淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)型結(jié)合

1、<p>　　淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)型結(jié)合</p><p>　　諸暨市楓橋鎮(zhèn)中 汪慧蓮</p><p>　　數(shù)和形是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中兩大基礎(chǔ)概念,數(shù)型結(jié)合，簡(jiǎn)單的講就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系通過(guò)圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái)，然后引入一定的幾何知識(shí)，在簡(jiǎn)單分析的基礎(chǔ)上迅速找到解題的方向，再通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得到答案。這種將抽象思維與形象思維有機(jī)結(jié)合在一起的方法有時(shí)在快速方便地解選擇題和填空題的時(shí)候

2、尤為管用。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”?？梢?jiàn)數(shù)型結(jié)合的重要性。因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化，以探求事半功倍的教學(xué)效果。</p><p>　　一．利用數(shù)形結(jié)合，幫助理解公式</p><p>　　數(shù)學(xué)公式很重要，但死記硬背也容易忘記，若能學(xué)會(huì)公式的推導(dǎo)，問(wèn)題就能迎刃而解。比如完全平方和公式和平方差公式就可利用下圖

3、的面積形象地反映出來(lái)</p><p>　　如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）。把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，就可以推導(dǎo)出平方差公式：a2 － b2 =(a＋b)(a－b)</p><p>　　如圖2，可利用幾何圖形的面積推導(dǎo)出完全平方公式：（a＋b）2 = a2 ＋2ab＋ b2</p><p>　　這樣的例子還有很多。</p

4、><p>　　二．利用數(shù)型結(jié)合，方便快速解題</p><p>　　例1：計(jì)算 ＋＋＋＋…… ＋=？ 可設(shè)計(jì)圖3求出</p><p>　　例2：小華和小王在一條長(zhǎng)100米的直跑道上來(lái)回跑步，小華的速度是每秒跑10米，小王的速度是每秒15米。在小華跑完兩個(gè)來(lái)回的過(guò)程中，可以和小王相遇 次?</p><p>　　對(duì)于此題，可設(shè)計(jì)圖4快速得到

5、答案，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為相遇的次數(shù)。</p><p>　　例3：觀察下面的圖形（每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為1）和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：</p><p>　?、?×=1- </p><p>　?、?×=2- </p><p><b>　?、?×=3-<

6、;/b></p><p><b>　?、?×=4-</b></p><p><b>　　……</b></p><p>　　寫(xiě)出第五個(gè)等式，并在下面給出的五個(gè)正方形上畫(huà)出與之對(duì)應(yīng)的圖形：</p><p>　　猜想并寫(xiě)出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式。</p><p>

7、　　三．利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行知識(shí)串聯(lián)</p><p>　　在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)，有利于學(xué)生對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的掌握和應(yīng)用，更有利于掌握它們的共性及內(nèi)在聯(lián)系。</p><p>　　1.二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)與其他知識(shí)點(diǎn)之間的串聯(lián)</p><p>　　變量x與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的值，作為一對(duì)有序?qū)崝?shù)，在直角坐標(biāo)系中，得到二次函數(shù)y= ax2+bx+c

8、(a≠0)的圖象。二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2 + bx +c = 0(a≠0)的兩個(gè)根。而在x軸上方或下方的對(duì)應(yīng)的x的值，即為不等式ax2 + bx +c > 0（或ax2 + bx +c <0）的解。掌握了以下的圖表，（以a> 0為例）也就掌握了四個(gè)二次的關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)。</p><p>　　例4：二次函數(shù)y=ax2 + bx +c (

9、a≠0)的部分對(duì)應(yīng)值如下表，請(qǐng)你通過(guò)學(xué)過(guò)的處理數(shù)的辦法，探究不等式ax2 + bx +c>0的x的取值范圍是 </p><p>　　分析：由表可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1,而拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程ax2 + bx +c = 0(a≠0)的兩個(gè)根為x1=-1，x2=3。因?yàn)樵趯?duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大。所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口向上，

10、所以ax2 + bx +c > 0的x的取值范圍是x<-1 或x>3。</p><p>　　2．函數(shù)圖像與解方程和方程組之間的串聯(lián)</p><p>　　例5.解方程x2=2 x+3</p><p>　　可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y= x2-2 x -3 的圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，橫坐標(biāo)的值即為方程的解。</p><p>　　例2.解方程

11、組 </p><p>　　可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y= x2-3和函數(shù)y=2 x 的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解。</p><p>　　例6.判斷方程 的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)</p><p>　　此方程不是我們熟悉的一元二次方程，所以用判別式無(wú)法判斷其根的個(gè)數(shù)，但我們可以將此題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，有幾個(gè)交點(diǎn)就意味著方程

12、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解。。</p><p>　　四．利用數(shù)型結(jié)合，解三角問(wèn)題</p><p>　　比如，15角的三角函數(shù)值，可以通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，再用代數(shù)的方法，求出直角三角形的邊長(zhǎng)，或直角三角形的兩邊的比，達(dá)到由數(shù)到形，再由形到數(shù)的巧妙結(jié)合。</p><p>　　例7、求sin150 和cos150</p><p>　　解：如圖6，延長(zhǎng)300的直角三

13、角形的一邊CB至D，使AB=BD， </p><p>　　則∠D=∠DAB=∠ABC=150，設(shè)AC=1，則DB=AB=2，BC=，由勾股定理得：AD=＋，</p><p>　　sin150=== cos150===</p><p>&