkson,PA:Solitons,Nonlinear Equations and inverse Scattering.Cambridge University Press,Cambridge(1991)</p><p>　　2.Matveev,VB,Salle,MA:Darboux Transforma

41、tion and Solitons Spring.Berlin(1991)</p><p>　　3.Hirota,R,Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisitons.Phys.Rev.Let.27(18),1192-1194(1971)</p><p>　　4.Hirota,R,Satsum

42、a,J:Nonlinear evolution equation generated from the Backlind transformation for the Boussinesq equation.Prog.Theor.phys.57(3),797-807(1977)</p><p>　　5.Hirota,R:The Direct Method in Soliton Theory.Cambridge U

43、niversity Press,Cambrige(2004)</p><p>　　6.Hu,XB,Claekson,PA:Rational solutions of a differential-difference KdV equation,the Tode equationandthe discrete KdV equation.J.Phys.A,Math .Gen.28(17),5009-5023(1995

44、)</p><p>　　7.Geng,XG,Wu,YT,Cao,CW:Quasi-periodic solutions of the modified Kadometsev-Petviashili equation.J.Phys.A,Math.Gen.32(20),3733-3754(1999)</p><p>　　8.Dai,HH,Geng,XG:Explicit solutions o

45、f the 2+1-dimensional modified Toda lattice through straightening out of the relativistic Toda flows.J.Phy.Soc.Jpn.72(13),3063-3069(2003)</p><p>　　9.Geng,XG:Algebraic-geometrical solutions of some multidimen

46、sional nonlinear evolution equations.J.Phys.A,Math.Gen.36(9),2289-2309(2003)</p><p>　　10.Cao,CW,Wu,YT,Geng,XG:Relation between the Kadometsev-Petviashvili equation and the confocal involutive system.J.Math.P

47、hys.40(8),3948-3968(1999)</p><p>　　[11]Nakamura.A.A  direct method of calculatingperiodic wave solutions to nonlinear evolutions.I.  Exact two-peri

48、odic wave solution ,J.Phys.Soc.Jpn.47(5),1701-1705(1979)</p><p>　　[12] Nakamura.A.A direct Method of caculating periodic wave solutions to nonlinear evolution equations.II.Exact one-and two-p

49、eriodic wave solution of the coupled bilinear equations ,J.Phys.Soc.Jpn.48(4)1365-1370(1980)</p><p>　　[13]Dai,H.H,Fan,EG,Geng,X.G:Periodic wave solutions of nonlinear equations by Hirota’s bilibear method,ar

50、Xiv.nlin/0602015,1-22(2006).</p><p>　　14. Zhang ,Y,Ye,LY:On a direct periodic wave solutions of two-dimensional Boussinesq equation.Commun.Theor.Phys.49,815-824（2008）</p><p>　　15.Fan,EG,Hon,YC:O

51、n a direct procedure for the quasi-periodic wave solutions of the supersymmetric lto's equation.Rep.Math.Phys.66(3),355-365(2010)</p><p>　　16.Wu,YQ:Asymptotic behavior of the periodic wave solution for t

52、he (3+1) -dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation.Appl.Math.Comput.216,3154-3161(2010)</p><p>　　17.Ma,WX,Zhou,RG,Gao,L:Exac one-periodic and two-periodic wave solutions to Hirota bilinear equations in(2+

53、1)-dimensions.mod.Phys.Lett.A 24(21),1677-1688(2009)</p><p>　　18.Luo,L,Fan,EG:Quasi-periodic waves of theN＝1 supersymmetric modified Korteweg -de Vries equation.Nonliear Anal.74(2),666-675(2011)</p>&

54、lt;p>　　19.Nakamura,A:Exact cylindrical soliton solutions of the sine-Gordon equation ,the sinh-Gordon equation.J.Phys.Soc.Jpn.57(10),3309-3322(1988)</p><p>　　20.Kricheer,l,Vaninsky,KL:The periodic and ope

55、n Toda lattice.In:D'Hoker,E,et,al.(des.)Mirror Symmetry Iv.AMS/IP Studies in Advance Mathematics,vol.33,pp.139-158(2002)</p><p>　　21.Inami,T,Kanno,H:Lie superalgebraic approach to super Toda lattice and

56、generalized super KdV equations.Commun.Math.Phys.136,519-542(1991)</p><p>　　22.Baleanu,D,Baskal,S:Geometrization of the Lax pairs tensiors.Mod.Phys.Lett.A 15(24),1503-1510(2000)</p><p>　　23.Bale

57、anu,D,Karasu,A,Makhaldiani,N:About geometrization of the dynamics.Czachoslov.J.Phys.50(1),17-22(2000)</p><p>　　24.Ito,k,Locke,C:ODE/IM correspondence and Bethe ansatz for affine Todad fineld equations.Nucl.P

58、hys.B896,763-778(2015)</p><p>　　25.Mahmood,I:Quasideterminant solutions of NC Painleve ll equation with the Toda solution at n＝1as a seed solution in its Darboux transformation.J.Geom.Phys.95,127-136(2015)&l

59、t;/p><p>　　26.Klein,C,Rodiot,K:Numerical study of the long wacelencth limit of the Toda lattice.Mathematical Physics(2014)</p><p>　　27.Wu,GC,Baleanu,D,Zeng,SD,Deng,ZG:Discrete fractal diffusion equ

60、ation.Nonlinear Dyn.30(1),281-286(2015)</p><p>　　28.Li,CZ:Sato theory on the q-Toda hierarchy and its extension.Chaos Solitons Fractals 76,10-23(2015)</p><p>　　29.Bambusi,D,Kappleler,T,Paul,T:Dy

61、namics of periodic Toda chains with a large number of particles.J.Differ.Equ.258(12),4209-4274(2015)</p><p>　　30.Wu,GC,Baleanu,D,Deng,ZG,Zeng,SD:Lattice fractional diffusion equation interms of a Riesz-Caput