出海捕魚的最優(yōu)問題畢業(yè)論文

1、<p><b>　　出海捕魚問題</b></p><p>　　The Problem of Fishing</p><p>　　屆 系</p><p><b>　　專 業(yè) </b></p><p><b>　　學(xué) 號</b><

2、;/p><p><b>　　學(xué)生姓名 </b></p><p><b>　　指導(dǎo)教師</b></p><p>　　完成日期 年 月 日</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文主要考慮出海捕魚的最優(yōu)問題，出海捕

3、魚追求的是最大產(chǎn)量或最優(yōu)效益，為了使生態(tài)環(huán)境不受到破壞，同時實(shí)現(xiàn)捕魚業(yè)的持續(xù)收獲，首先要考慮魚的自然增長率和捕撈率的關(guān)系，據(jù)此建立三種模型．一、產(chǎn)量模型，即追求魚的最大產(chǎn)量，利用常微分方程解出穩(wěn)定情況下漁場的魚量及最大持續(xù)產(chǎn)量；二、效益模型：效益模型又分為不考慮銀行利率等影響模型Ⅰ和考慮銀行利率等影響模型Ⅱ；模型Ⅰ與產(chǎn)量模型相似，在控制捕撈強(qiáng)度下求出利潤最大時的穩(wěn)定魚量及單位時間的持續(xù)產(chǎn)量，模型Ⅱ在模型Ⅰ的基礎(chǔ)上引入折扣因子，從經(jīng)濟(jì)學(xué)上

4、考慮長期效益，通過解歐拉方程求最優(yōu)魚量和持續(xù)捕撈量，最后在邊際損失和邊際得益平衡時得到最大效益。三、捕撈過度模型，通過比較單位捕撈費(fèi)用、貸款實(shí)際利率和魚的售價方面的關(guān)系分析資源枯竭的問題．最后通過比較上述模型得出最優(yōu)模型．</p><p>　　關(guān)鍵詞：魚的自然增長率 捕魚強(qiáng)度 捕撈系數(shù) 持續(xù)產(chǎn)量 最優(yōu)效益</p><p><b>　　Abstract</b>&

5、lt;/p><p>　　The paper main consideration the optimalization problem of goes to sea to catches fish, The pursue of go to sea catches fish is the greatest output or the most superior benefit, In order to cause t

6、he ecological environment do not be destructed, simultaneously realizes catching fish industry continues sustained yield, Must consider fish's natural increase rate and the fishing rate relations, according to the a

7、bove explanation establishes three kind of models. First, the output model, the goal o</p><p>　　Key words：the natural increasing rate　 fishing intensity　the coefficient of fishing　 the sustained yield 　the l

8、argest benefit</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　?。?緒 論1</p><p>　　1.1 課題研究的目的和意義1</p><p>　　1.1.1 當(dāng)前海洋的生態(tài)情況1</p><p>　　1.1.2 相應(yīng)的政策和措施2&

9、lt;/p><p>　　1.2 論文中涉及的部分知識點(diǎn)2</p><p>　　1.2.1 方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性2</p><p>　　1.2.2 變分法簡介3</p><p>　　2 出海捕魚的數(shù)學(xué)模型5</p><p>　　2.1 產(chǎn)量模型5</p><p>　　2.1.1

10、產(chǎn)量模型Ⅰ5</p><p>　　2.1.2 產(chǎn)量模型Ⅱ6</p><p>　　2.1.3 產(chǎn)量模型Ⅲ8</p><p>　　2.1.3 兩個模型的比較11</p><p>　　2.2 效益模型11</p><p>　　2.2.1 效益模型Ⅰ11</p><p>　　2.2

11、.2 效益模型Ⅱ12</p><p>　　2.3 捕撈過度模型13</p><p>　　2.3.1 過度捕撈模型Ⅰ13</p><p>　　2.3.2 捕撈過度模型Ⅱ14</p><p>　　2.4 模型小結(jié)16</p><p>　　3 關(guān)于捕魚模型的展望16</p><p&

12、gt;　　參 考 文 獻(xiàn)17</p><p><b>　　致 謝18</b></p><p><b>　?。?緒 論</b></p><p>　　1.1 課題研究的目的和意義</p><p>　　1.1.1 當(dāng)前海洋的生態(tài)情況</p><p>　　海洋是生

13、物資源寶庫.據(jù)生物學(xué)家統(tǒng)計，海洋中約有20萬種生物，其中已知魚類約1.9萬種，甲殼類約2萬種．許多海洋生物具有開發(fā)利用價值，為人類提供了豐富食物和其他資源．世界海洋浮游植物產(chǎn)量5000億噸，折合成魚類年生產(chǎn)量約6億噸．假如以50%的資源量為可捕量，則世界海洋中魚類可捕量約3億噸． 但是近幾年來我國海洋生物資源出現(xiàn)嚴(yán)重的衰退，漁業(yè)資源過度捕撈是我國漁業(yè)資源衰退的主要原因之一．</p><p>　　中國有句古話，授之

14、以魚不若授之以漁.講的是與其給予物質(zhì)幫助，不如傳授生存的技巧．古人以魚和漁來作比喻，顯示了水產(chǎn)資源和水產(chǎn)捕撈與人類的密切關(guān)系．自有人類以來，漁、獵、采摘就是食物來源的重要途徑． 　　時至今日，海洋所能夠提供的已經(jīng)接近極限．世界漁業(yè)和水產(chǎn)養(yǎng)殖狀況的報告指出，由于人類科技的進(jìn)步，和需求量的不斷增加，占全球面積70%的海洋中，只有3%海洋資源處于未開發(fā)狀態(tài)．21%的漁業(yè)資源可以少量提高捕撈量．而52%的資源目前處于充分開發(fā)狀態(tài)，16%的資源

15、處于過度開發(fā)狀態(tài)，7%的資源遭到完全破壞，僅有1%的資源從衰竭狀態(tài)開始恢復(fù)．報告指出，漁獲量最高的十種資源中，有七種處于完全開發(fā)或過度開發(fā)狀態(tài)．捕撈量的增加可能導(dǎo)致嚴(yán)重的生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會問題．東北大西洋、地中海和黑海以及西北大西洋、東南大西洋、東南太平洋和南大洋被確認(rèn)為受損害最嚴(yán)重的區(qū)域． 　　據(jù)《文匯報》20日報道，東海區(qū)近年的漁獲量約在600萬噸以上，與上世紀(jì)七八十年代300-500萬噸的資源評估量相比，整個海區(qū)的漁業(yè)資源看似

16、增加了，但樂觀的數(shù)字背后卻隱含著危機(jī)．首先，漁撈量的增長相當(dāng)程度上是由于捕撈強(qiáng)度的加大，以及作業(yè)漁場范</p><p>　　1.1.2 相應(yīng)的政策和措施</p><p>　　世界糧農(nóng)組織漁業(yè)委員會官員認(rèn)為，恢復(fù)被破壞的資源，實(shí)際上首先應(yīng)該避免目前認(rèn)為還處于健康狀態(tài)的資源遭到破壞．報告呼吁大量減少過度開發(fā)資源的捕撈或采取臨時性的禁漁，同時采取措施恢復(fù)遭到破壞的魚類棲息地．強(qiáng)烈呼吁各國遵循可持

17、續(xù)發(fā)展提出的目標(biāo)，到2015年將資源恢復(fù)到健康水平．這些措施對保護(hù)生態(tài)環(huán)境平衡起了很大的作用．</p><p>　　我國也對漁業(yè)資源管理采取了價格機(jī)制和計劃機(jī)制相結(jié)合的手段，尤其是對近海漁業(yè)資源采取了計劃控制措施．其公共政策歸納為五個方面．第一，征收漁業(yè)資源增殖保護(hù)費(fèi)，專門用于增殖和保護(hù)漁業(yè)資源.收費(fèi)不可能高到可以實(shí)現(xiàn)資源再生產(chǎn)的程度。第二，捕撈能力控制，第三，入漁權(quán)的控制和分配，第四，漁業(yè)資源修復(fù)和培育，主要手

18、段包括海洋伏季休漁和春季禁漁制度，第五，污染治理與食品安全．大量政策的實(shí)施在一定程度上遏制了漁業(yè)資源枯竭的態(tài)勢．</p><p>　　1.2論文中涉及的部分知識點(diǎn)</p><p>　　1.2.1 方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性</p><p><b>　　設(shè)有微分方程</b></p><p><b>　?。?-1）<

19、;/b></p><p>　　右端不顯含自變量，代數(shù)方程</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　的實(shí)根稱為方程(1-1)的平衡點(diǎn)，它也是方程(1-1)的解.</p><p>　　如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程(1-1)的解都滿足 </p><p><b

20、>　　（1-3）</b></p><p>　　則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；否則稱是不穩(wěn)定的.</p><p>　　判斷平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定通常有兩種方法：利用定義(1-3)式稱為間接法：不求方程1-1的解，因而不利用(1-3)式的方法稱為直接法.下面介紹直接法</p><p>　　將在做泰勒展開，只取一次項(xiàng)，方程1-1近似為</p><p&g

21、t;<b>　?。?-4）</b></p><p>　?。?-4）稱為（1-1）的近似線性方程，也是（1-4）的平衡點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的穩(wěn)定性有如下結(jié)論，</p><p>　　若，則對(1-1)和(1-4)都是穩(wěn)定的;</p><p>　　若，則對(1-1)和(1-4)都是不穩(wěn)定的.</p><p>　　1.2.2 變分法簡介&

22、lt;/p><p>　　泛函的變分法同函數(shù)的微分一樣，函數(shù)的微分是線性主部，泛函的變分是泛函增量的線性主部，作為泛函的自變量，函數(shù)在的增量記作</p><p>　　也稱為函數(shù)的變分，由它引起的泛函增量記作</p><p><b>　　如果可以表示為</b></p><p>　　其中是的線性項(xiàng)，是的高階項(xiàng)，則稱為泛函在的變分，

23、記作，用變動的代替就有.泛函變分的一個重要性質(zhì)是它可以表示為對參數(shù)的導(dǎo)數(shù)：</p><p><b>　　(1-5)</b></p><p><b>　　1.極值與變分</b></p><p>　　利用極值的表達(dá)式1-5可以得到泛函極值和變分的關(guān)系,若在達(dá)到極值，則</p><p>　　因?yàn)槿我饨o定的

24、，是變量的函數(shù)，該函數(shù)在處達(dá)到極值，根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知</p><p>　　2.歐拉方程——泛函極值的必要條件</p><p>　　討論最簡泛函在固定端點(diǎn)條件下取得極值的必要條件，設(shè)泛函和端點(diǎn)的條件表示為</p><p><b>　　(1-6)</b></p><p>　　，

25、 (1-7)</p><p>　　其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，容許函數(shù)集為滿足的二階可微函數(shù)集合.</p><p>　　引理 設(shè)是內(nèi)的連續(xù)函數(shù),若對于任意的充分光滑函數(shù)滿足=0,有</p><p><b>　　0</b></p><p><b>　　則在內(nèi).</b></p>&

26、lt;p>　　歐拉方程的推導(dǎo):設(shè)泛函(1-6)在取得極值，滿足(1-7),記滿足按照泛函極值與變分的關(guān)系有</p><p><b>　　(1-8)</b></p><p>　　對于(1-6)表示的計算</p><p><b>　　(1-9)</b></p><p>　　對右端第二項(xiàng)作分部積分并

27、利用得</p><p>　　代入(1-9)式并根據(jù)(1-8)式有</p><p>　　因?yàn)槭侨我獾挠梢砹⒖痰玫?lt;/p><p><b>　　(1-10)</b></p><p>　　(1-10)稱為歐拉方程，是在取得極值的必要條件.</p><p>　　2 出海捕魚的數(shù)學(xué)模型</p>

28、;<p>　　考察出海捕魚問題，因?yàn)轸~量在天然環(huán)境下按一定的規(guī)律增長，如果捕撈量恰好等于增長量，那么魚量保持不變，這樣捕撈量就可以持續(xù).分析魚量穩(wěn)定的條件，并且在穩(wěn)定的前提下，討論如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量或經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最大，最后研究捕撈過度的問題．</p><p>　　我們從產(chǎn)量和效益著手建立模型，分析如何控制捕撈強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)產(chǎn)量最大和效益最高.假設(shè)船隊出海對某漁場捕魚，由于漁場有其自身的限制，所以我們假

29、設(shè)其有最大容量，與人口的增長模型相似．這樣便于模型的假設(shè)和建立．</p><p><b>　　2.1 產(chǎn)量模型</b></p><p>　　2.1.1 產(chǎn)量模型Ⅰ</p><p>　　記時刻t漁場為，關(guān)于的自然增長和人工捕撈作如下假設(shè)：</p><p>　　1. 在無捕撈條件下的增長服從Gompertz規(guī)律，即<

30、/p><p>　　是固有增長率，是環(huán)境容許的最大魚量，用表示單位時刻的增長量.</p><p>　　2. 單位時間的捕撈量（既產(chǎn)量）與漁場魚量成正比，比例常數(shù)表示單位時間捕撈可以進(jìn)一步分解為，稱捕撈強(qiáng)度，用可以控制的參數(shù)譬如出海漁船數(shù)量來度量，稱為捕撈系數(shù)，表示單位強(qiáng)度下的捕撈率，于是單位時間的捕撈量為</p><p><b>　　根據(jù)以上假設(shè)并記</b

31、></p><p>　　假設(shè)，得到捕撈情況下漁場魚量滿足的方程</p><p>　　并不需要解上述方程以得到的動態(tài)化過程，只希望知道漁場的穩(wěn)定魚量與保持穩(wěn)定的條件，即時間足夠長以后漁場魚量的趨向，并由此確定最大持續(xù)產(chǎn)量.為此可以直接求方程的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性.</p><p><b>　　令</b></p><p&g

32、t;<b>　　得到兩個平衡點(diǎn)</b></p><p>　　, </p><p><b>　　不難算出</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　由上可知，，點(diǎn)穩(wěn)定,即為平衡點(diǎn)，進(jìn)一步討論漁場魚

33、量穩(wěn)定在的前提下，如何控制捕撈強(qiáng)度使持續(xù)產(chǎn)量最大的問題.</p><p><b>　　把代入中可以得到</b></p><p>　　模型的建立是在不破壞魚群的基礎(chǔ)上，所以易知，求的最大值，用微分法可以得到，當(dāng)時，達(dá)到最大，此時的平衡點(diǎn)為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　此

34、時單位時間最大產(chǎn)量為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由上面可知此模型當(dāng)捕撈率等于增長率時，可以獲得最大持續(xù)產(chǎn)量.</p><p>　　2.1.2 產(chǎn)量模型Ⅱ</p><p>　　模型的假設(shè)與上面相似，只是增長規(guī)律不同，假設(shè)在無捕撈條件下的增長服從Logistic規(guī)律，即</p>

35、<p><b>　　(2-1)</b></p><p><b>　　(2-2)</b></p><p>　　是固有增長率，是環(huán)境容許的最大魚量，用表示單位時刻的增長量.</p><p>　　得到捕撈情況下漁場魚量滿足的方程</p><p><b>　　(2-3)</b&g

36、t;</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　得到兩個平衡點(diǎn)</b></p><p>　　, (2-4)</p><p><b>　　不難算出</b></p><p>

37、<b>　　,</b></p><p>　　所以若捕撈率小于固有增長率，即</p><p><b>　　(2-5)</b></p><p>　　有，，故點(diǎn)穩(wěn)定，點(diǎn)不穩(wěn)定；若捕撈率大于固有增長率則相反.</p><p>　　為撈率，是最大的增長率，上述分析表明只要捕撈適度（） ，就可使?jié)O場魚量穩(wěn)定在，

38、從而獲得持續(xù)產(chǎn)量；而當(dāng)捕撈過度時（），漁場魚量將減至，當(dāng)然談不上獲得持續(xù)產(chǎn)量了.</p><p>　　進(jìn)一步討論漁場魚量穩(wěn)定在的前提下，如何控制捕撈強(qiáng)度使持續(xù)產(chǎn)量最大的問題，用圖解法可以非常簡單地得到結(jié)果.根據(jù)(2-1)、(2-2)式作拋物線和直線，如圖 </p><p><b>　　圖2-1</b></p><p>　　注意到在原點(diǎn)的切線為，

39、所以在條件(2-5)下必與有交點(diǎn)，的橫坐標(biāo)就是穩(wěn)定平衡點(diǎn).</p><p>　　根據(jù)假設(shè)2，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為穩(wěn)定條件下單位時間的持續(xù)產(chǎn)量，由圖知道，當(dāng)與在拋物線頂點(diǎn)相交時可獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量，此時的穩(wěn)定平衡點(diǎn)為</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p>　　且單位時間的最大持續(xù)產(chǎn)量為</p><p>&

40、lt;b>　　(2-7)</b></p><p>　　因?yàn)椴稉葡禂?shù)會隨著捕撈強(qiáng)度的增大而減少，假設(shè)捕撈系數(shù)與捕撈強(qiáng)度的關(guān)系為</p><p>　　即單位強(qiáng)度的捕魚量隨著船數(shù)的增多而減少，由（2-4）式不難算出保持漁場穩(wěn)定在的捕撈強(qiáng)度為</p><p><b>　　(2-8)</b></p><p>　　

41、綜上所述，產(chǎn)量模型的結(jié)論是將捕撈強(qiáng)度控制在 ，或者說使?jié)O場魚量保持在最大魚量的一半時，可以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量.</p><p>　　分析兩模型的建立計算時,可以看出魚群增長在Logistic定律時更貼近于實(shí)際中的情況，為了方便建立模型和計算，以下我們都設(shè)魚群增長服從Logistic規(guī)律.</p><p>　　2.1.3 產(chǎn)量模型Ⅲ</p><p>　　在產(chǎn)量模型Ⅰ

42、基礎(chǔ)上，引入一個實(shí)際中較常用到的模型，根據(jù)國家資源部規(guī)定每年都有禁漁期和捕撈期，并且對漁網(wǎng)的大小也規(guī)定，這樣就是為了保護(hù)幼魚，防止捕撈過度造成資源枯竭。由于漁場的邊界難以控制，最大容量也就難以測得，但是在限定容量里魚群的數(shù)量增多，則魚的死亡率就會增大，下面的模型就引入魚的年齡大小和成活率，死亡率等.</p><p>　　假設(shè)（1）某種魚分4個年齡組：稱1齡魚，…，4齡魚.各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（1/年）

43、；（2）平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為；3齡魚的產(chǎn)卵量為，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月；卵孵化并成活為1齡魚；成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總數(shù)之比）；（4）假設(shè)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1。（5）相鄰兩個年齡組的魚群在相鄰兩年之內(nèi)的變化是連續(xù)的； 4齡以上的魚全部死亡；（6）捕撈速率正比于各齡魚群的條數(shù).</p><p>　　建立一個產(chǎn)量模型求取每年的持續(xù)最優(yōu)捕魚量.

44、</p><p>　　無捕撈時魚的自然增長模型為：</p><p>　　，=1，2，3，4；，=0，1，2，</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　并且可得</b></p>

45、;<p>　　當(dāng)投入固定捕撈強(qiáng)度時魚群的增長和捕撈模型為</p><p>　　， (2-9)</p><p>　　，， (2-10)</p><p>　　，=1，2，3 (2-11)</p><p>　　，

46、 (2-12)</p><p>　　， (2-13)</p><p><b>　　```</b></p><p>　　根據(jù)上述的假設(shè)及分析，運(yùn)用伯努力方程的解法，我們可以知道：</p><p>　　1. 魚群的增長規(guī)律</p><p>

47、;　　=1，2，3 (2-14)</p><p><b>　　(2-15)</b></p><p><b>　　(2-16)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　0.4493，=1，， </p>

48、<p><b>　　2. 捕撈量</b></p><p>　　單位時間內(nèi)第齡魚的捕撈量為</p><p>　　第年全年第齡魚的捕撈量為</p><p>　　于是第年總的捕撈量為</p><p>　　3. 可持續(xù)捕撈模型</p><p>　　可持續(xù)捕撈意味著由于自然死亡和捕撈使魚群減少，

49、而通過產(chǎn)卵繁殖補(bǔ)充，使得魚群在每年初開始捕撈時保持平衡不變，這樣捕撈策略可以年復(fù)一年的持續(xù)下去，可持續(xù)捕撈的魚群數(shù)應(yīng)該是(2-14),(2-15)和(2-16)式的平衡解，即模型不依賴時間的解（=0，1，2，3，4）求解(2-14),(2-15)和(2-16)得</p><p><b>　　，=1，2，3</b></p><p><b>　　即</b&

50、gt;</p><p>　　，， (2-17)</p><p>　　(2-18) (2-19)</p><p>　　將(2-17)代入(2-19)得</p><p>　　代入(2-18)式有</p><p><b>　　求解可得</

51、b></p><p>　　代入(2-17)式可得</p><p><b>　　，，.</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　當(dāng)時，，即意味著捕撈過度，致使魚群滅絕，當(dāng)時，為過度捕撈強(qiáng)度，因此，可以在范圍內(nèi)找產(chǎn)量最大捕魚策略，在可持續(xù)捕撈條件下第齡魚的年捕撈量為

52、</p><p><b>　　，=3，4</b></p><p>　　由此可算出整年的捕撈總量.</p><p>　　2.1.3 兩個模型的比較</p><p>　　模型Ⅰ,模型Ⅱ和模型Ⅲ中都考慮了產(chǎn)量最大的問題，模型Ⅲ對模型的假設(shè)更為詳細(xì)，對魚的大小，年齡，成活率，死亡率等都做了具體的假設(shè)，比模型Ⅰ,Ⅱ較為完善更貼近

53、實(shí)際應(yīng)用；但是由于各類魚的年齡是葛布相同的，所以在實(shí)際應(yīng)用中要根據(jù)實(shí)際情況計算；另外兩個模型中沒有考慮魚的售價及出海費(fèi)用等的一系列問題，因此，出海捕魚采用此策略是不可取的，下一步建立根據(jù)費(fèi)用等方面建立效益模型.</p><p><b>　　2.2 效益模型</b></p><p>　　2.2.1 效益模型Ⅰ</p><p>　　出海捕魚從經(jīng)

54、濟(jì)角度看不應(yīng)追求產(chǎn)量最大，而應(yīng)考慮效益最佳.如果經(jīng)濟(jì)效益用從捕撈所得的收入中扣除開支后的利潤來衡量，并且簡單地假設(shè)：魚的銷售單價為常數(shù)，單位捕撈強(qiáng)度（如每條出海魚船）的費(fèi)用為常數(shù)，那么單位時間的收入和支出分別為</p><p><b>　　(2-20)</b></p><p><b>　　單位時間的利潤為</b></p><p

55、><b>　　(2-21)</b></p><p>　　假設(shè)捕撈系數(shù)，在穩(wěn)定條件 下，以(2-4)代入(2-21)式得</p><p><b>　　(2-22)</b></p><p>　　用微分法容易求出使利潤達(dá)到最大的捕撈強(qiáng)度為</p><p><b>　　(2-23)</

56、b></p><p>　　將代入(2-4)式可得最大利潤下的漁場穩(wěn)定魚量及單位時間的持續(xù)產(chǎn)量為</p><p><b>　　(2-24)</b></p><p><b>　　(2-25)</b></p><p>　　將(2-23)--（2-25）式與產(chǎn)量模型中的（2-6）--（2-8）式相比較

57、可以看出，在最大效益原則下捕撈強(qiáng)度和持續(xù)產(chǎn)量均有所減少，而漁場穩(wěn)定魚量有所增加，并且減少或增加的比例隨著捕撈成本的增長而變大，隨著銷售價格的增長而變小，這顯然是符合實(shí)際情況的.</p><p>　　2.2.2 效益模型Ⅱ</p><p>　　上面的效益模型是以計劃捕撈（或稱封閉式捕撈）為基礎(chǔ)的，即漁場單獨(dú)的經(jīng)營者有計劃地捕撈，可以追求最大利潤，但是如果有眾多盲目的捕撈者，即使有微薄的利潤

58、，經(jīng)營者也會去捕撈，這樣隨著魚的價格和捕撈成本的變動，魚量將會迅速減少，出現(xiàn)捕撈過度，甚至導(dǎo)致魚群種類的滅絕.建立效益模型決定出海捕魚的最佳時機(jī)及捕撈強(qiáng)度，除了要對魚群的生長規(guī)律及出海的漁船數(shù)量和捕撈率做簡單假設(shè)外，還要考慮魚的售價和漁船的費(fèi)用，銀行貸款利率、通貨膨脹率等因素.這就需要我們引入折扣因子，折扣因子是貸款利率和通貨膨脹率之差.</p><p>　　效益模型Ⅱ假設(shè)如下:</p><p

59、>　　1．漁場魚量的自然增長服從Logistic 規(guī)律，單位時間捕撈量取決于漁場魚量的大小，記做，于是在捕撈條件下滿足</p><p><b>　　(2-26)</b></p><p><b>　　(2-27)</b></p><p>　　，仍是固有增長率和最大容量</p><p>　　2．折

60、扣因子為，魚的單價為，在漁場魚量為水平下，單位捕撈量的費(fèi)用為，為減函數(shù).</p><p>　　模型的目標(biāo)函數(shù)是開發(fā)漁業(yè)資源的長期效益，因?yàn)閱挝粫r間的捕撈量為 ，在折扣因子下單位時間的利益為 ；所以長期效益可以表示為</p><p><b>　　(2-28)</b></p><p>　　將方程(2-27)代入(2-28)式得</p>

61、<p><b>　　(2-29)</b></p><p>　　問題歸結(jié)為求使達(dá)到最大，并由此可確定單位時間最優(yōu)捕撈量 .</p><p>　　最優(yōu)解應(yīng)滿足歐拉方程，即</p><p><b>　　化簡后可得</b></p><p><b>　　(2-30)</b>&

62、lt;/p><p>　　當(dāng)給定費(fèi)用函數(shù)并將(2-27)式的代入(2-30)以后，(2-30)式是關(guān)于的代數(shù)方程，故由此求得的最優(yōu)解是一個常數(shù)，從而單位時間捕撈量也為常數(shù)值，即我們得到是最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)量.</p><p>　　為了對(2-30)確定的最優(yōu)解給出經(jīng)濟(jì)學(xué)上的邊際解釋，記</p><p><b>　　(2-31)</b></p>

63、<p>　　則(2-30)式可以表示為</p><p><b>　　(2-32)</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以2-30等價于</b></p><p><b>　　(2-33)</b><

64、/p><p>　　可以看出，當(dāng)最優(yōu)解為常數(shù)時，，，(2-31)式定義的是單位時間利潤，而則是漁場魚量增加一個單位（相當(dāng)于捕撈量減少一個單位）引起的損失.故(2-33)式左端是按折扣因子折算到后的邊際損失. （2-33）式右端顯然是單位捕撈量所得的利潤（時），即得邊際利益.（2-33）式表明，最優(yōu)解在邊際損失被邊際得益平衡時取得.</p><p>　　2.3 捕撈過度模型</p>

65、<p>　　過度開發(fā)造成資源枯竭是可再生資源面臨的嚴(yán)重問題，人們盲目的追求自己眼前的利益，在很大程度上破壞了生態(tài)平衡，為了長久的利益，也為了生態(tài)環(huán)境的平衡，我們研究一下捕魚過度的問題，以及如何防止這種現(xiàn)象的發(fā)生.</p><p>　　2.3.1 過度捕撈模型Ⅰ</p><p>　　我們討論達(dá)到最優(yōu)持續(xù)產(chǎn)量時，漁場中的魚量水平及可能出現(xiàn)的資源枯竭，在Ⅰ中假設(shè)捕撈費(fèi)用與漁場中的魚量

66、成反比，即：</p><p><b>　　(2-34)</b></p><p>　　即漁場中魚量越少，捕撈越困難，捕撈費(fèi)用越多.在捕撈量與成正比的情況下是不考慮折扣因子時單位捕撈過度的費(fèi)用.</p><p>　　將（2-34）和（2-27）代入(2-30)式，化簡后的到關(guān)于的二次方程</p><p><b>　

67、　(2-35)</b></p><p><b>　　方程的正根為</b></p><p><b>　　(2-36)</b></p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　(2-37)</b></p><

68、p>　　其中，是漁場魚量的最優(yōu)水平，是費(fèi)用—價格比（相對于）可以假設(shè)<1,是折扣因子與魚的固有增長率之比,稱為生物經(jīng)濟(jì)增長率,它們都是無量綱量.（2-36）式可以記做</p><p>　　可以看出最優(yōu)策略相對水平只依賴于兩個參數(shù)和</p><p>　　1．當(dāng)時，即時，.將（2-37）代入可知</p><p>　　2．變大時，遞減，當(dāng)時，</p>

69、;<p>　　3．若，即，則.如果又有即，則.表明當(dāng)捕撈費(fèi)用極低而實(shí)際利率（即折扣因子）很高時（與相比）將誘使經(jīng)營者“竭澤而漁”，轉(zhuǎn)而投資其它產(chǎn)業(yè).</p><p>　　2.3.2 捕撈過度模型Ⅱ</p><p>　　實(shí)際上費(fèi)用不會趨向零.時上敘模型的的假設(shè)也不合實(shí)際，因?yàn)榘凑者@個假設(shè)，當(dāng)時將導(dǎo)致，現(xiàn)在我們假設(shè)另一個捕撈費(fèi)用函數(shù)</p><p><

70、;b>　　(2-38)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　表示資源將要枯竭時單位捕撈量的費(fèi)用.</p><p><b>　　我們來看方程</b></p><p><b>　　看其是否有的解</b></p>&l

71、t;p><b>　　假設(shè)</b></p><p><b>　　(2-39)</b></p><p><b>　　(2-40)</b></p><p>　　將(2-27)式表示的代入(2-39)得</p><p><b>　　(2-41)</b><

72、;/p><p>　　是一條斜率大于零且的直線，如圖2-2</p><p><b>　　若及的表達(dá)式知</b></p><p>　　故存在使，且當(dāng)時；又因?yàn)?，，由(2-40)式可知</p><p><b>　　（）</b></p><p>　　，

73、 (2-42)</p><p><b>　　由此可畫出的示意圖</b></p><p><b>　　圖2-2</b></p><p>　　直線與曲線必相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程</p><p>　　的根，而，所以在最大效益下漁場的穩(wěn)定魚量恒大于零，即魚的售價小于最高成本則在最大效益下不會導(dǎo)致資

74、源枯竭.同樣可知若，且，則最大效益將導(dǎo)致資源枯竭.</p><p>　　這個結(jié)果表明，當(dāng)魚的售價較高（相對于成本），貸款實(shí)際利率較高（相對于魚的固有增長率）時，將誘使經(jīng)營者肆意捕撈，導(dǎo)致資源枯竭.</p><p><b>　　2.4 模型小結(jié)</b></p><p>　　論文中共涉及到三大模型，：產(chǎn)量模型、效益模型、過度模型，這三個模型，從不同

75、的角度，逐步完善了捕魚策略.從模型可以看出無論產(chǎn)量最大還是效益最大,都不一定是最好的,如果一味的追求效益,而導(dǎo)致資源的枯竭,那么無論效益有多大,都毫無用處,因?yàn)橘Y源的枯竭,意味著生態(tài)的失調(diào),這樣導(dǎo)致的可能是整個生物圈的癱瘓.所以,出海捕魚最重要的是維持生態(tài)平衡的基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)淖非笞畲笮б?</p><p>　　3 關(guān)于捕魚模型的展望</p><p>　　雖然漁業(yè)資源具有再生的特性，但是當(dāng)捕

76、撈量超過漁業(yè)資源的再生能力的時候，所面臨的狀況就是資源的逐漸枯竭甚至是物種的滅絕．很多國家目前存在的近海無魚可打的狀況，就是過量捕撈帶來的惡果，而不斷壯大的遠(yuǎn)洋捕撈能力，又將這種危機(jī)帶到了深海地區(qū)．我們希望建立更為完善的捕魚捕魚模型，來解決現(xiàn)在的魚荒問題.首先，出海捕魚涉及到公海捕魚時，應(yīng)該考慮各個國家的捕撈強(qiáng)度不同及利率不同等的問題，這樣可以不僅保持生態(tài)的基礎(chǔ)上各自獲得最大效益，還可以避免各國之間的糾紛；另外，由于不同魚的繁殖速度、成

77、長速度均有不同，針對這一特點(diǎn)可以對不同的魚類制定不同的捕撈策略。這樣我們就可以使海洋逐步恢復(fù)到原有的繁榮。</p><p><b>　　參 考 文 獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 姜啟源編，數(shù)學(xué)模型，第二版，北京，高等教育出版社.</p><p>　　[2] 韓中庚編,數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用， 解放軍信息大學(xué).</p>&l

78、t;p>　　[3] 阮炯編，差分方程和常微分方程，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系出版.</p><p>　　[4] 劉來福編，數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模，北京師范大學(xué)出版社.</p><p>　　[5] 張國權(quán)編，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)， 科學(xué)出版社.</p><p>　　[6] 白鳳山等編，數(shù)學(xué)建模，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.</p><p>　　[7] 王懷柔編, 常微分講

79、義，人民教育出版社.</p><p>　　[8] 潭永基編, 數(shù)學(xué)模型, 復(fù)旦大學(xué)出版社.</p><p>　　[9] 王能超編, 數(shù)值分析簡明教程, 高等教育出版社.</p><p>　　[10] 蔡常豐編，數(shù)學(xué)模型建模分析，北京科學(xué)出版社.</p><p>　　[11] 應(yīng)用社學(xué)學(xué)報, 中國數(shù)學(xué)會主辦出版.</p>&l

80、t;p>　　[12] R . Harberman:：mathematical Models . Prentice – Hall，Englewood Cliffs.</p><p>　　[13] Frederic Y.M.Wan:：mathematical Models and their analysis. Harper & Row ,Publisher，Inc. Now York.</p

81、><p>　　[14] WILLIAM F.LUCAS, 朱煜民譯,微分方程模型，國防科技大學(xué)出版社．</p><p>　　[15] Walter Rudin ，數(shù)學(xué)分析原理，機(jī)械出版社.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先感謝數(shù)理系所有領(lǐng)導(dǎo)和老師四年來的關(guān)心和教導(dǎo)，讓我不僅在學(xué)業(yè)上獲