畢業(yè)論文----常微分方程積分因子法的求解

1、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種自然的數(shù)學(xué)語言。它從生產(chǎn)實踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問題與解決問題的一個強(qiáng)有力的工具。</p><p>　　人們在探求物質(zhì)世界某些規(guī)律的過程中，一般很難完全依靠實驗觀測認(rèn)識到該規(guī)律，反而是依照某種規(guī)律存在的聯(lián)系常常容易被我們捕捉到，而這種規(guī)律用數(shù)學(xué)語

2、言表達(dá)出來，其結(jié)果往往形成一個微分方程，而一旦求出方程的解，其規(guī)律則一目了然。</p><p>　　所以我們必須能夠求出它的解。</p><p>　　同時，對于恰當(dāng)微分方程我們有一個通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那樣，并不是所有的微分形式的一階方程都是恰當(dāng)微分方程。</p><p>　　對于這類不是恰當(dāng)微分方程的一階常微分方程該如何求出它的解呢，這就需要用到

3、這里我們討論的積分因子了。</p><p>　　關(guān)鍵詞：微分方程；積分因子；恰當(dāng)微分方程；一階微分； </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Differential expression of natural law is a natural mathematical language. It from t

4、he production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool..</p><p>　　Some people in the law to explore the process o

5、f the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expres

6、sed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clear</p><p>　　So we must be able to find its solution.</p><p&

7、gt;　　Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation.</p>

8、<p>　　For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factor</p><p><b>　　Keywords

9、:</b></p><p>　　Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第1章 緒論………………………

10、………………………………………1</p><p>　　1.1 常微分方程………………………………………………………………………1</p><p>　　1.2 恰當(dāng)微分方程……………………………………………………………………1</p><p>　　第2章 積分因子的存在性………………………………………………2</p><p>　　2.1

11、 各種形式積分因子存在的充要條件……………………………………………2</p><p>　　2.2 幾種常見類型的微分方程的積分因子…………………………………………5</p><p>　　第3章 積分因子求法的推廣……………………………………………7</p><p>　　3.1 滿足條件的積分因子求法………………………………7</p><p&

12、gt;　　3.2 方程積分因子…………………………………………………………………………………………9</p><p>　　3.3 方程積分因子……………………………11</p><p>　　3.4 方程積分因子…………12</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………15</p><p>　　致謝……

13、……………………………………………………………………16</p><p><b>　　第1章? 緒論</b></p><p>　　1.1 常微分方程</p><p>　　數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們,300年來數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)的首要分支，而微分方程又是數(shù)學(xué)分析的心臟，它還是高等分析里大部分思想和理論的根源。人所共知，常微分方程從它產(chǎn)生的那天起, 就

14、是研究自然界變化規(guī)律、研究人類社會結(jié)構(gòu)、生態(tài)結(jié)構(gòu)和工程技術(shù)問題的強(qiáng)有力工具。它的發(fā)展歷史也是跟整個科學(xué)發(fā)展史大致同步的。 </p><p>　　常微分方程的發(fā)展史大致可分為五個階段：第一階段是十七世紀(jì)前半期, 即它的萌芽階段。第二階段是十七世紀(jì)后半期到十八世紀(jì)末, 即常微分方程發(fā)展成為一個數(shù)學(xué)分支的階段。這個階段主要是討論各種具體類型方程的積分法, 把解表示為初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式。這個階段可化為積分的方程

15、的基本類型巳被研究明白, 如果精確解找不到就求近似解。第三階段是十九世紀(jì)上半期。</p><p>　　這個階段數(shù)學(xué)分析的新概念（如極限、無窮小、連續(xù)函數(shù)、微分、積分等）和新方法，大大影響了微分方程理論的發(fā)展。這是建立?；辗址匠袒A(chǔ)的階段。第四階段是19世紀(jì)80年代至20世紀(jì)20年代，是常微分方程定性理論蓬勃發(fā)展的階段。第五階段是20世紀(jì)30年代直至現(xiàn)在, 是常微分方程全面發(fā)展的階段。</p><

16、;p>　　1.2 恰當(dāng)微分方程</p><p>　　恰當(dāng)微分方程可通過積分求出它的通解,但并非所有的微分方程均為恰當(dāng)微分方程。如果能將一個非恰當(dāng)微分方程化為恰當(dāng)微分方程，則求其通解將變得簡單。為此本文尋求微分方程各類積分因子,化微分方程為恰當(dāng)方程求解，這樣給解題帶來很大的方便。</p><p>　　第2章? 積分因子的存在性</p><p>　　2.1

17、各種形式積分因子存在的充要條件</p><p>　　定義 對于一階微分方程 如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)U，使得，則稱為方程的積分因子。</p><p>　　引理 函數(shù)為方程的積分因子的充要條件是。</p><p>　　積分因子的形式各異，以致積分因子存在的充要條件將形式各異。下面給出不同形式的積分因子存在的充要條件。</p>

18、<p>　　結(jié)論1 方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為。</p><p>　　結(jié)論2 方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為。</p><p>　　結(jié)論3 方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子為。</p><p>　　證明 令，則，假設(shè)為方程的積分因子，則由引理有充要條件，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時可以解出，故方程有

19、形如的積分因子的充要條件是。</p><p>　　結(jié)論4 　方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。證明類似結(jié)論3的證明。</p><p>　　結(jié)論5 　方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。</p><p>　　證明　，則，假設(shè)為方程的積分因子，則有充要條件，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時,可以解出,故方程有形如的積分因子的充要條件是,且積分因子。<

20、/p><p>　　結(jié)論6 　方程有形如的積分因子的充要條件是，且有積分因子。</p><p>　　證明　令，則，假設(shè)是方程的積分因子，則由引理有充要條件：，所以，，從而，時，可以解出，得方程 有形如的積分因子的充要條件是，即可得積分因子。</p><p>　　結(jié)論7 　方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。證明類似結(jié)論3 的證明。</p><

21、p>　　結(jié)論8 　方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。</p><p>　　證明　令，則有，假設(shè)是方程的積分因子，則由引理有充要條件：，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時可以解出。故方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。</p><p>　　結(jié)論9 　方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。</p><p>　　證明　令 ，則，假設(shè)是方程的積分

22、因子，則由引理有充要條件，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時可以解出,故方程有形如的積分因子的充要條件是，且積分因子。</p><p>　　2.2 幾種常見類型的微分方程的積分因子</p><p>　　根據(jù)以上結(jié)論易得出下列常見的微分方程積分因子結(jié)果。</p><p>　　命題1 可分離變量方程，有積分因子。</p><p>　　命題2 齊次方程有積

23、分因子。</p><p>　　命題3 齊次方程，當(dāng)時有積分因子。</p><p>　　命題4 Bernoulli方程，有積分因子。</p><p>　　第3章? 積分因子求法的推廣</p><p>　　微分方程積分因子求法的推廣主要寫了幾類特定微分方程的積分因子的求法，極大的提高了我們計算積分因子的速度，對我們的學(xué)習(xí)有很大幫助。</

24、p><p>　　3.1 滿足條件的積分因子求法</p><p>　　定理1 假設(shè)中，存在以下關(guān)系：</p><p>　　其中是的連續(xù)函數(shù)，則該方程的積分因子是：</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　證明 ：</b></p><

25、;p><b>　　即： </b></p><p>　　若要使得是積分因子，必須滿足：</p><p>　　則 </p><p>　　即 </p><p>　　即要滿足： ．

26、 </p><p>　　若滿足以上定理可得到如下定理：</p><p>　　定理2 如果是方程的積分因子，則也是該方程的積分因子</p><p><b>　　證明 ：∵ </b></p><p><b>　　∴ </b></p><p

27、>　　因為，分別是，的連續(xù)函數(shù)，則由連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)知，也分別是，的連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　又因為 </p><p><b>　　=0</b></p><p>　　所以 是全微分方程．</p><p>　　所以 也是該方程的積分因子．</p><p>　　例3

28、 求的積分因子．</p><p><b>　　解 ： </b></p><p>　　可以由上面的定理得到方程的積分因子：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例 4 求的積分因子．</p><p><b>　　解 ： <

29、;/b></p><p>　　可以取 從而使該方程能夠滿足定理1所需條件</p><p><b>　　則有：</b></p><p>　　所以方程的積分因子是：</p><p><b>　　．</b></p><p>　　同理，由定理2知： 也是該方程的積分因子．&l

30、t;/p><p>　　3.2 方程積分因子</p><p>　　定理3 齊次方程為：</p><p>　　則該方程有積分因子：．</p><p><b>　　證明： 令 </b></p><p><b>　　則知 </b></p><p>

31、;<b>　　∵ </b></p><p>　　∴ </p><p><b>　　若有： </b></p><p><b>　　也即是有：</b></p><p><b>　　∴ </b></p>

32、<p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例 5 求解齊次方程</p><p><b>　　的積分因子．</b></p><p>　　解：由定理3得方程的積分因子是：</p><p>　　3.3 方程積分因子</p><p>　　定理4 齊次方程：&

33、lt;/p><p>　　則該方程有積分因子：</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　證明： 令 </b></p><p>　　則知 </p><p>　　因為 </p><p>　　

34、所以有 </p><p><b>　　若有 </b></p><p><b>　　則有：</b></p><p><b>　　所以 ．</b></p><p>　　例 6 求解齊次方程</p><p><b>　　的積分

35、因子．</b></p><p>　　解： 方程滿足定理3方程的形式，因此，方程的積分因子為：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　3.4 方程積分因子</p><p>　　定理5 若齊次方程的形式為：</p><p>　　則方程的積分因子是：</p&

36、gt;<p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　證明： 令 </b></p><p>　　則知 </p><p>　　因為 </p><p><b>　　所以有 </b></p><

37、;p>　　若有 </p><p><b>　　即有：</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　所以 方程的積分因子是：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　例7

38、求齊次方程的積分因子．</p><p>　　解：方程滿足定理5條件，則知方程的積分因子是：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　本章對積分因子的求解方法進(jìn)行了推廣，總結(jié)出幾類特定方程積分因子的固定求法，以便加深對微分方程積分因子的認(rèn)識和了解，熟悉一階微分方程求解方法。</p><p><b&

39、gt;　　參考文獻(xiàn):</b></p><p>　　[1] 滕文凱. 積分因子的分組求法[J]. 承德民族師專學(xué)報, 2004, (02) . </p><p>　　[2] 李振東,張永珍. 求積分因子的新方法[J]. 唐山學(xué)院學(xué)報, 2003, (02) . </p><p>　　[3] 王金誠. 淺析積分因子的求法[J]. 中國科技信息, 2007,

40、(20) . </p><p>　　[4] 龔雅玲. 求解微分方程的積分因子法[J]. 南昌教育學(xué)院學(xué)報, 2007, (01) . </p><p>　　[5] 溫啟軍,張麗靜. 關(guān)于積分因子的討論[J]. 長春大學(xué)學(xué)報, 2006, (10) . </p><p>　　[6] 楊淑娥. 一階微分方程的積分因子解法[J]. 彭城職業(yè)大學(xué)學(xué)報, 2000, (01)

41、 </p><p>　　[7] 閻淑芳. 積分因子的存在條件及求法[J]. 邯鄲師專學(xué)報, 2004, (03) </p><p>　　[8] 劉文武. 兩類微分方程的積分因子[J]. 黔南民族師范學(xué)院學(xué)報, 2003, (06) </p><p>　　[9] 劉絳玉. 關(guān)于一階方程的積分因子法[J]. 茂名學(xué)院學(xué)報, 2000, (01) </p>

42、<p>　　[10] Coddington, E. A. An Introduction to Ordinary Differential Equations [M].</p><p>　　New York: Dover, 1989</p><p>　　[11] Morris Tenebaum， Harry Pollard. Ordinary differential equat

43、ions [M]. Dover Publications, 1963, (01)</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本課題在選題及研究過程中得到數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院XX老師的悉心指導(dǎo)，使我得以最終完成畢業(yè)論文設(shè)計，在此先向尊敬的老師表示衷心的感謝。謝謝老師對畢業(yè)設(shè)計的完成與說明書的撰寫工作給予的關(guān)懷和指導(dǎo)。</p><p&

44、gt;　　感謝數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院各位老師在大學(xué)四年里對本人的栽培，感謝在大學(xué)四年里幫助過本人的各位老師，感謝他們一直來對本人的支持與鼓勵。</p><p>　　特別謝謝我的一群同學(xué)和朋友們，一起生活和工作學(xué)習(xí)的美好時間里，你們給予我的真摯的鼓勵和無私的幫助是畢生難忘的。</p><p>　　感謝父母和親人多年來在生活上無微不至的照顧和精力上的支撐，我能長這么大，能夠有機(jī)會讀書，真的不知道對