計(jì)算物理與matlab課程設(shè)計(jì)

1、<p>　　課 程 設(shè) 計(jì)</p><p>　　2007年 3 月 11 日</p><p>　　2012年3 月 9 日</p><p><b>　　課程設(shè)計(jì)任務(wù)書</b></p><p>　　課程 計(jì)算物理與MATLAB課程設(shè)計(jì)</p><p>　　題目 水星近

2、日點(diǎn)運(yùn)動的MATLAB仿真</p><p>　　專業(yè) 姓名 學(xué)號 </p><p>　　主要內(nèi)容、基本要求、主要參考資料等</p><p><b>　　主要內(nèi)容：</b></p><p>　　研究水星近日點(diǎn)的進(jìn)動。由于廣義相對論對萬有引力定律的修正，引

3、起水星運(yùn)動軌道的進(jìn)動，水星的空間軌道不再是閉合的橢圓軌道。廣義相對論對萬有引力的修正可以歸結(jié)為在原來的運(yùn)動方程中增加一個(gè)小的修正項(xiàng)，其中是小量，G為萬有引力常量，m0為太陽質(zhì)量，m為水星質(zhì)量，c為真空中的光速，h為水星掠面速度的兩倍。</p><p><b>　　基本要求：</b></p><p>　　畫出水星運(yùn)動軌道。驗(yàn)證只要質(zhì)點(diǎn)在有心力場中所受的力與平方反比引力有

4、微小偏離，其軌道就不是閉合的橢圓，從而證明廣義相對論對萬有引力定律的修正將引起橢圓軌道的進(jìn)動。</p><p><b>　　主要參考資料：</b></p><p>　　[1] Steven E. Koonin, 秦克誠譯. 計(jì)算物理學(xué). 北京：高等教育出版社，1993. </p><p>　　[2] 馬文淦等. 計(jì)算物理學(xué). 合肥：中國科學(xué)技術(shù)

5、大學(xué)出版社，1992. </p><p>　　[3] 張志涌. 精通MATLAB6.5. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003.</p><p>　　完成期限 2012年3月9日 </p><p>　　指導(dǎo)教師 </p><p>　　專業(yè)負(fù)責(zé)人

6、 </p><p>　　2012年 2 月 23 日</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　第1章 概述4</b></p><p>　　第2章 水星近日運(yùn)動5</p><p><b>　　2.1水星運(yùn)動5</b>

7、</p><p>　　2.2水星近日運(yùn)動6</p><p>　　2.2.1近日點(diǎn)概念6</p><p>　　2.2.2水星近日點(diǎn)位置6</p><p>　　第3章 廣義相對論修正水星近日軌道8</p><p>　　3.1相對論解釋水星近日現(xiàn)象8</p><p>　　3.2相對論修正近日

8、點(diǎn)軌道推導(dǎo)8</p><p><b>　　第4章 總結(jié)11</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)12</b></p><p><b>　　附錄13</b></p><p>　　附1畫水星繞太陽運(yùn)行的軌道曲線13</p><p>　　附2

9、求近日點(diǎn)位置13</p><p><b>　　第1章 概述</b></p><p>　　水星是距太陽最近的一顆行星，按牛頓的理論，它的運(yùn)行軌道應(yīng)當(dāng)是一個(gè)封閉的橢圓。實(shí)際上水星的軌道，每轉(zhuǎn)一圈它的長軸也略有轉(zhuǎn)動。長軸的轉(zhuǎn)動，稱為進(jìn)動。經(jīng)過觀察得到水星進(jìn)動的速率為每百年1°33′20〃，而天體力學(xué)家根據(jù)牛頓引力理論計(jì)算，水星進(jìn)動的速率為每百年1°32

10、′37〃。兩者之差為每百年43〃，這已在觀測精度不容許忽視的范圍了。</p><p>　　1859年，天文學(xué)家勒維利埃發(fā)現(xiàn)水星近日點(diǎn)進(jìn)動的觀測值，比根據(jù)牛頓定律計(jì)算的理論值每百年快38角秒。1882年，紐康姆經(jīng)過重新計(jì)算，得出水星近日點(diǎn)的多余進(jìn)動值為每百年快43角秒！他提出，有可能是水星因發(fā)出黃道光的彌散物質(zhì)使水星的運(yùn)動受到阻尼。1915年愛因斯坦在《用廣義相對論解釋水星近日點(diǎn)運(yùn)動》計(jì)算了水星近日點(diǎn)的剩余進(jìn)動。&

11、lt;/p><p>　　愛因斯坦1915年對水星的進(jìn)動,提出公式,解出水星一百年的進(jìn)動為 43”.許多人以此作為支持愛因斯坦的理論的最重要證據(jù)之一。</p><p>　　在牛頓力學(xué)里，行星自轉(zhuǎn)是不參與引力相互作用的。在牛頓的萬有引力公式中只有物體的質(zhì)量因子，而沒有自轉(zhuǎn)量，即太陽對行星的引力大小只與太陽和行星的質(zhì)量有關(guān)，而與它們的自轉(zhuǎn)快慢無關(guān)。</p><p>　　但是，

12、在廣義相對論里，引力不僅與物體的質(zhì)量因子有關(guān)，而且也與物體的自轉(zhuǎn)快慢有關(guān)。兩個(gè)沒有自轉(zhuǎn)的物體之間的引力與它們自轉(zhuǎn)起來之后的引力是不同的。這一效應(yīng)會引起自轉(zhuǎn)軸的進(jìn)動，行星在運(yùn)動過程中，它的自轉(zhuǎn)軸會慢慢變化。對于太陽系的行星來說這個(gè)效應(yīng)太小了，不易被察覺，更何況還有其他的因素也會造成行星自轉(zhuǎn)軸的變化。</p><p>　　根據(jù)愛因斯坦引力場方程計(jì)算得到的水星軌道近日點(diǎn)進(jìn)動的理論值與觀測值相當(dāng)符合。此外，后來觀測到的地

13、球、金星等行星近日點(diǎn)的進(jìn)動值也與廣義相對論的計(jì)算值吻合得相當(dāng)好。</p><p>　　第2章 水星近日運(yùn)動</p><p><b>　　2.1水星運(yùn)動</b></p><p>　　在一些時(shí)候，在水星的表面上的一些地方，在同一個(gè)水星日里，當(dāng)一個(gè)觀測者(在太陽升起時(shí))時(shí)觀測，可以看見太陽先上升，然后倒退最后落下，然后再一次的上升。這是因?yàn)榇蠹s四天的

14、近日點(diǎn)周期，水星軌道速度完全地等于它的自轉(zhuǎn)速度，以致于太陽的視運(yùn)動停止，在近日點(diǎn)時(shí)，水星的軌道速度超過自轉(zhuǎn)速度；因此，太陽看起來會逆行性運(yùn)動，在近日點(diǎn)后的四天, 太陽恢復(fù)正常的視運(yùn)動。 </p><p>　　直到1965年使用雷達(dá)觀測后，觀察數(shù)據(jù)否決了水星對太陽是潮汐固定的的想法：自轉(zhuǎn)使得所有時(shí)間里水星保持相同的一面對著太陽。水星軌速振諧為3:2 ,這就是說自轉(zhuǎn)三次的時(shí)間是圍繞太陽公轉(zhuǎn)兩次的時(shí)間；水星的軌道離心使

15、這個(gè)諧振持穩(wěn)。最初天文學(xué)家認(rèn)為它有被固定的潮汐是因?yàn)樗翘幱谧詈玫挠^測位置，它總是在 3:2 諧振中的相同時(shí)刻，展現(xiàn)出相同的一面，就如同它完全地被固定住一樣。水星的自轉(zhuǎn)比地球緩慢 59 倍。 </p><p>　　因?yàn)樗堑?3:2 的軌速比率， 一個(gè)恒星日 (自轉(zhuǎn)的周期) 大約是58.7個(gè)地球日，一個(gè)太陽日(太陽穿越兩次子午線之間的時(shí)間)大約是176個(gè)地球日。水星繞太陽運(yùn)行軌道若下圖所示：</p>

16、<p>　　圖2.1水星繞太陽運(yùn)行軌道曲線</p><p><b>　　2.2水星近日運(yùn)動</b></p><p>　　2.2.1近日點(diǎn)概念</p><p>　　地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道是一個(gè)橢圓，它的長直徑和短直徑相差不大，可近似為正圓。太陽就在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，而焦點(diǎn)是不在橢圓中心的，因此地球離太陽的距離，就有時(shí)會近一點(diǎn)，有時(shí)會

17、遠(yuǎn)一點(diǎn)。一月初，地球離太陽最近，為147100000公里，這一點(diǎn)叫做近日點(diǎn)。七月初地球離太陽最遠(yuǎn)，為152100000公里，這一點(diǎn)叫做遠(yuǎn)日點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)?shù)厍蛟诮拯c(diǎn)的時(shí)候，北半球?yàn)槎?，南半球?yàn)橄募?，在遠(yuǎn)日點(diǎn)的時(shí)候，北半球?yàn)橄募?，南半球?yàn)槎?。?dāng)太陽公轉(zhuǎn)速度較慢時(shí)，地球位于遠(yuǎn)日點(diǎn)，北半球?yàn)橄募尽?lt;/p><p>　　我國處于東亞季風(fēng)區(qū)內(nèi)，盛行風(fēng)向隨季節(jié)變化有很大差別，甚至相反。冬季大陸為冷高壓，海洋為暖低壓，風(fēng)從

18、大陸吹向海洋。夏季大陸為熱低壓，海洋為冷高壓，風(fēng)從海洋吹向大陸。</p><p>　　冬季盛行東北氣流，華北—東北為西北氣流。夏季盛行西南氣流。中國東部—日本還盛行東南氣流。</p><p>　　2.2.2水星近日點(diǎn)位置</p><p>　　由于水星的運(yùn)行滿足Kepler第二定律，</p><p><b>　　（2.1）</b

19、></p><p><b>　　從而可得</b></p><p><b>　　（2.2）</b></p><p>　　要求時(shí)相應(yīng)的和r則首先要解方程</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p><b>　　其中<

20、/b></p><p>　　在求出了時(shí)的后，立即可以由式</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p><b>　　得到相應(yīng)的r.</b></p><p>　　我們已知，當(dāng)時(shí)間從遠(yuǎn)日點(diǎn)開始的第50天結(jié)束時(shí)，意味著,從而</p><p><b>

21、;　?。?.5）</b></p><p><b>　　而由</b></p><p><b>　　（2.6）</b></p><p><b>　　得 </b></p><p>　　0.64891 （2.7

22、）</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　（2.8）</b></p><p><b>　　此時(shí)的距離r為</b></p><p><b>　?。?.9）</b></p><p>　　第3章 廣義相對論

23、修正水星近日軌道</p><p>　　3.1相對論解釋水星近日現(xiàn)象</p><p>　　依據(jù)牛頓萬有引力定律計(jì)算所得的水星近日點(diǎn)進(jìn)動理論值與實(shí)際觀測所得到的觀測值之間的差異所產(chǎn)生的分歧問題。1859年，法國天文學(xué)家U.J.J.勒威耶根據(jù)多次觀測發(fā)現(xiàn)所得到的水星近日點(diǎn)進(jìn)動值要比按照牛頓萬有引力定律計(jì)算所得的理論值每世紀(jì)快38秒出現(xiàn)水星近日點(diǎn)反常進(jìn)動他的這一發(fā)現(xiàn)引起了眾多天文學(xué)家的注意很多人對

24、這一問題進(jìn)行了研究和修正。進(jìn)一步測定水星近日點(diǎn)進(jìn)動的觀測值與理論值之差為每世紀(jì)43秒，于是有人懷疑牛頓萬有引力定律是否普遍適用。但長期得不到完滿的解釋。直至1915年A.愛因斯坦根據(jù)他創(chuàng)立的廣義相對論原理對水星近日點(diǎn)的進(jìn)動進(jìn)行了計(jì)算他的計(jì)算值與按照牛頓萬有引力定律計(jì)算得到的值之差值為每世紀(jì)43″03。這個(gè)值與觀測值十分接近，從而成功地解釋了水星近日點(diǎn)反常進(jìn)動。</p><p>　　在廣義相對論里，引力不僅與物體的

25、質(zhì)量因子有關(guān)，而且也與物體的自轉(zhuǎn)快慢有關(guān)。兩個(gè)沒有自轉(zhuǎn)的物體之間的引力與它們自轉(zhuǎn)起來之后的引力是不同的。這一效應(yīng)會引起自轉(zhuǎn)軸的進(jìn)動，行星在運(yùn)動過程中，它的自轉(zhuǎn)軸會慢慢變化。 因此水星旋進(jìn)是由水星的自轉(zhuǎn)引起的，水星自傳產(chǎn)生額外的引力，造成水星進(jìn)動。</p><p>　　圖3-1 水星近日點(diǎn)進(jìn)動模擬</p><p>　　3.2相對論修正近日點(diǎn)軌道推導(dǎo)</p><p>　

26、　兩物質(zhì)間存在的有心引力公式是</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p>　　式中：；是兩物質(zhì)間的作用距離。</p><p>　　若用平面極坐標(biāo)（、）表示物質(zhì)間的有心力公式，有</p><p><b>　　（3.2）</b></p><p>　　比較（3

27、.1）、（3.2）兩式知</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　對于繞太陽運(yùn)行的行星橢圓軌跡，有</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　其中和分別是橢圓軌跡的長半軸和短半軸長度。類似光線在引力作用下無彎曲情形的討論，應(yīng)有</p>

28、<p><b>　?。?.5）</b></p><p>　　把（3.5）式代入（3.4）式，就可得到</p><p><b>　　（3.6）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?.7）</b>&l

29、t;/p><p>　　是偏心率。把（3.6）式代入（3.3）式，就可導(dǎo)出在情形時(shí)，行星橢圓運(yùn)動軌跡方程是</p><p><b>　?。?.8）</b></p><p><b>　　也即有</b></p><p><b>　?。?.9）</b></p><p&g

30、t;　　解此方程，可得到水星運(yùn)行軌跡方程是</p><p><b>　　（3.10）</b></p><p>　　若水星運(yùn)行一閉合軌跡，則應(yīng)有</p><p><b>　?。?.11）</b></p><p><b>　　也就是有</b></p><p>

31、;<b>　?。?.12）</b></p><p>　　由此可知，兩個(gè)相鄰近日點(diǎn)方位角之差是</p><p><b>　　（3.13）</b></p><p>　　把（3.7）式和代入（3.13）式，就可得到我們熟悉的行星近日點(diǎn)進(jìn)動結(jié)果是</p><p><b>　?。?.14）</

32、b></p><p><b>　　第4章 總結(jié)</b></p><p>　　本次課程設(shè)計(jì)將計(jì)算物理學(xué)科與MATLAB工具聯(lián)合起來，不僅加強(qiáng)了計(jì)算物理學(xué)的理論研究，同時(shí)也鍛煉了我們運(yùn)用MATLAB工具進(jìn)行模擬和解決問題的能力。在解決水星近日運(yùn)動的問題過程中，我通過查找資料及老師的幫助下，進(jìn)一步了解了水星近日運(yùn)動圖形不是橢圓的原因。通過MATLAB仿真出水星近日點(diǎn)的

33、圖形，更加形象的展現(xiàn)了廣義相對論對行星軌道影響。</p><p>　　在實(shí)驗(yàn)過程中，碰到的剛開始MATLAB不能正常運(yùn)行的情況，經(jīng)過我們的進(jìn)一步檢查確認(rèn)了問題所在，及時(shí)改正，使程序正常運(yùn)行。通過這次實(shí)驗(yàn)我意識到要從現(xiàn)在開始養(yǎng)成細(xì)心的好習(xí)慣。這次實(shí)踐鍛煉了我的動手及查資料的能力。也體會到了成功帶來了的喜悅?？梢哉f是獲益非淺。</p><p>　　雖然我們通過動手實(shí)踐模擬了水星進(jìn)動的曲線圖形，

34、但是由于我們所學(xué)知識有限，并不能計(jì)算出準(zhǔn)確的進(jìn)動值。影響水星近日點(diǎn)進(jìn)動的因素很多，任何微小的變動都會影響到對廣義相對論的驗(yàn)證，因此，這個(gè)問題尚需要繼續(xù)研究。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Steven E. Koonin, 秦克誠譯. 計(jì)算物理學(xué). 北京：高等教育出版社，1993. </p><p>

35、　　[2] 馬文淦等. 計(jì)算物理學(xué). 合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992. </p><p>　　[3] 張志涌. 精通MATLAB6.5. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003.</p><p>　　[4] 周衍柏. 理論力學(xué)教程[M ]. 北京: 人民教育出版社, 1986. </p><p><b>　　附錄</b></p&g

36、t;<p>　　附1畫水星繞太陽運(yùn)行的軌道曲線</p><p><b>　　clear;clc</b></p><p>　　format short </p><p>　　p=5.5472e10;e=0.2055</p><p><b>　　h=0.01e7;</b></p>

37、;<p>　　theta=linspace(0,2*pi,100000);</p><p>　　r=p./(1-e*cos(theta));</p><p>　　x=r.*cos(theta);y=r.*sin(theta);</p><p>　　plot(x,y,'r')</p><p>　　text(0,0,

38、'\fontsize{10}太陽')</p><p>　　text(0.6982e11,0,'\fontsize{10}遠(yuǎn)日點(diǎn)')</p><p>　　text(-4.6078e10,0,'\fontsize{10}近日點(diǎn)')</p><p>　　hold on;plot(0,0,'r.','M

39、arkerSize',20);</p><p>　　hold on;plot(0.6982e11,0,'b.','MarkerSize',15);</p><p>　　hold on;plot(-4.6078e010,0,'b.','MarkerSize',15);</p><p>　　titl

40、e('\fontsize{10}水星繞太陽運(yùn)行的軌道曲線')</p><p><b>　　附2求近日點(diǎn)位置</b></p><p>　　function y1=Q(r)</p><p>　　c1=2.7132e15;</p><p>　　M=1.989e30;</p><p>　　

41、G=6.672e-11;</p><p>　　y1=c1^2./(r.^3)-M*G./(r.^2);</p><p>　　function y2=R(q)</p><p><b>　　y2=q;</b></p><p>　　function y3=S(r)</p><p>　　c1=2.7132

42、e15;</p><p>　　y3=c1./(r.^2);</p><p>　　clear;clc;</p><p>　　format short </p><p>　　h=[0.05e7,0.01e7,0.005e7,0.001e7];%h為步長</p><p>　　for i=1:4 </p><

43、;p>　　q=0;r(i)=0.6982e11;theta(i)=0;T=0;</p><p>　　while T<=50*24*3600</p><p>　　K1=Q(r(i)); L1=R(q);N1=S(r(i));</p><p>　　K2=Q(r(i)+h(i)/2*L1);L2=R(q+h(i)/2*K1);N2=S(r(i)+h(i)/2*

44、L1);</p><p>　　K3=Q(r(i)+h(i)/2*L2);L3=R(q+h(i)/2*K2);N3=S(r(i)+h(i)/2*L2);</p><p>　　K4=Q(r(i)+h(i)*L3);L4=R(q+h(i)*K3);N4=S(r(i)+h(i)*L3);</p><p><b>　　T=T+h(i);</b></

45、p><p>　　q=q+h(i)/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);</p><p>　　r(i)=r(i)+h(i)/6*(L1+2*L2+2*L3+L4);</p><p>　　theta(i)=theta(i)+h(i)/6*(N1+2*N2+2*N3+N4);</p><p><b>　　end;</b><

46、;/p><p><b>　　end</b></p><p>　　format long</p><p>　　disp('步長h對應(yīng)取值為h=0.05e7,0.01e7,0.005e7,0.001e7時(shí),')</p><p>　　disp('從遠(yuǎn)日點(diǎn)開始的第50天結(jié)束時(shí)水星的位置（r,theta）為&#