教師整體把握分式方程現(xiàn)狀研究——碩士論文

1、<p>　分類號：密  級：     </p><p>　單位代碼：學(xué)  號：     </p><p>　全日制攻讀教育碩士學(xué)位論文</p><p>　教師整體把握分式方程現(xiàn)狀研究</p><p>　姓 名：</p>

2、<p>　學(xué)科專業(yè)：</p><p>　指導(dǎo)教師：</p><p>　院 系：</p><p>　年    月    日</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，全球各國之

3、間的聯(lián)系越來越緊密，在教育發(fā)展上也呈現(xiàn)出了世界性的趨勢。在課程方面，提倡“課程綜合化、整體化”，打破各個領(lǐng)域之間的界限，在學(xué)科之間進行融合；提倡“課程內(nèi)部綜合化、反對知識碎片化”，整合學(xué)科內(nèi)部結(jié)構(gòu)，發(fā)展主干，弱化枝干，“先見森林，后見樹木”逐漸成為主流課程理念。數(shù)學(xué)課程改革遵循新的課程理念也在進行著大整改。為了有效的實施“整體化”對數(shù)學(xué)課程，教材編寫者、教師、教育評價等教育元素首先需要對數(shù)學(xué)課程整體化有深入的了解，本文研究各方面教育元素

4、對數(shù)學(xué)課程的整體把握現(xiàn)狀，以分式方程為例，意在發(fā)現(xiàn)在實施課改當(dāng)中存在的問題及其根本原因，從而大力的推動數(shù)學(xué)課程改革進程。</p><p>　　本文以認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論為基礎(chǔ)，通過分析《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》及各方面的文獻得出，整體把握分式方程要做到以下幾個方面：</p><p>　　（1）分式方程在數(shù)學(xué)大課程系統(tǒng)中所處的位置及與其它主線知識間的關(guān)系。</p><

5、;p>　　（2）“一點多維度”，從方程、分式、函數(shù)與不等式等維度深入了解分式方程的概念。</p><p>　　（3）分式方程中的方程的思想與轉(zhuǎn)化的思想。</p><p>　?。?）教學(xué)過程中，應(yīng)以求解分式方程為載體，體現(xiàn)演繹推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。</p><p>　　以上述理論為基礎(chǔ)，本文分析了人民教育出版社、北京師范大學(xué)出版社、蘇州科技大學(xué)出版三個版本的教材

6、及兩位在職教師的公開課，并對初中教師整體把握分式方程的現(xiàn)狀做了問卷調(diào)查，通過上述研究可以發(fā)現(xiàn)：</p><p>　　教材在某些方面沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的整體性</p><p>　　教師對分式方程的整體把握并不清晰</p><p>　　教學(xué)過程中不能有效的滲透數(shù)學(xué)課程的整體性</p><p>　　針對以上問題，教材編寫者應(yīng)加深對數(shù)學(xué)課程整體化的研究

7、并對教材進行相關(guān)的調(diào)整，教師應(yīng)當(dāng)加強自身的專業(yè)素養(yǎng)，研究并完善自身的學(xué)科知識結(jié)構(gòu)，在教學(xué)上選擇更加有效的教學(xué)方法，從而達(dá)到發(fā)展國民的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進國民綜合發(fā)展的目標(biāo)。</p><p>　　關(guān)鍵字： 課程整體化 反對知識碎片化 數(shù)學(xué)課程整體化 分式方程 整體把握 </p><p><b>　　Abstract</

8、b></p><p>　　With the development of science and technology, the global ties between countries more and more closely, especially in the education. In the curriculum, to promote "the integration of the

9、 curriculum ", to break the boundaries between the various areas, disciplines is fused; To promote "internal integration of the curriculum, against the fragmentation of knowledge", to integrate the interna

10、l structure of discipline, to develope of the trunk of discipline, weaken the branches, "First saw the fore</p><p>　　Based on the theory of cognitive structure , this paper analyzes the "compulsor

11、y education curriculum standard (2011 edition)" and som aspects of the literature, the overall grasp of the fractional equation to do the following aspects:</p><p>　　(1) the relationship between the pos

12、ition of the fractional equation in the math curriculum system and the relationship with other mainline knowledge.</p><p>　　(2) From the equation, fraction, function and inequality and other dimensions in-de

13、pth understanding of the concept of fractional equations.</p><p>　　(3) The thought of equation and the idea of transformation of fraction equation.</p><p>　　(4) During the teaching process, solv

14、ing the fraction equation should be used as the carrier, reflecting the rigor of deductive reasoning and accuracy.</p><p>　　Based on the above theories, this paper analyzes the three classes of textbooks, su

15、ch as People's Education Press, Beijing Normal University Press, Suzhou University of Science and Technology, and the open classes of two in-service teachers, and The questionnaire survey for the status quo of mathem

16、atics curriculum understanding in the junior middle school teachers. through the above study can be found:</p><p>　　(1) The textbook does not reflect the integrity of the math curriculum in some respects;<

17、;/p><p>　　(2) Teachers on the integral equation of the overall grasp is not clear</p><p>　　(3) The teaching process can not effectively penetrate the integrity of mathematics courses.</p>&l

18、t;p>　　In view of the above problems, the textbook writers should deepen the research on the integration of mathematics curriculum and adjust the teaching materials. Teachers should strengthen their professional accomp

19、lishment, study and perfect their own knowledge structure, choose more effective teaching methods in teaching, So as to achieve the development of national mathematics abstraction, logical reasoning, mathematical modelin

20、g, visual imagination, mathematical operations and data analysis and </p><p>　　Key words: curriculum holistic; opposition to knowledge fragmentation; mathematics curriculum holistic; fractional equation; ove

21、rall grasp</p><p><b>　　一、問題的提出</b></p><p><b>　　1. 研究背景</b></p><p>　　隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，全球各國之間的聯(lián)系越來越緊密，在教育發(fā)展上也呈現(xiàn)出了世界性的趨勢，尤其是在課程改革的方面，各國建立符合國家特性的課程標(biāo)準(zhǔn)，對各個層次課程質(zhì)量進行總體上的要

22、求；提倡“課程綜合化、整體化”，打破各個領(lǐng)域之間的界限，在學(xué)科之間進行融合；提倡“課程內(nèi)部綜合化、反對知識碎片化”，整合學(xué)科內(nèi)部結(jié)構(gòu)，發(fā)展主干，弱化枝干，以“先見森林，后見樹木”的教育理念，使得學(xué)習(xí)是在清晰、明確的目標(biāo)引導(dǎo)之下進行，培養(yǎng)國民的綜合能力，發(fā)展國民的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。</p><p>　　數(shù)學(xué)教育工作者對學(xué)科內(nèi)部知識的整體把握是數(shù)學(xué)課程改革巨大的

23、動力。研究各方面教育元素對數(shù)學(xué)課程的整體把握現(xiàn)狀可以發(fā)現(xiàn)在實施課改當(dāng)中存在的問題及其根本原因，從而大力的推動數(shù)學(xué)課程改革進程。</p><p>　　1.1課程整體化的改革趨勢</p><p>　　郭思樂教授（華南師范大學(xué)）提出了教育要走向“生本”，在教育兒童以自身能力去發(fā)展社會的基礎(chǔ)上，更注重教育他們挖掘自身的發(fā)展與自由意志，鼓勵兒童尋找自身的深層次的幸福感。從外部地位上看，學(xué)生是獨立的具

24、有主觀能動性的個體；從學(xué)生內(nèi)部的自身條件上看，兒童從出生開始就在不斷的學(xué)習(xí)，不斷的創(chuàng)新，擁有無數(shù)的潛能。兒童是教育所依，兒童的發(fā)展是教育的本體，兒童的自然天性和潛能的發(fā)展是教育的根本目的。生本教育指出，“一切為了學(xué)生”，現(xiàn)代課程改革要跳出打著學(xué)生本體為旗號的教師本體的誤區(qū)，一切為了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展；</p><p>　　在這樣的價值觀的基礎(chǔ)上，生本教育提倡“小立課程，大作功夫”的課程觀：“教給學(xué)生們盡可能精簡的基礎(chǔ)

25、知識，讓學(xué)生有更多的時間和精力去進行大量的活動?！惫淌谥赋?，這種課程觀之所以能夠成立，是因為系統(tǒng)功能：“由系統(tǒng)中的最小獨立子系統(tǒng)，可以得到或生成整個系統(tǒng)?！蹦壳?，學(xué)生在學(xué)習(xí)知識時是一點一點的學(xué)，如代數(shù)，先學(xué)習(xí)單項式多項式，再學(xué)習(xí)整式，對于整式的各種運算法則（加減、乘除、因式分解）要用三章的內(nèi)容學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生總帶著一種“學(xué)這些有什么用”的想法，比如起初學(xué)生剛剛開始接觸單項式，這個單項式能做什么呢？生活中能用嗎？在數(shù)學(xué)里有什么

26、用？這種疑問導(dǎo)致學(xué)生“不知所以學(xué)”，從而喪失了學(xué)習(xí)興趣?，F(xiàn)代教學(xué)中這種例子比比皆是，將知識內(nèi)容“過度分析”，如數(shù)學(xué)教學(xué)中的題型化，以高考卷子或是期中期末卷子為模板，考什么就講什么。“知識賴以產(chǎn)生、存在及發(fā)展的整體事物被拆解了，學(xué)生的思維變成了若干部分的拼裝”。</p><p>　　芬蘭課程改革：“先見森林，后見樹木”。芬蘭自在國際學(xué)生能力評比（PISA）測試中嶄露頭角之后，他的課程改革理念受到了全世界的關(guān)注。他的

27、“悖論”理念給予世界各國許多榜樣案例與啟迪，如“教的越少學(xué)的越多，考試越少學(xué)的越多”，強調(diào)了課程要選擇最重要的、最基礎(chǔ)的主干知識，把時間留給學(xué)生，讓學(xué)生將學(xué)習(xí)到的扎實的基礎(chǔ)功重組改造，完成應(yīng)用、創(chuàng)新等過程。實際上，這是一種教育起點的變化：解決一個問題。學(xué)生學(xué)習(xí)課程時并不知道這些課程有什么用處，經(jīng)常會有學(xué)生問“我們要拿二次函數(shù)去買菜嗎？”這類問題就是反應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)模糊的直接的證據(jù)。教師雖然對“二次函數(shù)”在數(shù)學(xué)、生活中的意義有一定的了解，

28、明確它的重要性，但卻從來沒有人跟學(xué)生提及過。</p><p>　　“理解復(fù)雜知識需要掌握組織成系統(tǒng)形式知識的不同方面，也即需要掌握組織成系統(tǒng)形式的知識整體或知識系統(tǒng)”。在開始學(xué)習(xí)之前讓學(xué)生先了解知識內(nèi)容在課程整體中的地位和作用有助于學(xué)生從根本上明確這一系統(tǒng)的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生將新知識納入原因的知識經(jīng)驗中，形成穩(wěn)定的實質(zhì)性的結(jié)構(gòu)，有助于激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動力。</p><p>　　1.2數(shù)

29、學(xué)課程整體化的改革趨勢</p><p>　　美國數(shù)學(xué)課程改革：“回歸基礎(chǔ)”。20世紀(jì)60年代，蘇聯(lián)將地球的第一顆人造衛(wèi)星送上太空之后，美國深感自身教育的不足，特別是數(shù)學(xué)教育，由此引起了長達(dá)幾十年的波折的數(shù)學(xué)課程改革：強調(diào)學(xué)科內(nèi)容與現(xiàn)代化知識相聯(lián)系，注重數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)化的“新數(shù)運動”；注重數(shù)學(xué)根本的“回歸基礎(chǔ)”運動；解決回歸基礎(chǔ)運動出現(xiàn)的“平庸性”問題的“問題解決”運動；由于過于重視問題解決而導(dǎo)致的“基礎(chǔ)性”知識和能

30、力缺失，從而出現(xiàn)了“課程標(biāo)準(zhǔn)”改革；由于課程標(biāo)準(zhǔn)中課程目標(biāo)“寬而不深”，課程內(nèi)容“廣而不精”，導(dǎo)致了教師不能得到清晰明了的教學(xué)方向，學(xué)生不能得到個性的發(fā)展，2006年“課程焦點”改革應(yīng)運而生。</p><p>　　從上世紀(jì)到今天的60多年的時間里，美國數(shù)學(xué)教育工作者不斷的摸索、試誤，在坎坷不平的數(shù)學(xué)課程改革道路上留下了寶貴的經(jīng)驗與教訓(xùn)。美國全國數(shù)學(xué)教師協(xié)會在2000編寫的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)：“數(shù)學(xué)是一

31、個統(tǒng)一、和諧的知識體系”，即數(shù)學(xué)具有整體性。因此，數(shù)學(xué)課程必須以一個整體出現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的主體及這些知識之間的聯(lián)系，并把這些聯(lián)系體現(xiàn)在基礎(chǔ)教育的各個階段，如：用幾何問題引入代數(shù)概念。</p><p>　　中國數(shù)學(xué)課程改革經(jīng)歷長久的的探索過程。1949年新中國成立，教育成為新中國的重大問題，根據(jù)當(dāng)時的政治背景，教育部門指出要全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)。但這種“片面”學(xué)習(xí)沒有結(jié)合中國自身的實際情況，導(dǎo)致數(shù)學(xué)

32、課程內(nèi)容“小而低”，因此迎來了“教育大改革”，大力加入一些課程內(nèi)容，如“微積分初步，解析幾何”等，這次實驗增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，降低了數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性，沒有成功。1961與1963教育部兩次修訂了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，提出了“基本知識和基本技能”，并且修訂了數(shù)學(xué)教材，但受到文化大革命影響，沒有實施，一直到新時期的課程改革，教育工作者不斷摸索、調(diào)查，在2001頒布了《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》，這項綱要標(biāo)準(zhǔn)著中國的基礎(chǔ)教育開啟了新的篇章。&l

33、t;/p><p>　　在不斷更新與細(xì)化數(shù)學(xué)課程改革的過程中，“數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的綜合化”受到越來越多教育工作者的推崇。學(xué)生需要從各個方面綜合發(fā)展，這種綜合性不能依靠一個一個的知識點教學(xué)，而要將數(shù)學(xué)“完整、系統(tǒng)”的展現(xiàn)在學(xué)生面前。因此打破“碎片化”的知識點內(nèi)容，不去過多的研究數(shù)學(xué)的細(xì)枝末節(jié)，利用“板塊”、“板塊之間的聯(lián)系”等思想，強調(diào)數(shù)學(xué)的主線內(nèi)容，主要思想，幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)系統(tǒng)的知識脈絡(luò)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容綜合化。</

34、p><p><b>　　2. 研究問題</b></p><p>　　課程改革的大浪潮下，數(shù)學(xué)課程的“整體化、系統(tǒng)化、反對知識碎片化”的課程理念已經(jīng)深入人心，相關(guān)研究也逐漸成熟。在實施“整體化”的過程中，課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、教師、教育評價等方面都需要相關(guān)教育工作者付諸實際的行動，進行改革與深化。</p><p>　　本文研究教材、教師兩方面踐行數(shù)學(xué)內(nèi)容整

35、體化理念的現(xiàn)狀：以分式方程為例，研究在教材的編寫上，階段性內(nèi)容的編排、章節(jié)內(nèi)容編排、每節(jié)課程內(nèi)容的編排是否遵循數(shù)學(xué)的“整體脈絡(luò)”；教師是否透徹的“整體把握”數(shù)學(xué)內(nèi)容并有效的貫穿于課堂當(dāng)中。以期發(fā)現(xiàn)目前數(shù)學(xué)內(nèi)容整體化在實施過程出現(xiàn)問題及其根本原因，并給出合理化的建議。</p><p><b>　　3. 研究意義</b></p><p>　　王尚志等教授在《整體把握與實踐

36、高中數(shù)學(xué)新課程》中說過，“整體地把握數(shù)學(xué)課程是值得特別關(guān)注的。知識和技能是需要一個一個地學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)課也需要一節(jié)一節(jié)地上，但是，在高中數(shù)學(xué)課程中，還是有一些“內(nèi)容”或“思想”更重要，更基本，貫穿在課程的始終?！?</p><p>　　整體把握數(shù)學(xué)課程對于教師來說，首先，有助于增強對于數(shù)學(xué)的理解。整體把握可以削枝強干，掌握通性通法，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)在聯(lián)系文獻；無論初中數(shù)學(xué)還是高中數(shù)學(xué)，整體把握數(shù)學(xué)課程，抓住數(shù)學(xué)課程的

37、“主線”，可以幫助教師了解各個主線之間的聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)主要的思想和方法，建立起數(shù)學(xué)主線的知識網(wǎng)絡(luò)，削去細(xì)枝末節(jié)，把握初中數(shù)學(xué)主要的“莖干”，從而能夠從多個角度看待同一個數(shù)學(xué)問題，并且找到解決問題的最根本的方法。例如，教師對高中數(shù)學(xué)主線“運算”“幾何”有整體的把握，不僅可以從角、邊、三角形全等與形似等幾何角度研究三角形的邊角關(guān)系，也可以利用余弦定理，從代數(shù)角度解決邊角問題。此外，在整體把握數(shù)學(xué)課程的過程中，需要將數(shù)學(xué)內(nèi)容“上下聯(lián)系”。例如

38、函數(shù)，下至“常量與常量”之間的關(guān)系，上至“微積分”等數(shù)學(xué)內(nèi)容都與函數(shù)相聯(lián)系，在聯(lián)系的過程中教師會逐漸開拓數(shù)學(xué)認(rèn)知，找到一類數(shù)學(xué)問題由上至下的根本性質(zhì)，即開闊視野，抓住本質(zhì)；</p><p>　　其次，有助于教師增強對數(shù)學(xué)教育的理解。在備課時，教師的教學(xué)設(shè)計會根據(jù)新課在數(shù)學(xué)課程中、整個學(xué)期中、整個單元、整個數(shù)學(xué)中的地位，得到本節(jié)課的知識目標(biāo)、思想目標(biāo)在整體中比重，從而設(shè)計出本節(jié)課的新概念需要學(xué)生理解到什么程度，思想

39、方法應(yīng)該深入一些還是淺嘗輒止。在上課過程中，會根據(jù)教學(xué)設(shè)計控制課程難度與深度，并有意識的用適當(dāng)?shù)难哉Z體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“整體性”，使學(xué)生了解本節(jié)內(nèi)容在他未知的數(shù)學(xué)世界中所處的位置，“知其所以學(xué)”，培養(yǎng)學(xué)生“整體把握”的意識，幫助學(xué)生形成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力。</p><p><b>　　二、研究設(shè)計</b></p><p><b>　　1. 研究對象</b&

40、gt;</p><p>　　本文主要以各版本教材（包括北師大版、人教版、蘇教版三個版本）、中考大綱、教師的教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實錄為研究對象。 </p><p>　　2. 研究方法和思路</p><p>　　本文主要采用文獻分析法、問卷調(diào)查法和案例分析法三種方法相結(jié)合進行研究。</p><p>　　文獻分析法：對現(xiàn)在仍然存在的有關(guān)分式方程的文獻、

41、教師的教學(xué)設(shè)計、課堂實錄、中考大綱等進行分析，分析內(nèi)容包括：文獻中理解分式方程概念的角度、求解分式方程的主要思想和方法、數(shù)學(xué)解題教學(xué)邏輯的研究現(xiàn)狀；、</p><p>　　案例分析法：觀摩幾位教師的數(shù)學(xué)課堂，從課程結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法、教學(xué)能力等方面分析教師對數(shù)學(xué)課程等整體把握現(xiàn)狀。</p><p>　　調(diào)查問卷法，從上述幾個角度調(diào)查教師對數(shù)學(xué)課程特別是代數(shù)課程的整體把握的狀況，了

42、解教師在一線課堂中如何呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的整體性及邏輯性。</p><p><b>　　研究的思路見下圖：</b></p><p>　　三、整體把握分式方程的理論依據(jù)</p><p>　　1．與分式方程有關(guān)的的數(shù)學(xué)知識</p><p>　　1.1分式：一般地，如果 表示兩個整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.</p&

43、gt;<p>　　1.2分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。</p><p>　　1.3增根（北師大版）：求解分式方程后，對增根這樣描述：在這里， </p><p>　　不是原方程的根，因為它使得原分式方程的分母為零，我們稱它 </p><p>　　為原方程的增根。產(chǎn)生增根的原因是，我們在方程的兩邊同乘了一個可</p>&l

44、t;p>　　能使分母為零的整式。</p><p>　　1.4無解：方程本身就是一個矛盾的等式，無論未知數(shù)取何值，都無法使得這個</p><p><b>　　方程兩邊的值相等。</b></p><p>　　1.5 方程同解原理：在解方程組中，必須對方程（組）進行數(shù)學(xué)變形，使之轉(zhuǎn)變?yōu)樽詈唵蔚姆匠蹋ńM），然后，求得方程（組）的解集。在變形和運算

45、過程中，有時會改變原方程（組）的定義域，使求得的解集與原方程的解集不相同，當(dāng)真包含時，中含有某些解不是原方程的解，稱這些解為原方程的增根，反之稱為失根。在分式方程的變形中，變形后的定義域范圍擴大，所以必須對分式方程進行驗根。</p><p>　　2. 分式方程的歷史</p><p>　　想要全面把握分式方程，它產(chǎn)生的歷史過程是最有借鑒意義的研究材料。</p><p>

46、;　　經(jīng)查閱文獻，分式方程最早始于金元時期的數(shù)學(xué)家李冶。他的畢生創(chuàng)作中有一本書叫做《測圓海鏡》，這本書共十二卷，其中第七卷第二問中有這樣的記錄：</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　李冶老師把上述方程左右兩邊同時乘以，得到</p><p>　　易知，①式是我們熟知的分式方程的雛形，但那時還沒有對分式方程嚴(yán)格的定義和認(rèn)識。

47、李治老師在處理這個分式方程的過程中，將方程左右兩邊同時乘以, 事實上，這種方法就是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解的雛形。李冶老師突破了分式與整式之間的界限，利用“轉(zhuǎn)化”的思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。由于文獻受限，我們對這種處理可以有以下幾種猜想：</p><p><b>　　已知分母不為0；</b></p><p>　　并沒有意識到分母不可以為0</p>

48、<p>　　雖然很明顯方程的根中并不包含，但李冶老師對于此方程的解</p><p><b>　　有意識的排除的解</b></p><p>　　如果出現(xiàn)，也當(dāng)做正解</p><p>　　以上兩個猜想我們無法證實，但是李冶老師在1248年就完成了這部著作，而當(dāng)時對“分?jǐn)?shù)分母不為0”的認(rèn)識尚沒有人提出，我們有理由猜想在處理上述方程的過程

49、中，李冶老師并沒有意識到分母不可以為0，自然如果當(dāng)方程的解包含時，除去實際意義以外，他并不能夠把刨除于正解之外。即便如此，李冶老師的這段著作也成為了全球數(shù)學(xué)史上最早發(fā)現(xiàn)并求解分式方程的著作。</p><p>　　這部作品之后的600年，在英國才出現(xiàn)了一位研究分式方程的數(shù)學(xué)家：劍橋大學(xué)第四任盧卡斯數(shù)學(xué)教授桑德森。</p><p>　　分式方程，桑德森先生對上述分式方程做了如下處理：</

50、p><p>　　為了驗證這個解法是正確的，先生還給出了以上解法的逆過程：</p><p><b>　　于是原方程的根為</b></p><p>　　可以發(fā)現(xiàn)，上述方程與李冶老師的方程有一些不同：左右兩邊都含有公因式，因此在處理的過程中，首先，桑德森先生在方程的左右兩邊同時除以, 如果，那么步驟是成立的。但如果，對方程做兩邊同除的處理是沒有意義的。這

51、個問題在求解整式方程中也會頻繁的出現(xiàn)。同理可得，在桑德森逆向的過程中包含了方程兩邊同時除以，如果或，那么這一步驟也是沒有意義的。</p><p>　　其次，桑德森先生在方程的左右兩邊同時乘以了，這種解法與李冶老師的解法異曲同工，都是為了將分式方程轉(zhuǎn)化為我們熟知的整式方程進行求解。</p><p>　　從以上兩個步驟中，我們可以推斷出，桑德森先生在當(dāng)時并沒有增根和丟根兩種意識。雖然他采用了帶

52、入的方法來檢驗求解是否正確，但可惜的是，第一，這種驗證確實可以驗證是否是方程的根，但并不能檢驗出是否是方程所有的根；第二，這個歷史性的方程利用這種解法求得的解沒有出現(xiàn)增根，否則桑德森先生一定會得出更加細(xì)致的結(jié)論。</p><p>　　到此為止，兩位數(shù)學(xué)家分別代表東西方國家在分式方程中做出了巨大貢獻與突破，也都利用了“轉(zhuǎn)化”的重要數(shù)學(xué)思想，將分式方程轉(zhuǎn)化為當(dāng)時比較熟悉的整式方程。但當(dāng)時的數(shù)學(xué)尚在發(fā)展時期，“分析的嚴(yán)

53、密化運動”為上述兩種解法畫出了一個大大問號：</p><p>　　1880年，“零能否作除數(shù)”被分析的嚴(yán)密化運動牽扯出來，并在很多國家中被當(dāng)做一個“重要問題”討論。德國數(shù)學(xué)家李普西斯（R.Lipachitz）、哈克奈爾（A.Hamack）、奧地利數(shù)學(xué)家斯托爾茨（O.Stolz，1842-1905）相繼指出零不能作除數(shù)。這個命題與分式方程的求解有著極其密切的關(guān)系。這個問題的討論引起了一些數(shù)學(xué)家的重視，他們開始把分式

54、方程作為一個專門的課題來研究，可以說這次運動也在一定程度當(dāng)促進了分式方程求解的發(fā)展。</p><p>　　直到1882年，美國康乃爾大學(xué)3位數(shù)學(xué)教授奧里佛（J.E.Oliver）、威特（L.A.Wait）和瓊斯（G.W.Jones）在他們合著的《代數(shù)》中討論了分式方程的解法.他證明了下面的定理：方程兩邊乘以同一個數(shù)，若這個數(shù)既不是未知的函數(shù)，也不是0或，則方程的根不變。</p><p>　

55、　三位數(shù)學(xué)家的定理比之前李冶老師與桑德森先生的解法更加嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，也在一定程度上推翻了兩位數(shù)學(xué)家的解法：</p><p>　　分式方程的定義中有決定性的一點：分母含有未知數(shù)。因此分式方程中的分母可以看作是這個未知數(shù)的函數(shù)，如果在方程兩邊同時乘以公分母，等價于乘以一個“未知的函數(shù)”，這與上述定理是相悖的。因此，這種解法勢必會導(dǎo)致求解不精確。</p><p>　　到了這個階段，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識到

56、了原始解法中的“增根和失根”的問題。為了避免在解方程的過程中增加或丟失方程的結(jié)果，在賓夕法尼亞大學(xué)的任教的數(shù)學(xué)教授費舍（G.E.Fisher）和施瓦特（I.J.Schwatt）在《代數(shù)課本》（Text-Book of Algebra）中給出了另外一種解法：</p><p>　　將分式方程進行整理，移項通分，寫成的形式，其中，此時這個方程的解與的解相同。這種解法產(chǎn)生于更加完善的數(shù)學(xué)背景之下，數(shù)學(xué)家們在對分式方程有了

57、完整的理解和把握之后，同樣利用了“轉(zhuǎn)化”的思想，將分?jǐn)?shù)等于零，轉(zhuǎn)化為分子（即整式）等于零，從而解決了“增根和失根”的問題，不需要進行任何檢驗。如題</p><p><b>　　通分得，解得</b></p><p>　　費舍（G.E.Fisher）和施瓦特（I.J.Schwatt）給出的解法為求解分式方程畫上了完美的句號。</p><p>　　至

58、今為止，基礎(chǔ)教育求解分式方程仍然沿用以上兩種方法，但“乘公倍式，帶方程檢驗”的方法居多（普遍使用的各版本教材均為此解法）</p><p>　　縱觀分式方程解法的發(fā)展歷史，數(shù)學(xué)家們起先是在沒有意識到“零不能做除數(shù)”的背景下，利用轉(zhuǎn)化的思想，將分式方程左右兩邊同時乘公分母轉(zhuǎn)化為整式方程進行求解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，而直到人們意識到這種解法可能會改變方程的解時，“增根”這一由于錯誤的解法而出現(xiàn)的“附屬品”才進入人們的視線

59、。因此，數(shù)學(xué)家們便對過去的方法進行了改進：</p><p>　　仍然沿用“轉(zhuǎn)化”的方法，但需要將所得方程的根帶入原方程進行檢驗， </p><p><b>　　從而出現(xiàn)了增根。</b></p><p>　　不采用最初的分式轉(zhuǎn)整式的方法，而是將分式方程移項通分，另其轉(zhuǎn)化為等價命題：若分?jǐn)?shù)為0，則分子為0。</p><p&

60、gt;　　總結(jié)分式方程及其求解的歷史過程：人們意識到，分母中含有未知數(shù)的方程是一種新的方程，可以將它轉(zhuǎn)化為熟知的整式方程求解，于是“乘公分母法”應(yīng)需而生。但當(dāng)人們對分?jǐn)?shù)、分式及分式方程有了更加深入的認(rèn)識：“分母不能為0”時，產(chǎn)生了“若分?jǐn)?shù)為0，則分子為0”的更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?，改正了最初求解時“增根、漏根”的錯誤。</p><p>　　兩種解法的歷史背景不同，我們可以想象，如果在求解分式方程之前，就已經(jīng)存在“零不能做

61、除數(shù)”的命題，這種解法會不會出現(xiàn)呢？如果我們在做出結(jié)論之前，就對相關(guān)的知識有了整體無誤的把握，會不會降低錯誤的出現(xiàn)率呢？</p><p>　　3．整體把握分式方程的理論依據(jù)</p><p>　　認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論認(rèn)為，一切有意義的學(xué)習(xí)都是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，不受原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)影響的有意義學(xué)習(xí)是不存在的。一切有意義的學(xué)習(xí)必然包括遷移，遷移是以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為中介進行的，先前學(xué)習(xí)所獲得的新經(jīng)驗

62、，通過影響原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)特征影響新學(xué)習(xí)。 認(rèn)知結(jié)構(gòu)識指學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識和經(jīng)驗，掌握的清晰程度以及這些知識和經(jīng)驗的組織方式，包括學(xué)生能自己總結(jié)出的命題、概念、理論等等。</p><p>　　如若想要對分式方程有著清晰、整體的把握，就需要我們在學(xué)習(xí)時，自己有意識的將能夠和分式方程聯(lián)系的原有的知識和經(jīng)驗與新知識“分式方程”進行同化和區(qū)分， 把分式方程納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中。因此必須分式方程 有關(guān)的基礎(chǔ)知識：

63、分式、方程兩個板塊有清晰、深入的理解。</p><p>　　《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（簡稱“課標(biāo)”）對分式方程的課程目標(biāo)設(shè)置為：能解可化為一元一次方程的分式方程。這里特別強調(diào)了轉(zhuǎn)化的思想：分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即整式方程。分式方程是與整式方程相并列的兩種重要的方程，利用分式方程可以解決一部分?jǐn)?shù)學(xué)問題與生活中的實際問題。此外，“課標(biāo)”中提出“整體考慮知識之間的關(guān)聯(lián)”，“一些知識之間存在著實質(zhì)性的聯(lián)

64、系，這種聯(lián)系體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領(lǐng)域，也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領(lǐng)域”。筆者根據(jù)“課標(biāo)”設(shè)置的課程內(nèi)容與王尚志教授的指導(dǎo)，總結(jié)出下列分式方程的結(jié)構(gòu)圖。</p><p>　　眾所周知，“方程、函數(shù)、不等式”之間存在著實質(zhì)性的聯(lián)系，分式方程建立在分式的基礎(chǔ)上，它與整式方程并列構(gòu)成方程的重要組成部分，并且分式方程可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程。初中階段，分式方程是簡單的反比例函數(shù)型函數(shù)函數(shù)值為0時的結(jié)果。高中階段，必修1中經(jīng)常會遇到含有分

65、式的復(fù)合函數(shù)；必修2的立體幾何部分會出現(xiàn)比例問題，通常利用方程的思想列出分式方程解決問題；必修3的概率統(tǒng)計中，當(dāng)總體數(shù)量未知時也會出現(xiàn)分式；必修4的三角函數(shù)，必修5的余弦定理都會頻繁的出現(xiàn)分式方程。這些內(nèi)容會對加深分式方程的理解都有螺旋式上升式的啟發(fā)與幫助。</p><p>　　數(shù)學(xué)教育要考慮學(xué)生之前學(xué)過什么：即考慮從分式角度、方程角度分析，形成分式方程的概念。再考慮未來會在哪些模塊出現(xiàn)這些概念，比如高中階段還可

66、以從函數(shù)角度分析（定義域、值域、性質(zhì)），。在學(xué)習(xí)對不同階段，會對“分式方程”有新的更加深入和本質(zhì)的理解。因此，王尚志教授說過，“對于一個重要的概念，需要通過不同的維度，不同的角度加深對它的認(rèn)識”。</p><p>　　“課標(biāo)”中指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的推理能力。它貫穿于小、初、高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程，是數(shù)學(xué)最基本的思維方式。其中，演繹推理是推理的重要組成部分，“從已有的事實（包括定義、公理、定理等）

67、和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理等法則證明和計算?！痹谘堇[推理的過程中，只有嚴(yán)格遵守“確定的規(guī)則”才能保證推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，使得結(jié)果準(zhǔn)確無誤。</p><p>　　正G·波利亞在他的著作《怎樣解題》中曾說，“解題的成功要靠正確的轉(zhuǎn)化”。我們已經(jīng)有的知識和經(jīng)驗是解決數(shù)學(xué)問題的法寶。在已經(jīng)對“分式”“方程”“整式”等知識有了穩(wěn)定的、清晰的認(rèn)知的基礎(chǔ)上，去求解分式方程，就可以把新概念

68、轉(zhuǎn)化為我們已有的知識經(jīng)驗去解決和研究，化生為熟，化繁為簡，化難為易。因此，“轉(zhuǎn)化”思想是求解分式方程的重要思想。這種思想貫穿著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終：小學(xué)階段，將除法轉(zhuǎn)化為乘法：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。高中階段，轉(zhuǎn)化思想更是重復(fù)出現(xiàn)：解析幾何中，幾何問題與代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化，相輔相成；在導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、解三角形中大大小小的轉(zhuǎn)化問題比比皆是。</p><p>　　4. 整體把握分式方程</p><

69、p>　　根據(jù)對分式方程的發(fā)展過程的梳理，受到王尚志老師的啟發(fā)，經(jīng)張景斌老師、劉曉玫老師、王瑞霖老師的指導(dǎo)，以認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)理論為理論根基，本文得出應(yīng)從以下幾個方面整體把握分式方程：</p><p>　?。?）分式方程在數(shù)學(xué)大課程系統(tǒng)中所處的位置及與其它主線知識間的關(guān)系。分式方程與整式方程是方程的重要組成部分，方程、實數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)與不等式共同組成了初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的大模塊，并且在高中階段反復(fù)出現(xiàn)。&l

70、t;/p><p>　?。?）“一點多維度”，深入了解分式方程的概念。第一，從方程所具有的本質(zhì)把握分式方程。它應(yīng)當(dāng)滿足方程的定義和求解原理，如方程左右兩邊同時乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)，方程的解不變；第二，從分式所具有的本質(zhì)特征理解分式方程，因此分式方程在定義和運算方面都需要滿足分式的相關(guān)要求，如分母不為零。第三，方程、函數(shù)、不等式有著實質(zhì)性的聯(lián)系，如函數(shù)的零點就是分式方程的根，分式不等式解的邊界（如果有邊界）就

71、是分式方程的根。</p><p>　?。?）分式方程的思想方法。首先，方程的思想：能夠?qū)嶋H問題中的未知量設(shè)為已知量，利用等量關(guān)系抽象出數(shù)學(xué)模型進而解決問題的思想。需要經(jīng)歷抽象數(shù)學(xué)模型——代數(shù)推理（轉(zhuǎn)化）——檢驗結(jié)果是否符合實際意義——優(yōu)化結(jié)果的過程。第二，轉(zhuǎn)化的思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為熟知的整式方程（初中階段為一元一次方程）求解。此外，要熟知方程的思想和轉(zhuǎn)化的思想在未來學(xué)習(xí)中可能會出現(xiàn)的階段。</p>

72、;<p>　?。?） 由于數(shù)學(xué)教育的特殊性，教育工作者需要讓學(xué)生體會到“原汁原味”數(shù)學(xué)知識、思想方法和思維方式。邏輯推理（合情推理和演繹推理）是數(shù)學(xué)最基本的思維方式，教授分式方程，應(yīng)以求解分式方程為載體體現(xiàn)演繹推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。</p><p><b>　　四、研究過程</b></p><p><b>　　1. 教材分析</b>

73、</p><p>　　就教材版本而言，不同的地區(qū)有自己選擇教材的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)，在全國范圍內(nèi)，使用地區(qū)最多，影響最廣的當(dāng)屬人民教育出版社出版的教材（簡稱人教版），這是中國目前最權(quán)威、最成熟的教材。除此之外，北京師范大學(xué)出版社（簡稱北師大版）、江蘇科學(xué)技術(shù)出版社（簡稱蘇科版）出版的教材也成為了“后起之秀”，除了在本地使用以外，其他地區(qū)經(jīng)過慎重考慮后也選擇了這兩個版本的教材。當(dāng)然，目前還有許多其他版本，本文不一一贅述，只

74、選擇這三版最具權(quán)威、最新理念及最具有地方代表性的教材作為分析材料。</p><p><b>　　1.1結(jié)構(gòu)分析</b></p><p>　　人教版“分式方程”版塊位于八年級上冊第十五章“分式”的第三節(jié)“分式方程”；北師大版“分式方程”版塊位于八年級下冊第五章“分式與分式方程”的第四節(jié)；蘇科版“分式方程”版塊位于第八章“分式”第五節(jié)。在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“整式的加減與乘除

75、、因式分解”“一元一次方程”“一元一次不等式（組）”的相關(guān)知識。（學(xué)段+章節(jié)）</p><p>　　從分式方程在初中學(xué)段的位置來看，整式—整式方程（一元一次方程）、不等式安排在分式方程之前，“反比例函數(shù)”安排在其之后；從分式方程在章節(jié)中的位置來看，分式—分式的性質(zhì)及其運算在分式方程之前，并且與分式方程相鄰，這種安排方案符合認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)理論，將方程、整式、分式等相關(guān)內(nèi)容先納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中，知識內(nèi)容及難度呈螺旋

76、上升式，使得學(xué)生對上級知識有清晰的認(rèn)識，有利于將這些已有的認(rèn)知遷移到新概念中。下圖是根據(jù)三個版本教材繪制的分式方程在學(xué)段及章節(jié)中的結(jié)構(gòu)框圖。</p><p><b>　　1.2 概念分析</b></p><p>　　人民教育出版社出版（八年級上冊）</p><p>　　人教版在處理分式板塊時，以探究江水流速的的問題作為章頭圖，在求解的過程中得到

77、幾個分式，從而引發(fā)學(xué)生思考。在引入“分式”的概念時，教材采用的是“從分?jǐn)?shù)到分式”，學(xué)生在小學(xué)期間就已經(jīng)對分?jǐn)?shù)有了一些基礎(chǔ)的認(rèn)識，從分?jǐn)?shù)的角度看分式，將分?jǐn)?shù)的性質(zhì)類比到分式當(dāng)中，如分?jǐn)?shù)的分母不能為0（0不能做除數(shù)）可以類比到分式的分母同樣不能為零；</p><p>　　再結(jié)合前一章剛剛學(xué)習(xí)的整式的相關(guān)運算，從整式角度看分式，單項式和多項式、整式、分式共同構(gòu)成了代數(shù)式，分式的分子和分母分別看作是兩個整式，單對分子（分

78、母）可以做整式的相關(guān)運算。根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，舊知識有利于增強學(xué)生對分式的理解，對比知識有利于學(xué)生構(gòu)建完整的學(xué)科體系，從分?jǐn)?shù)、整式兩個角度喚起學(xué)生已有的知識經(jīng)驗與分式方程相聯(lián)系、對比，符合“整體把握”的原則。</p><p>　　教材在研究了分式的性質(zhì)及相關(guān)運算之后，開始了對分式方程的研究。人教版在處理分式方程時，分式方程概念只占了1/4頁的篇幅，首先把章頭圖的實際例子抽象為數(shù)學(xué)語言，列出方程。通過對方程的觀察

79、可以得到分式方程的概念：“分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程。我們以前學(xué)過的方程都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中”。由上小節(jié)對教材結(jié)構(gòu)的分析，我們知道“以前學(xué)過的方程”指的是一元一次方程，二元一次方程等，它們都是整式方程。這句話在教學(xué)過程中可以引起學(xué)生對“分式方程與整式方程間的區(qū)別”的思考：整式方程中的分母沒有未知數(shù)。這一段落對比了兩種方程，這是從方程的角度看分式方程。</p><p>　　到此，對分式方程概念

80、的理解教材已經(jīng)止步了。可以發(fā)現(xiàn)，在概念的把握上，教材只從方程的角度研究了分式方程，關(guān)于分式、函數(shù)與不等式的角度教材并沒有提及。反比例函數(shù)是后期學(xué)生需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，函數(shù)與不等式的角度在初中階段不做過高的要求，因此可以在高中階段慢慢深入。</p><p>　　但分式方程雖然是與“分式”是不同的兩個概念，也并不同分式的運算及性質(zhì)一樣是隸屬于分式的知識，它具有自身的定義及計算方法，但仍是建立在分式的基礎(chǔ)上衍生而出的知識內(nèi)

81、容。因此，從分式的角度理解分式方程非常必要。例如，分式方程中包含分式，那么分式方程的“分母也不能為零”，由此需要對未知數(shù)的取值范圍有一個明確的界定。</p><p>　　北京師范大學(xué)出版社出版（八年級下冊）</p><p>　　在分式方程的概念理解的部分，北師大版提供了3個實際生活中的例子，學(xué)生在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時經(jīng)歷了抽象、建模的過程，通過觀察、對比、歸納得到了分式方程的定義，從

82、方程的角度看待分式方程。雖然北師大版分式方程的概念占用了大概1頁半的篇幅，但大多是為了讓學(xué)生能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并辨別出分式方程：“滿足怎樣的方程？哪些是分式方程？”</p><p>　　同人教版一樣，教材沒有從分式的角度解讀分式方程。</p><p>　　江蘇科學(xué)技術(shù)出版社出版（八年級下冊）</p><p>　　蘇科版教材在分式的處理上與上述兩個教材不盡

83、相同。蘇科版利用兩個生活中的實際例子得到分式，這其中并不包含分?jǐn)?shù)，即它并沒有從分?jǐn)?shù)的角度入手去引入分式，但在后來仍然由“小人”提出了一個問題：分式與分?jǐn)?shù)有什么不同？以期讓學(xué)生自行找到分?jǐn)?shù)與分式之間的區(qū)別和聯(lián)系，建立起新舊知識之間的紐帶。</p><p>　　此外，分式的值隨著未知數(shù)的變化而變化是蘇科版在處理分式上最大的特點，它強調(diào)分式可以表示不同的實際意義，也會因為未知數(shù)的值變化導(dǎo)致分式的值發(fā)生變化，將分式與函數(shù)

84、建立的聯(lián)系，強調(diào)了“分母不能為零”。此外，蘇科版對分式方程概念的解讀與上述兩個教材異曲同工。附錄：教材內(nèi)容</p><p>　　1.3 思想方法分析</p><p>　　三個教材都把方程的思想貫穿于“分式方程”整節(jié)課始終，教材中的問題我們可以看出：“你能解決這個問題嗎？—列方程—這個方程如何解呢？—答” 經(jīng)歷了抽象數(shù)學(xué)模型—代數(shù)推理—檢驗結(jié)果是否符合實際意義的整個過程。</p>

85、<p>　　在求解分式方程時，人教版和北師版提出了相同的問題：能否把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程呢？這里使用了提問（北師版是提示）的方式，引導(dǎo)學(xué)生將新知識與已有的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，很明顯的利用了“轉(zhuǎn)化”的思想來求解分式方程。</p><p>　　蘇科版在這里的處理與兩個版本并不相同。如下圖所示：</p><p>　　蘇科版以之前學(xué)習(xí)過的含有分母（但分母中不含字母）的整式方程為例，由

86、于含有分母的多項式與分式有著形式上的相似，前者求解時可以去分母，因此學(xué)生推斷出后者在求解時可能也可以先去分母，這種“由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也可能有相同或相似的推理形式”叫做類比【文獻】。雖然最終目的是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但這種處理的“轉(zhuǎn)化”思想要比“類比”思想更弱。</p><p>　　1.4 思維方式分析（求解分式方程）</p><p>　　在求解分

87、式方程時，人教版、北師版、蘇科版三個版本的教材采用相同的求解辦法：方程左右兩邊同乘最簡公分母，將“分式轉(zhuǎn)化為整式”，求解所得的整式方程，檢驗所求根是否使得原方程有意義。</p><p>　　三個教材將求解分式方程分兩部分處理，第一部分給出上述方法求解不會出現(xiàn)增根的分式方程，目的是為了讓學(xué)生經(jīng)歷將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程，體會“轉(zhuǎn)化”的思想；第二部分給出上述方法求解會出現(xiàn)增根的分式方程，意在利用反例讓學(xué)生體會為

88、什么出現(xiàn)“增根”及解決辦法。最后歸納出求解分式方程的方法：去分母，求解整式方程，檢驗。由于檢驗會查出整式方程的根是否使得分式方程有意義，這一步就成了求解分式方程至關(guān)重要的一步。</p><p>　　值得特別的注意的是，</p><p>　　（1）在各個版本教材的“一元一次方程”的課程中，沒有“檢驗”的步驟，在求解第一個分式方程時，出現(xiàn)了“經(jīng)檢驗”的步驟。</p><p&

89、gt;　　（2）此處的檢驗與我們熟知的檢驗有本質(zhì)的區(qū)別。在利用方程同解原理求解一元一次方程后，將所求根帶入原方程進行檢驗，目的是為了檢查在求解過程中是否有計算錯誤，或者求得的解是否具有實際意義。而分式方程在結(jié)尾處的檢驗，卻是因為“乘公分母”的方法會擴大方程中未知數(shù)的取值范圍，導(dǎo)致求解錯誤?？梢?，此“檢驗”并非彼“檢驗”。</p><p>　　從演繹推理的思維方式來看待三個版本教材的求解過程（北師版例題）：<

90、/p><p>　　通過以上到分析可以總結(jié)出</p><p>　　上述求解過程在將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的關(guān)鍵步驟中，沒有遵循演繹推理中確定的規(guī)則，導(dǎo)致擴大了解的范圍。實際上，這種方法是李冶老師、桑德森先生在“零不能做分母”這一重要命題尚未提出之前得到的尚不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那蠼夥椒ǎ笫罏榱藦浹a這種方法的缺陷在方程的最后加入了“驗根”的步驟，是一種“先假設(shè)成立，再排除錯解”的“非演繹邏輯”的思想；<

91、/p><p>　　這種思維方式與數(shù)學(xué)中最基本的“演繹推理”（嚴(yán)格遵守演繹規(guī)則，等價轉(zhuǎn)化）相反。根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)生在初中階段（初二學(xué)生12-14歲）處于“形式運算階段”初期：“本階段兒童的思維是以命題形式進行的，并能發(fā)現(xiàn)命題之間的關(guān)系，能用邏輯推理解決問題”兒童在形式運算階段初期，對邏輯推理尚處在摸索階段，認(rèn)知水平還不能夠達(dá)到“掌握深層次的邏輯推理”的程度，這會限制學(xué)生對這種類似“倒置”的思維方式的理解；&

92、lt;/p><p>　　2. 教師整體把握分式方程的現(xiàn)狀分析</p><p>　　教材是教師實施教學(xué)過程的依據(jù)，但并不是硬性準(zhǔn)則，在實施教學(xué)的過程中，教師可以根據(jù)自身的教育理念、學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、當(dāng)?shù)氐慕虒W(xué)背景靈活的實施教學(xué)。因此，對教師教學(xué)設(shè)計及課堂實錄的分析有助于了解教師是如何看待數(shù)學(xué)問題，了解數(shù)學(xué)知識是如何直接的呈現(xiàn)在學(xué)生面前的，通過對教師教學(xué)理念和數(shù)學(xué)掌握的剖析，對學(xué)生獲得知識的途徑與方

93、法分析，可以發(fā)現(xiàn)“驗根問題”出現(xiàn)的根本原因。因此，本文選擇了一位教師的公開課的教學(xué)實錄，通過問題串的方式進行分析，以期了解教師對分式方程整體把握的情況，從而反映出教室對數(shù)學(xué)課程的整體把握的狀況。</p><p>　　2.1 教學(xué)實錄分析</p><p>　　案例1. 濟寧市教師公開課《分式方程》</p><p>　　案例是A老師的公開課，通過精心設(shè)計，用動車組將濟寧

94、和上海這兩個看似沒有關(guān)系的城市鏈接在了一起，一個浪漫的小城一個繁華的都市，是這節(jié)課的主題。教師意在利用與生活息息相關(guān)主題帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)可以化為一元一次方程的分式方程，“體會無處不在的數(shù)學(xué)，無處不在的溝通?！北疚难赜脝栴}串的形式重現(xiàn)課堂，并作為研究依據(jù)。</p><p><b>　?。?）概念部分</b></p><p>　　教師以濟寧到上海的動車引入實際生活中的問題，從

95、實際出發(fā)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)。在解決問題的過程中教師做了如下引導(dǎo)：</p><p><b>　　片段一（概念引入）</b></p><p>　　師1（）： “我們不妨設(shè)快速列車的速度為” </p><p>　　誰能根據(jù)速度、路程、時間的關(guān)系把時間表示出來？</p><p>　　請同學(xué)們根據(jù)題意列出方程；</p&g

96、t;<p>　　蘇老師從實際問題入手，并引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出作為已知量代替未知量，根據(jù)題意列出方程，體現(xiàn)了方程的思想。 </p><p>　　片段二（概念獲得及深入）</p><p>　　：我們要和它溝通要知道它（分式方程）是誰</p><p>　?。海╬pt展示一個帶有分母的整式方程）像這樣分母中不含未知數(shù)的方程是整式方程</p><p&

97、gt;　?。和瑢W(xué)們能給分式方程下一個定義嗎？（5’）</p><p>　?。罕鎰e訓(xùn)練：判斷下列方程是不是分式方程并說明理由</p><p>　?。ㄉ旱谝粋€我認(rèn)為是分式方程，因為它的分母中含有未知數(shù)。</p><p>　?。哼@位同學(xué)回答的既正確又準(zhǔn)確。</p><p><b>　　……</b></p>&

98、lt;p>　?。旱谌齻€方程我認(rèn)為這個是分式方程，因為方程的分母中有字母。</p><p>　?。菏且粋€已知的具體的數(shù)，它不是一個字母，所以不是分式方程。</p><p><b>　　……</b></p><p>　?。旱谖鍌€不是分式方程。</p><p><b>　　：為什么呢？</b><

99、;/p><p>　?。悍帜钢胁缓形粗獢?shù)。</p><p>　　在概念獲得的階段，教師首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)整式方程的概念，緊接著對比分式方程利用了“類比”的思想，引導(dǎo)學(xué)生思考分式方程的定義。從整式方程的角度出發(fā)，讓學(xué)生體會整式方程與分式方程之間的聯(lián)系和區(qū)別，有利于學(xué)生利用原有的知識經(jīng)驗更新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在辨析的過程中，教師重點強調(diào)“分母中含有未知數(shù)”，是一個很典型的例子，學(xué)生容易將分母中的當(dāng)作是字母而

100、誤以為這是一個分式方程。通過辨析訓(xùn)練，學(xué)生能夠準(zhǔn)確的判斷出“分母中含有未知數(shù)”的方程就是分式方程。</p><p>　　到此，教師用了9分鐘的時間帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識了分式方程，概念獲得階段結(jié)束?？梢园l(fā)現(xiàn)，這九分鐘里蘇老師從方程角度著手，帶領(lǐng)學(xué)生體會建模的過程，建立分式方程、整式方程、方程思想之間的聯(lián)系。</p><p>　　但這9分鐘并沒有提及“分式”與分式方程之間的聯(lián)系。如：“分母中含有未知數(shù)

101、的方程是分式方程”，那么“分母中含有未知數(shù)的代數(shù)式”是什么呢？通過這樣的一個問題，學(xué)生能夠回憶起剛剛學(xué)習(xí)過的分式及相關(guān)的性質(zhì)和運算，一方面利用分式方程又強化了分式的相關(guān)知識；另一方面，從分式的角度繼續(xù)深入了解了分式方程，教師可以進一步跟進，如在學(xué)習(xí)分式時，首先確定了分式有意義的字母的取值范圍，即由整式構(gòu)成的分式中，. 對于分式方程來說，由分式構(gòu)成的分式方程也要求分母不能為零，即限制了未知數(shù)的取值范圍。然后學(xué)習(xí)了分式的性質(zhì)及加減乘除運算，

102、對于分式方程來說，運算的基礎(chǔ)也遵循這些運算法則。這樣就幫助學(xué)生將分式與分式方程建立起了實質(zhì)性的聯(lián)系。</p><p><b>　　（2）求解分式方程</b></p><p>　　片段三（求解分式方程）</p><p>　　例題：在排除客觀因素的前提下，從濟寧行船到上海，逆水航行的平均速度約是順?biāo)?</p><p

103、>　　行平均速度的三分之一，水流的平均速度為2千米時，怎樣求當(dāng)時船載靜水中的</p><p><b>　　速度呢？</b></p><p>　?。涸O(shè)靜水速度為，則順?biāo)叫泻湍嫠叫械钠骄俣确謩e為多少？</p><p>　?。嚎梢粤谐鲈鯓拥姆匠?？（學(xué)生列出下列三種方程）</p><p>　　：同一個問題情境列出了3

104、個不同的方程，說明什么？</p><p>　?。赫f明本質(zhì)是一樣，也就是說，分式方程完全可以轉(zhuǎn)化為整式方程去解決</p><p>　?。貉芯咳绾谓鈩偛诺姆质椒匠?</p><p>　?。豪}我們怎么解這個方程？</p><p>　?。合热シ帜?，兩邊同時乘以12 </p><p>　?。?2哪來的？（3、4的最小公倍數(shù)）&

105、lt;/p><p>　?。哼€有別的做法嗎？ （呈現(xiàn)求解過程）</p><p>　?。捍竽懙牟孪脒@個分式方程如何解？方程兩邊同時乘3和的最小公倍數(shù) </p><p>　　：這個叫最小公倍數(shù)嗎？我們學(xué)習(xí)過這是最簡公分母</p><p>　?。哼€有其它的方法嗎？ （交叉相乘、通分）</p><p>　　：選用你最喜歡的方法把方程

106、解出來（學(xué)生板書）</p><p><b>　　：呈現(xiàn)求解過程</b></p><p>　　方程兩邊同時乘以得 </p><p>　　去括號，得 </p><p>　　移項，化簡得 </p><p>　

107、?。耗敲词遣皇沁@個方程的解呢？</p><p>　　檢驗，將代入原方程，得左邊=右邊</p><p><b>　　所以是原方程的根。</b></p><p>　?。航夥质椒匠虘?yīng)該分為幾步？（一化二解三檢驗四作答）</p><p>　?。哼@節(jié)課的核心是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程</p><p>　　練