畢業(yè)論文---積分因子的研究

1、<p><b>　　積分因子的研究</b></p><p><b>　　畢業(yè)論文任務(wù)書</b></p><p>　　論文題目： 積分因子的研究 </p><p>　　1．畢業(yè)論文的主要內(nèi)容及基本要求</p><p>　　主要內(nèi)容：從積分因子的概念入手，然后以一階的微分方程為基礎(chǔ)，

2、通過討論積分因子存在的條件以及若干準(zhǔn)則，去解決一些尋求非全微分方程的通解的問題，并且通過對大量實(shí)例加以分析概括，歸納出尋求積分因子的常用方法。</p><p>　　基本要求：在明確了主要內(nèi)容基礎(chǔ)上要做到（1）查閱文獻(xiàn)資料，確定課題研究思路，了解課題前沿（2）理清論文思路；（3）撰寫出思路清晰，邏輯合理的論文。</p><p>　　2．指定查閱的主要參考文獻(xiàn)</p><p

3、>　　［1］溫啟軍,張麗靜.關(guān)于積分因子的討論[J].長春大學(xué)學(xué)報(bào),2006（5）</p><p>　?。?］郭文秀.利用積分因子巧解微分方程[J].武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2002（3）</p><p>　?。?］伍軍.求解積分因子的幾種方法[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2006（1）</p><p>　　［4］王善維.關(guān)于一階微分方程的積分因子問題

4、[J].河北輕化工學(xué)院學(xué)報(bào),1997（3）</p><p>　?。?］楊淑娥.一階微分方程的積分因子解法[J].彭城職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2000（1）</p><p>　?。?］劉會(huì)民,王新.有關(guān)一階微分方程積分因子的計(jì)算[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào),2003（3）</p><p><b>　　3．進(jìn)度安排</b></p><p&

5、gt;<b>　　摘 要</b></p><p>　　積分因子法是求一階微分方程通解的重要方法之一，對一般的一階微分方程的積分因子無固定方法求證。本文討論一階微分方程的積分因子的存在性定理及主要性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上研究了一些特殊類型的一階微分方程積分因子存在的充要條件及積分因子的求解方法。</p><p>　　關(guān)鍵詞：恰當(dāng)微分方程，積分因子，存在條件，求法</p

6、><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Integral factor method is one of the important ways to seek the general solution to the order differential equations; there is no fixed method to make th

7、e confirmation to the integral factor of the ordinary differential equations. This paper discusses the existence theorem and the main character of the integral factor in the order differential equations, and on the basis

8、 of it, studying the necessary and sufficient condition and the solution to the integral factor in some special type of the ord</p><p>　　Keywords：Exact differential equation, Integrating factor, Necessary an

9、d sufficient condition, Method of solving</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　前 言1</b></p><p>　　第1章 積分因子的概念2</p><p>　　1.1 恰當(dāng)方程與積分因子2</p>

10、;<p>　　1.2 積分因子的定義4</p><p>　　1.3 積分因子存在的充要條件4</p><p>　　第2章 一階微分方程的積分因子5</p><p>　　2.1 常見類型的一階微分方程的積分因子5</p><p>　　2.1.1 可分離變量的微分方程的積分因子5</p><p>

11、　　2.1.2 齊次方程的積分因子5</p><p>　　2.1.3 一階線性方程的積分因子5</p><p>　　2.1.4 貝努利(Bernoulli)方程的積分因子[5]6</p><p>　　2.2 特殊類型微分方程的積分因子的存在性7</p><p>　　2.2.1 型積分因子的存在性7</p><p&

12、gt;　　2.2.2 一階微分方程的三類積分因子的存在性7</p><p>　　2.2.3 幾種特殊類型積分因子的求法8</p><p>　　2.2.4 一階微分方程的積分因子10</p><p>　　第3章 求解積分因子的方法歸類及應(yīng)用12</p><p>　　3.1 觀察法12</p><p>　　3.

13、2 重新組合法13</p><p>　　3.3 湊微分法13</p><p>　　3.4 公式法14</p><p><b>　　結(jié)束語18</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)19</b></p><p><b>　　致 謝20</b&

14、gt;</p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　數(shù)學(xué)是一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的思考方式在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力以及終生學(xué)習(xí)能力等方面，其作用不可小視。而微分方程作為數(shù)學(xué)的重要組成部分，它的應(yīng)用已日益滲透到經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)、生物生態(tài)學(xué)、環(huán)境科學(xué)等多個(gè)重要領(lǐng)域。它是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要橋梁之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。然而并非所有的微分方

15、程都能求解。因此，如何尋找求解的方法就顯得尤為重要。雖然在求解一階微分方程時(shí)曾出現(xiàn)了許多方法，如分離變量法、變量替換法以及積分因子法等等，其中又以積分因子法出現(xiàn)的最晚，但是作用卻最明顯。我們知道早在十八世紀(jì)，歐拉(L.Euler.1707-1783)就領(lǐng)會(huì)到了積分因子這個(gè)概念，并把它作為一個(gè)方法提煉出來，證明了凡是分離變量的方程，均可以用積分因子的方法求解。他還證明了如果知道任何一個(gè)常微分方程的兩個(gè)積分因子，那么令它們的比等于常數(shù)就是微

16、分方程的一個(gè)積分。隨著微分方程的發(fā)展，積分因子的相關(guān)研究的學(xué)術(shù)成果也紛繁復(fù)雜。如文獻(xiàn)[1-2]介紹了恰當(dāng)方程，并在此基礎(chǔ)上給出了積分因子的概念與積分因子存在的充要條件。文獻(xiàn)[3-5]介紹了幾種常見類型的一階微分方程的積分因子以及確定若干特殊類型的積分因子的準(zhǔn)則，文</p><p>　　因此本文將從積分因子的概念入手，以積分因子存在的充要條件為基礎(chǔ)，對某些特殊類型積分因子的存在性進(jìn)行證明，并對求解一階微分方程的積分

17、因子的方法進(jìn)行歸類。</p><p>　　第1章 積分因子的概念</p><p>　　本章首先介紹了恰當(dāng)方程，然后在此基礎(chǔ)上給出了積分因子的定義與積分因子存在的充要條件.</p><p>　　1.1 恰當(dāng)方程與積分因子</p><p><b>　　我們可以將一階方程</b></p><p>&l

18、t;b>　　寫成微分的形式</b></p><p>　　或把平等看待，寫成下面具有對稱形式的一階微分方程</p><p>　　, (1.1)</p><p>　　這里假設(shè)在某矩形域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).這樣的形式有時(shí)便于探求方程的通解.</p><p>　　如果方程(1

19、.1)的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即</p><p>　　. (1.2)</p><p>　　則稱(1.1)為恰當(dāng)方程.如果(1.1)是恰當(dāng)方程時(shí)，函數(shù)應(yīng)該具有什么性質(zhì)？從(1.2)得到</p><p><b>　　(1.3)</b></p><p><b>　　和</b

20、></p><p>　　, (1.4)</p><p>　　將(1.3)、(1.4)分別對、求偏導(dǎo)數(shù)，得到</p><p><b>　　,</b></p><p>　　由于,的連續(xù)性，可得</p><p><b>　　,

21、</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　, (1.5)</p><p>　　因此(1.5)是(1.1)為恰當(dāng)方程的必要條件.現(xiàn)在證明(1.5)也是(1.1)為恰當(dāng)方程的充分條件.我們從關(guān)系式(1.3)出發(fā)，把看作參數(shù)，解這個(gè)方程，得到</p>

22、<p>　　, (1.6)</p><p>　　這里的任意可微函數(shù).我們現(xiàn)在來選擇同時(shí)滿足(1.4)，即</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　由此</b></p><p>　　,

23、 (1.7)</p><p>　　我們證明，(1.7)的右端與無關(guān).為此，只需證明(1.7)的右端對的偏導(dǎo)數(shù)恒等于零，而</p><p><b>　　,</b></p><p>　　在我們的假設(shè)條件下，上述交換求導(dǎo)的順序是允許的，于是，(1.7)的右端的確只含有，</p><p><b>　　積分之，得到&

24、lt;/b></p><p>　　, (1.8)</p><p>　　將(1.8)代入(1.6)即求得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，恰當(dāng)方程(1.1)的通解就是</p><p><b>　　,</b>&

25、lt;/p><p><b>　　這里是任意常數(shù).</b></p><p>　　1.2 積分因子的定義</p><p>　　恰當(dāng)方程可以通過積分求出它的通解，因此能否將一個(gè)非恰當(dāng)方程化為恰當(dāng)方程就有很大的意義，積分因子就是為了解決這個(gè)問題而引進(jìn)的概念.</p><p>　　定義1[1] 如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得</

26、p><p>　　為一恰當(dāng)方程，即存在函數(shù)，使</p><p>　　, (1.9)</p><p>　　則稱為方程(1.1)的積分因子.這時(shí)是(1.9)的通解，因而也就是(1.1)的通解.</p><p>　　例如 方程不是恰當(dāng)方程，但是由于，可知是一個(gè)積分因子，可以驗(yàn)證也都是該方程的積分因子.<

27、/p><p>　　1.3 積分因子存在的充要條件</p><p>　　定理1.1[2] 對于方程，當(dāng)，是其積分因子的充要條件是</p><p>　　. (1.10)</p><p>　　第2章 一階微分方程的積分因子</p><p>　　2.1 常見類型的一階微分方程的積分因子&

28、lt;/p><p>　　2.1.1 可分離變量的微分方程的積分因子</p><p>　　, (2.1)</p><p>　　取，式(2.1)兩邊同乘，可得</p><p>　　. (2.2)</p><p>　　不難發(fā)現(xiàn)(2.2)是恰當(dāng)方程，因此，就

29、是方程(2.1)的積分因子.</p><p>　　2.1.2 齊次方程的積分因子</p><p>　　由可分離變量方程的積分因子可以導(dǎo)出齊次方程的積分因子.設(shè)齊次方程為</p><p>　　， (2.3)</p><p>　　其中，方程(2.3)兩邊同乘以，并令代入，化成對稱式為</p>&

30、lt;p>　　. (2.4)</p><p>　　方程(2.4)可分離變量型，其積分因子為，將代入并乘以得齊次方程(2.3)的積分因子為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.1.3 一階線性方程的積分因子</p><p><b>　　一

31、階線性方程</b></p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　改寫成對稱形式,注意到</p><p><b>　　,，</b></p><p>　　的函數(shù)，可以求得只與有關(guān)的一個(gè)積分因子，這時(shí)</p><p>　　，

32、 (2.6)</p><p>　　， (2.7)</p><p>　　將(2.6)和(2.7)代入公式(1.10)可得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　兩邊積分得</b><

33、;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　即一階線性方程(2.5)的積分因子為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　同理可得的積分因子為.</p><p>　　2.1.4 貝努利(Bernoulli)方程的積分因子[5]</p>

34、;<p>　　由一階線性微分方程的積分因子可以導(dǎo)出貝努利方程的積分因子</p><p><b>　　方程</b></p><p>　　() (2.8)</p><p>　　兩邊同時(shí)乘以，并令得</p><p>　　， (2.9)</p&

35、gt;<p>　　由線性方程的積分因子知(2.9)的積分因子為，乘以得貝努利方程(2.8)的積分因子為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.2 特殊類型微分方程的積分因子的存在性</p><p>　　2.2.1 型積分因子的存在性</p><p>　　定理2.1[3] 若一階微

36、分方程(1.1)滿足(是區(qū)域)，且有上的連續(xù)函數(shù)使得</p><p>　　， (2.10)</p><p>　　則是方程(1.1)的積分因子．</p><p>　　2.2.2 一階微分方程的三類積分因子的存在性</p><p>　　定理2.2[4] 一階微分方程(1.1)具有形為積分因子的充要條件是</p

37、><p><b>　　，</b></p><p>　　其中為不全為0的常數(shù).</p><p>　　由定理2.2我們可以得到如下推論：</p><p>　　推論1[4] 若,則，即方程(1.1)含僅與有關(guān)的積分因子．</p><p>　　推論2[4] 若,則，即方程(1.1)含僅與有關(guān)的積分因子．&l

38、t;/p><p>　　推論3[4] 若時(shí)，則，即方程(1.1)含僅與()有的積分因子．</p><p>　　推論4[4] 若時(shí)，則，即方程(1.1)含僅與()有關(guān)的積分因子．</p><p>　　定理2.3[5] 一階微分方程(1.1)具有形如積分因子的充要條件是</p><p><b>　　，</b></p>

39、<p><b>　　其中為任意常數(shù)．</b></p><p>　　特別地，由定理2.3我們可以得到如下推論：</p><p>　　推論5[5] 若時(shí)，則，即方程(1.1)含僅與有關(guān)的積分因子.</p><p>　　定理2.4[5] 一階微分方程(1.1)具有形如的積分因子的充要條件是</p><p>&l

40、t;b>　　，</b></p><p><b>　　其中的連續(xù)函數(shù)．</b></p><p>　　從理論上講，運(yùn)用積分因子，可以獲得一階微分方程的一</p><p>　　般解法，本節(jié)給出了上述幾類積分因子的條件，根據(jù)這些條件我們便能求出相應(yīng)的積分因子，從而也獲得了一階微分方程的解.</p><p>　　

41、2.2.3 幾種特殊類型積分因子的求法</p><p>　　類型1 若僅是關(guān)于的函數(shù)，設(shè)，則方程(1.1)有積分因子.(不定積分常數(shù)取=0，下面各述類型中均取).</p><p>　　證明 如果，則充要條件(1.10)中的</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，當(dāng)上式右端僅為的函數(shù)時(shí)，設(shè)為

42、，方程(1.1)有積分因子.</p><p>　　類型2 若僅是關(guān)于的函數(shù)，設(shè)，則方程(1.1)有積分因子.</p><p>　　證明 如果，則充要條件(1.10)中由</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，當(dāng)上式右端僅為含的函數(shù)時(shí)，設(shè)為，方程(1.1)有積分因子</p>&

43、lt;p><b>　　.</b></p><p>　　類型3 若僅是關(guān)于的函數(shù)，設(shè)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則方程(1.1)有積分因子</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 若的函

44、數(shù)，即,設(shè)此時(shí)滿足式(1.10)有</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因此，當(dāng)上式右端僅是的函數(shù)時(shí)設(shè)為,方程(1.1)有積分因子為</p><p><b>　　.</b></p><p>

45、　　類型4 若僅是關(guān)于的函數(shù)，設(shè)</p><p><b>　　.</b></p><p>　　則方程(1.1)有積分因子</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 若僅是關(guān)于的函數(shù)，即，設(shè)，此時(shí)，滿足式(1.10)有</p><p><b&g

46、t;　　，</b></p><p><b>　　也即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因此，當(dāng)該式右端僅是的函數(shù)時(shí)，設(shè)為，方程(1.1)有積分因子為</p><p><b>　　.</b></p><p>

47、　　類型5[6] 僅是的函數(shù)時(shí)，設(shè)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則方程(1.1)有積分因子</p><p><b>　　.</b></p><p>　　類型6[7] 僅是的函數(shù)時(shí)，設(shè)</p><p><b>　　，</b&g

48、t;</p><p>　　則方程(1.1)有積分因子.</p><p>　　2.2.4 一階微分方程的積分因子</p><p>　　定理2.5[8] 形如的一階微分方程，具有形如</p><p><b>　　的積分因子.</b></p><p>　　第3章 求解積分因子的方法歸類及應(yīng)用<

49、/p><p>　　第2章介紹了若干類型的積分因子的存在性與積分因子的形式，而在本章將通過大量實(shí)例來加以分析概括，歸納出尋求積分因子的幾種常用方法.</p><p><b>　　3.1 觀察法</b></p><p>　　有時(shí)候我們用觀察法可以得出積分因子，如我們熟悉知到微分方程有四種不同形式的積分因子，它們是</p><p>

50、;　　它們作用到方程后，得到的全微分方程分別是</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以

51、，掌握知識(shí)并利用它們可以幫助我們提高解題效率，下面讓我們看這樣一個(gè)例題</p><p>　　例3.1 求微分方程的積分因子.</p><p>　　解 由于的一個(gè)原函數(shù)是</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　而的一個(gè)原函數(shù)是</b></p><p

52、><b>　　，</b></p><p>　　顯然有，這時(shí)在方程兩邊同乘以，原方程可湊成</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　顯然是積分因子.</b></p><p><b>　　3.2 重新組合法</b></p

53、><p>　　例3.2 求微分方程的積分因子.</p><p>　　解 顯然該方程不是恰當(dāng)方程，且不易觀察出積分因子，必須采用新的方法“重新組合法”求其積分因子.將原方程重新組合后得到</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是可以得到</b></p>&

54、lt;p><b>　　.</b></p><p>　　所以知為積分因子，把它乘到方程兩邊得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即有</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

55、t;　　利用重新組合法，可以進(jìn)一步提高我們的解題能力，對于類似的問題，也可以用此方法，不過還有一些方法必須用到湊微分方法來解決.</p><p><b>　　3.3 湊微分法</b></p><p>　　分組湊微分法常用到一些湊微分公式如下</p><p><b>　　，</b></p><p>&

56、lt;b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3.3 求微分方程的通解.</p><p>　　解 對其分組變形

57、為，考慮兩邊同時(shí)乘以積分因子，就可得到，</p><p>　　恰好可以利用上面的湊微分公式，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以通解為 .</b></p><p><b>　　3.4 公式法</b></p><p>

58、;　　其實(shí)在本章的第2.2.3.節(jié)中已經(jīng)給出了求解積分因子的若干方法，不過為了方便起見，我們把積分因子常用到的公式與已知的條件進(jìn)行如下對照.</p><p><b>　　3-1</b></p><p>　　例3.4 求的積分因子.</p><p><b>　　解法1 由公式</b></p><p&g

59、t;<b>　　得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　解法2 由公式 </p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>

60、　　由此題我們可以看出微分方程的積分因子并不是唯一的.</p><p>　　例3.5 求微分方程的積分因子．</p><p><b>　　解 這里，，故</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　令，則</b></p><

61、;p><b>　　，</b></p><p>　　因此，該方程的積分因子為</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例3.6 求方程</b></p><p><b>　　的積分因子．</b></p><

62、;p><b>　　解 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　由</b></p>&l

63、t;p><b>　　，</b></p><p>　　所以方程的積分因子為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3.7 求方程的積分因子.</p><p>　　解 ，</p><p><b>　　由于</b&

64、gt;</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它僅是的函數(shù)，因此，其積分因子為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例 3.8 求的積分因子.</p><p>　　解 ，原方程可變形為</p><p>&

65、lt;b>　　，</b></p><p><b>　　故其積分因子為</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　從以上幾道例題我們知道求解積分因子時(shí)需要判斷以及它們的偏微分是否滿足公式，若滿足，則積分因子很快能求得，相應(yīng)通解也容易求得.</p><p>&

66、lt;b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　采用積分因子法可以把一階微分方程化為恰當(dāng)方程進(jìn)行求解，然而尋找積分因子不是很容易的事，通過本文介紹的一些尋找積分因子的方法，可以解決一些一階微分方程中求解的問題。目前仍然有許多求不出有限形式的解的微分方程，這還有待我們進(jìn)一步探討。正如拉普拉斯所說“我們知道的是很微小的，我們不知道的是無限的”。</p><p>　　畢業(yè)論文

67、是對我們大學(xué)四年來所學(xué)知識(shí)的總結(jié)，它所涉及到的知識(shí)點(diǎn)多而雜，它從多個(gè)方向考察了我們的綜合能力。可以說本次論文既對前修課程有了系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，也是對自己所學(xué)知識(shí)的一次考察，一次系統(tǒng)的梳理，也對很多新知識(shí)有了一定的掌握。</p><p>　　綜上所述,本文討論了一階微分方程的積分因子存在的充要條件及其主要性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上研究了一些特殊類型的積分因子，最后歸納出幾種求解積分因子的方法，從而加深了我們對積分因子的認(rèn)識(shí)和了解

68、。積分因子的作用相當(dāng)大，它還可以解決二階微分方程、積分學(xué)中的一些問題，但由于自己的水平有限沒有對其進(jìn)行這方面的研究。在寫論文的過程中遇到了很多困難，再加上自己的知識(shí)有限，所寫的論文難免有不足之處?！耙环莞?，一份收獲”，正是遇到了困難，才給了自己研究解決的機(jī)會(huì)，才得以學(xué)習(xí)到解決這些問題的方法，才能夠鍛煉自己的思維，培養(yǎng)自己的能力。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p&g

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