畢業(yè)論文--基于ukf的非線性狀態(tài)估計(jì)問題研究

1、<h2>　　基于UKF的非線性狀態(tài)估計(jì)問題研究</h2><p><b>　　呂保強(qiáng)</b></p><p>　　（陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710062）</p><p>　　摘 要：介紹了卡爾曼濾波器的理論，UT (Unscented Transformation) 的基本思路與基本算法、以及UKF（Uns

2、cented Kalman Filtering）的理論分析和算法。針對(duì)非線性、高精度測(cè)量的環(huán)境，文中選用了一個(gè)雷達(dá)對(duì)目標(biāo)跟蹤的非線性估計(jì)的例子進(jìn)行研究, 并對(duì)UKF和EKF(Extended Kalman Filtering)兩種跟蹤算法進(jìn)行了仿真，比較了兩者在非線性狀態(tài)估計(jì)中的濾波性能和特點(diǎn)，結(jié)果表明：在強(qiáng)非線性高斯系統(tǒng),UKF的濾波精度要高于 EKF。</p><p>　　關(guān)鍵詞 : 卡爾曼濾波器; UT;

3、UKF；非線性；EKF</p><p><b>　　1 緒論</b></p><p><b>　　1.1 引言</b></p><p>　　在濾波器的發(fā)展過程中，早期的維納濾波器涉及到對(duì)不隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性的處理，即靜態(tài)處理。在這種信號(hào)處理過程中，有用信號(hào)和無用噪聲的統(tǒng)計(jì)特性可與它們的頻率特性聯(lián)系起來，因此與經(jīng)典濾波器

4、在概念上還有一定的聯(lián)系。</p><p>　　維納濾波采用頻域設(shè)計(jì)法，運(yùn)算復(fù)雜，解析求解困難，整批數(shù)據(jù)處理要求存儲(chǔ)空間大，造成其適用范圍極其有限，僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)過程信號(hào)濾波。維納濾波的缺陷促使人們尋求時(shí)域內(nèi)直接設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波器的新方法，其中美國(guó)學(xué)者R.E.Kalman的研究最具代表性。1960年，R.E.Kalman提出了離散系統(tǒng)的Kalman濾波;次年，他又與布西 (R.5Bucy)合作，把這一濾波方法推廣

5、到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，從而形成Kalman濾波估計(jì)理論［1］。與維納濾波不同，卡爾曼濾波是對(duì)時(shí)變統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行處理，他不是從頻域，而是從時(shí)域的角度出發(fā)來考慮問題。</p><p>　　卡爾曼濾波是屬于現(xiàn)代濾波技術(shù)的一種狀態(tài)估計(jì)手段，本質(zhì)上來講濾波就是一個(gè)信號(hào)處理與變換，去除或減弱不想要的成分，增強(qiáng)所需成分的過程，這個(gè)過程既可以通過硬件來實(shí)現(xiàn)，也可以通過軟件來實(shí)現(xiàn)?？柭鼮V波屬于一種軟件濾波方法，其基本思想是以最小均方誤

6、差為最佳估計(jì)準(zhǔn)則，采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值，根據(jù)該算法建立的系統(tǒng)方程和觀測(cè)方程對(duì)需要處理的信號(hào)做出滿足最小均方誤差的估計(jì)。</p><p>　　目前，卡爾曼濾波理論廣泛應(yīng)用于航空航天、導(dǎo)航定位、目標(biāo)跟蹤、控制等各種領(lǐng)域。由于實(shí)際系統(tǒng)大多數(shù)是非線性系統(tǒng)，而最初提出的卡爾曼濾波算法僅適用于線性觀測(cè)的線性系統(tǒng)。為了解決這一問題，人們

7、開始研究把卡爾曼濾波器應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中，為此Bucy等人提出了非線性條件下的EKF (Extended Kalman Filtering) ［2］。應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的EKF算法對(duì)于非線性的系統(tǒng)方程或觀測(cè)方程進(jìn)行泰勒展開，并取其一階近似項(xiàng)。這樣做之后，不可避免地引入了線性化誤差，當(dāng)線性化假設(shè)不成立時(shí)，采用這種算法會(huì)導(dǎo)致濾波器性能下降甚至造成發(fā)散。另外，在一般情況下計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程的Jacobian矩陣或Hessians矩陣是很

8、困難的，增加了算法的計(jì)算復(fù)雜度。為了解決EKF中存在的問題。Julier和Ohlmann提出了一種新的適合于非線性系統(tǒng)的濾波器UKF [3]。UKF是針對(duì)非線性系統(tǒng)的一種改進(jìn)型卡爾曼濾波器。UKF處理非線性系統(tǒng)的基本思路在于無味變換，而無味變換從根本上講是一種描述高斯隨機(jī)變量在非線性化變換后的概率分布情況的方法。UKF認(rèn)為，與其將一個(gè)非線性化變換線性化、近似化，還不如將高斯</p><p>　　準(zhǔn)確的、穩(wěn)定的、高

9、精度的卡爾曼濾波器，是獲取系統(tǒng)狀態(tài)以及各種信息的必要條件。然而由于種種原因，正如前面所說，一般的UKF濾波器在復(fù)雜多變的環(huán)境中，現(xiàn)有的卡爾曼濾波器難以起到良好的效果。為了能夠在各種復(fù)雜環(huán)境下，使得傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器的應(yīng)用領(lǐng)域得到延伸，人們對(duì)傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器做出了許多改進(jìn)。高精度、高穩(wěn)定性的卡爾曼濾波器是實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)之一，因此提高UKF濾波器的精確性、跟蹤能力具有重要意義。</p><p>　　

10、1.2本文的主要研究?jī)?nèi)容及結(jié)構(gòu)</p><p>　　本文主要針對(duì)UKF的基礎(chǔ)理論及其在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用做了一些研究。在介紹UKF論的基礎(chǔ)上，對(duì)其在跟蹤目標(biāo)等方面的濾波性能進(jìn)行了有益的研究。各小節(jié)的主要內(nèi)容安排如下:</p><p>　　論文的主要研究?jī)?nèi)容如下：</p><p>　　第一部分簡(jiǎn)述了估計(jì)理論及卡爾曼濾波理論的提出、發(fā)展及應(yīng)用，以及無味變換的提出及發(fā)展過程

11、。</p><p>　　第二部分主要介紹UKF基礎(chǔ)理論，依次講述了隨機(jī)非線性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論，并給出了擴(kuò)展卡爾曼濾波器的數(shù)學(xué)模型，接著詳細(xì)介紹了UT (Unscented Transformation)的理論和算法分析，并在此基礎(chǔ)上詳細(xì)推導(dǎo)了UKF基本方程。</p><p>　　第三部分對(duì)卡爾曼濾波技術(shù)在目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用課題進(jìn)行了研究。一方面，利用卡爾曼濾波良好的跟蹤性能，實(shí)現(xiàn)了對(duì)

12、目標(biāo)位置的狀態(tài)估計(jì);另一方面，從分析UKF和EKF的對(duì)目標(biāo)跟蹤性能的研究，進(jìn)一步歸納和分析了UKF對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的性能和濾波特點(diǎn)。</p><p>　　第四部分在前文研究的基礎(chǔ)上對(duì)全文內(nèi)容作了總結(jié)。</p><p>　　2 UKF的基本思想及理論研究</p><p>　　2.1 非線性狀態(tài)估計(jì)原理</p><p>　　如果對(duì)非線性系統(tǒng)

13、不作任何假設(shè)，那么最小均方誤差意義上的最優(yōu)估計(jì)為條件均值[3]</p><p><b>　　（2-1） </b></p><p>　　其中是n時(shí)刻以前的觀測(cè)序列。估計(jì)這個(gè)期望值需要知道先驗(yàn)概率密度。由它不僅能夠確定最小均方誤差估計(jì)器，而且不論任何特定的性</p><p>　　能估計(jì)都能得到最優(yōu)值。而對(duì)非線性狀態(tài)濾波過程的實(shí)現(xiàn)包括一步預(yù)測(cè)與測(cè)量

14、修正兩個(gè)階段。</p><p>　　2.1.1一步預(yù)測(cè)：</p><p>　　根據(jù)所有過去時(shí)刻的測(cè)量信息對(duì)狀態(tài)作最小方差估計(jì) （2-2） </p><p>　　狀態(tài)估計(jì)質(zhì)量的優(yōu)劣利用一步預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣描述 </p><p>&l

15、t;b>　?。?-3）</b></p><p>　　2.1.2測(cè)量修正：</p><p>　　獲得當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量信息后，對(duì)狀態(tài)預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，得到狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì) </p><p><b>　?。?-4）</b></p><p><b>　　（2-5）</b></p>

16、<p>　?。?-6） </p><p><b>　?。?-7）</b></p&

17、gt;<p><b>　　（2-8）</b></p><p>　　描述最優(yōu)狀態(tài)估值質(zhì)量?jī)?yōu)劣的誤差協(xié)方差陣確定如下</p><p><b>　?。?-9）</b></p><p>　　2.2非線性的卡爾曼濾波 </p><p>　　卡爾曼濾波器估計(jì)一個(gè)用線性隨機(jī)差分方程描述的離散時(shí)間過程

18、的狀態(tài)變量。但是在實(shí)際的應(yīng)用中所有的系統(tǒng)都是非線性的，其中許多還是強(qiáng)非線性的，在非線性系中被估計(jì)的觀測(cè)變量與過程變量的關(guān)系是非線性的。這時(shí)我們可以應(yīng)用非線性估計(jì)領(lǐng)域的經(jīng)典算法EKF [4-5,15]來處理非線性的問題，它是將期望和方差線性化的卡爾曼濾波器。</p><p>　　考慮一般的非線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為:</p><p><b>　?。?-10a）</

19、b></p><p><b>　?。?-10b）</b></p><p>　　式中為維狀態(tài)向量，為維觀測(cè)向量，為維控制向量，為系統(tǒng)噪聲，且 ，為觀測(cè)噪聲，且。與相互獨(dú)立且與系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)，并且均可以假設(shè)為高斯白噪聲，即：均值為零，方差分別為和。</p><p>　　我們的目的就是要遞推地在每次獲得觀測(cè)量后, 估計(jì)狀態(tài)量。定義狀態(tài)量的一步預(yù)測(cè)

20、為，其它類推,則上述問題在線性最小均方誤差意義上的線性最優(yōu)估計(jì)子為:</p><p><b>　?。?-11）</b></p><p>　　其中最的最優(yōu)預(yù)測(cè)， 為的最優(yōu)預(yù)測(cè)，稱為卡爾曼濾波增益，卡爾曼濾波器使用來反映新息對(duì)估計(jì)的重要程度。完整的濾波公式如下所示：2.2.1擴(kuò)展卡爾曼濾波器時(shí)間更新方程：</p><p><b>　?。?

21、-12）</b></p><p><b>　　（2-13）</b></p><p>　　就像基本的離散卡爾曼濾波器，時(shí)間更新方程將狀態(tài)和協(xié)方差估計(jì)從 時(shí)刻向前推算到時(shí)刻。和是時(shí)刻的過程雅可比矩陣，是時(shí)刻的過程激勵(lì)噪聲協(xié)方差矩陣。</p><p>　　2.2.2擴(kuò)展卡爾曼濾波器狀態(tài)更新方程:</p><p>&

22、lt;b>　?。?-14）</b></p><p><b>　　（2-15）</b></p><p><b>　?。?-16）</b></p><p>　　就像基本的離散卡爾曼濾波器，上面三式中的測(cè)量更新方程利用觀測(cè)值變量的值校正狀態(tài)估計(jì)和協(xié)方差估計(jì)。和 是 時(shí)刻的測(cè)量雅可比矩陣，是中時(shí)刻的觀測(cè)噪聲協(xié)方差

23、矩陣。</p><p>　　2.2.3通過分析，EKF算法具有如下的優(yōu)點(diǎn)：</p><p>　　(1)未知分布的均值和協(xié)方差的獲得僅需要保存較少的信息量，但卻能支</p><p>　　持大多數(shù)的操作過程，如確定搜索目標(biāo)的區(qū)域等。</p><p>　　(2)均值和協(xié)方差具有線性傳遞性。</p><p>　　(3)均值和協(xié)

24、方差估計(jì)的集合能用來表征分布的附加特征，例如重要模式</p><p><b>　　等。</b></p><p>　　正是由于以上優(yōu)點(diǎn)，人們?nèi)匀幌Ｍ诜蔷€性濾波方法中應(yīng)用EKF線性估形式。同時(shí)，作為對(duì)非線性函數(shù)線性化所帶來的副作用，EKF濾波器的缺點(diǎn)也非常的明顯：</p><p>　　(1)必須滿足小擾動(dòng)假設(shè),即假設(shè)非線性方程的理論解與實(shí)際解之差

25、為小量。也就是說EKF只適合弱非線性系統(tǒng),對(duì)于強(qiáng)非線性系統(tǒng),該假設(shè)不成立,此時(shí)EKF濾波性能極不穩(wěn)定,甚至發(fā)散; </p><p>　　(2)必須計(jì)算Jacobian矩陣及其冪,這是一件計(jì)算復(fù)雜、極易出錯(cuò)的工作。</p><p>　　(3)EKF的另外一個(gè)缺點(diǎn)是初始狀態(tài)不太好確定，如果假設(shè)的初始狀態(tài)和初始協(xié)方差誤差較大，也容易導(dǎo)致濾波器發(fā)散。</p><p>　　2

26、.3 Uscented變換（UT）</p><p>　　卡爾曼濾波方法為非線性高斯濾波提供了一種次優(yōu)的遞推式實(shí)現(xiàn)方法，它在每一步的迭代過程中均需求出隨機(jī)分布經(jīng)過非線性變換(函數(shù))后的均值和方差，其中EKF濾波方法等非線性濾波器是采用近似非線性函數(shù)的方法來求得。有別于傳統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法。UT變換的主要思想是“近似概率分布要比近似非線性函數(shù)更容易”[6]，它采用具有確定性的點(diǎn)集Sigma點(diǎn)，來表征輸入狀態(tài)的分布(或部分

27、統(tǒng)計(jì)特征)，然后就是對(duì)每個(gè)Sigma點(diǎn)分別進(jìn)行非線性變換，通過加權(quán)計(jì)算捕捉到變換后的統(tǒng)計(jì)特性[7]，它的基本步驟可概括為: 關(guān)于 x 的 σ點(diǎn)( sigma- point) 集的產(chǎn)生→不確定性的非線性變換與傳遞→關(guān)于 y的統(tǒng)計(jì)特性的推算。這種方法把系統(tǒng)當(dāng)作“黑盒"來處理，因而不依賴于具體的非線性，也不必計(jì)算Jacobian矩陣。種方法的本質(zhì)，可以用圖2-1來表達(dá)：</p><p>　　圖2-1 siga

28、m點(diǎn)的非線性傳遞</p><p>　　2.3.1構(gòu)造Sigma點(diǎn)：</p><p>　　采用對(duì)稱采樣點(diǎn)策略時(shí)，其所選取的 Sigma點(diǎn)集關(guān)于 x 的均值對(duì)稱分布。對(duì)于均值，方差為 的n維隨機(jī)變量x，產(chǎn)生2n+1個(gè)列向量（sigma）為</p><p>　　， ，

29、 </p><p>　　， （2-17）</p><p>　　其中表示矩陣的第n行向量或者列向量, 而矩陣平方根的常見求法就是用 Cholesky [8-9]分解來獲得。為尺度參數(shù)，調(diào)整它可以提高逼近精度，用這組采樣點(diǎn) 可以近似表示狀態(tài) x 的高斯分布。</p><p>　　2.3.2對(duì)Si

30、gma點(diǎn)進(jìn)行非線性變換 </p><p>　　對(duì)所構(gòu)造的點(diǎn)集 進(jìn)行非線性變換，得到變換后的Sigma點(diǎn)集</p><p>　　i=0,1,……,2n （2-18）</p><p>　　變換后的Sigma點(diǎn)集 即可近似地表示的分布。</p><p>　　2.3.3計(jì)算y的均值和方差</p><p>　　

31、對(duì)變換后的Sigma點(diǎn)集 進(jìn)行加權(quán)處理，從而得到輸出量y 的均值和方差。</p><p><b>　?。?-19）</b></p><p><b>　?。?-20）</b></p><p><b>　　（2-21）</b></p><p><b>　?。?-22）&l

32、t;/b></p><p>　　,i=1,2……,2n （2-23）</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　其中和 分別為計(jì)算的均值和方差所用加權(quán)值 ，標(biāo)量是自由參數(shù)，可以用來捕捉給定分布的高階信息，對(duì)于高斯分布，考慮到4階距的統(tǒng)計(jì)量，通常的取值為?？梢宰C明，該Sigma點(diǎn)集的輸入變量x具有相同的均值，

33、方差和高階奇次中心距[10]。</p><p>　　在均值和方差加權(quán)中需要確定 ，和 共3個(gè)參數(shù)，它們的取值范圍分別為：確定 周圍Sigma點(diǎn)的分布，通常設(shè)為一個(gè)較小的正數(shù)；為第二個(gè)尺度參數(shù)，通常設(shè)置為0或3-n；為狀態(tài)分布參數(shù)，對(duì)于高斯分布 是最優(yōu)的，如果狀態(tài)變量是單變量，則最佳的選擇是。</p><p>　　2.3.4 UT變換的特點(diǎn)如下：</p><p>　　

34、（1）對(duì)非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，而不是對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行近似，即使系統(tǒng)的模型復(fù)雜，也不增加算法實(shí)現(xiàn)的難度。</p><p>　　（2）所得到的非線性函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確性可以達(dá)到三階（泰勒展開）。</p><p>　　（3）不需要計(jì)算Jacobin矩陣，可以處理不可導(dǎo)非線性函數(shù)。</p><p>　　2.4 UKF濾波算法</p><p&g

35、t;　　以上討論了在一次實(shí)現(xiàn)中如何用無味變換估計(jì)隨機(jī)量經(jīng)非線性映射后的統(tǒng)計(jì)特性, 但實(shí)際中更多的是要求能夠在線、實(shí)時(shí)、 反復(fù)地進(jìn)行估計(jì), 這就涉及到無味變換的遞推實(shí)現(xiàn)——無味濾波 ( UF, Unscented Filtering ) 。無味濾波的實(shí)現(xiàn)很簡(jiǎn)單,是將無味變換對(duì)隨機(jī)變量經(jīng)非線性映射后統(tǒng)計(jì)信息的估計(jì)嵌到其它的濾波算法中。雖然并不局限于卡爾曼濾波, 但與無味變換最常見的結(jié)合還是卡爾曼濾波, 并被稱為UKF。</p>

36、<p>　　UKF濾波方法對(duì)噪聲的處理包含擴(kuò)展和非擴(kuò)展兩種方式[15]，前者在系統(tǒng)模型不變的情況下，將過程噪聲和觀測(cè)噪聲隱含在系統(tǒng)中，一次迭代過程只需要產(chǎn)生一次Sigma點(diǎn)集，但運(yùn)算量明顯增大；而非擴(kuò)展法則可以簡(jiǎn)化Sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù)，濾波實(shí)時(shí)性更好，較適合于處理加性高斯噪聲[11-13]。本文主要采用非擴(kuò)展形式的UKF濾波算法，對(duì)于式(2-10)描述的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，假設(shè)其狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲均為高斯白噪聲，方差分別為和，則濾

37、波過程如下：</p><p><b>　　2.4.1初始化</b></p><p>　　根據(jù)輸入變量x的統(tǒng)計(jì)量和，選擇一種Sigma點(diǎn)采樣策略，得到輸入變量的Sigma點(diǎn)集，以及相對(duì)應(yīng)的均值加權(quán)值和方差加權(quán)值： </p><p><b>　　（2-24）</b></p><p>　　2.4.2 狀

38、態(tài)估計(jì)</p><p>　　(1)計(jì)算sigma點(diǎn)：</p><p>　　其中n為選定特定的采樣策略所產(chǎn)生的Sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中均值附近的Sigma點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離表達(dá)式將會(huì)隨著不同的采樣策略而不同：</p><p>　　i=0 （2-25）</p><p>　　i=1,2…,n （2-26）</p>

39、<p>　　i=n+1,…,2n （2-27）</p><p>　　(2)時(shí)間更新方程（預(yù)測(cè)方程）：</p><p>　　由系統(tǒng)狀態(tài)方程對(duì)各個(gè)采樣的輸入變量Sigma點(diǎn)集中的每一個(gè)Sigma點(diǎn)進(jìn)</p><p>　　行非線性變換，得到變換后的Sigma點(diǎn)集：</p><p><b>　　（2-28）</b&g

40、t;</p><p>　　對(duì)變換后的Sigma點(diǎn)集進(jìn)行加權(quán)處理，從而得到一步預(yù)測(cè)狀態(tài):</p><p><b>　?。?-29）</b></p><p>　　使用同樣的方法求取狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)方差陣：</p><p><b>　?。?-30）</b></p><p>　　根據(jù)一

41、步預(yù)測(cè)值，再次使用UT變換，產(chǎn)生新的Sigma點(diǎn)集： </p><p><b>　?。?-31）</b></p><p>　　, i=1,2…,n （2-32）</p><p>　　, i=n+1,…,2n （2-33）</p><p

42、>　　由非線性觀測(cè)方程對(duì)Sigma點(diǎn)集進(jìn)行非線性變換：</p><p><b>　?。?-34）</b></p><p>　　使用加權(quán)求和計(jì)算得到系統(tǒng)的預(yù)測(cè)觀測(cè)值：</p><p><b>　?。?-35）</b></p><p>　　(3)測(cè)量更新方程：</p><p&g

43、t;<b>　　計(jì)算協(xié)方差</b></p><p><b>　?。?-36）</b></p><p>　　求得系統(tǒng)量測(cè)輸出變量的方差陣：</p><p><b>　　（2-37）</b></p><p><b>　　計(jì)算濾波增益陣：</b></p&g

44、t;<p><b>　?。?-38）</b></p><p>　　得到狀態(tài)更新后的濾波值：</p><p><b>　?。?-39）</b></p><p>　　求解狀態(tài)后驗(yàn)方差陣：</p><p><b>　　（2-40）</b></p><

45、p>　　從以上實(shí)現(xiàn)過程可以清楚地看出，UKF濾波方法在式(2-29)、(2-30)、</p><p>　?。?-35）、(2-36)以及(2-37)這5個(gè)均值和方差的求解上，均通過UT變換方法加權(quán)求和得到；而2.2.2小節(jié)中的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法則是對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測(cè)方程進(jìn)行線性化求得，這便是兩者的最大不同。</p><p>　　基于該基本UKF濾波算法，還可以構(gòu)造平方根UKF濾波器(

46、Square Root</p><p>　　UKF，SRUKF)[6,14]，它可以有效避免濾波誤差方差陣和一步預(yù)報(bào)誤差方差陣失去對(duì)稱性和正定性，較好地解決了計(jì)算字長(zhǎng)不夠而導(dǎo)致的濾波器數(shù)值發(fā)散等問題。</p><p>　　2.4.3通過分析，UKF算法具有如下的特點(diǎn)：</p><p>　　(1) UKF是對(duì)非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，用一系列確定樣本來逼近狀態(tài)

47、的后驗(yàn)概率密度，而不是對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行近似，不需要求導(dǎo)計(jì)算Jacobian矩陣。</p><p>　?。?）UKF沒有線性化忽略高階項(xiàng)，因此非線性分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算精度較高</p><p>　?。?）系統(tǒng)函數(shù)可以不連續(xù)。</p><p>　?。?）隨機(jī)狀態(tài)可以不是高斯的。</p><p>　　3 UKF對(duì)目標(biāo)位置的狀態(tài)估計(jì)</p>

48、<p><b>　　3.1 問題提出</b></p><p>　　考慮一個(gè)在二維平面x-y內(nèi)運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)M，假設(shè)M在水平方向（x）作近似勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直方向（y）上亦作近似勻加速直線運(yùn)動(dòng)。首先，在直角坐標(biāo)系中建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，在仿真中，觀測(cè)站和目標(biāo)都用質(zhì)點(diǎn)表示。觀測(cè)站與目標(biāo)的相對(duì)位置關(guān)系如圖3-1所示：</p><p>　　圖 3-1目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型<

49、/p><p>　　則在笛卡爾坐標(biāo)系下該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為：</p><p><b>　　(3-1) </b></p><p>　　式中其在前兩個(gè)變量表示觀測(cè)站與目標(biāo)之間的位置，中間兩個(gè)變量表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，后面兩個(gè)變量表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度。是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲向量，系統(tǒng)矩陣如下:</p><p>　　假設(shè)一坐標(biāo)位置為（0,0）的

50、雷達(dá)在觀測(cè)站對(duì)M進(jìn)行測(cè)距和測(cè)角，實(shí)際測(cè)量中雷達(dá)具有加性測(cè)量噪，則在笛卡爾極坐標(biāo)系下，系統(tǒng)的觀測(cè)方程為：</p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　顯然在笛卡爾坐標(biāo)系下，該模型運(yùn)動(dòng)觀測(cè)方程為非線性的。我們根據(jù)雷達(dá)測(cè)量值使用UKF算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，并與EKF算法結(jié)果進(jìn)行比較。</p><p><b>　　3.2

51、 問題分析</b></p><p>　　3.2.1UKF濾波跟蹤分析：</p><p>　　考慮一般的非線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為：</p><p><b>　?。?-3a）</b></p><p><b>　?。?-3b）</b></p><p>　　

52、設(shè)具有協(xié)方差陣，具有協(xié)方差陣，UKF算法為（2-24）至（2-40）。</p><p>　　3.2.2 EKF算法分析：</p><p>　　對(duì)于式（2-10）討論的非線性系統(tǒng)，由于狀態(tài)方程為線性的，可以定義：</p><p><b>　?。?-4a）</b></p><p><b>　?。?-4b）</

53、b></p><p>　　由于系統(tǒng)狀態(tài)方程為線性的，則，而量測(cè)方程為非線性的，對(duì)其關(guān)于求偏導(dǎo)，則EKF算法為（2-12）至（2-16）。</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　3.3實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析</p><p>　　假設(shè)設(shè)系統(tǒng)噪聲具有協(xié)方差陣: </p><

54、;p>　　具有協(xié)方差陣: </p><p>　　二者是不相關(guān)。觀測(cè)次數(shù)N=50，采樣時(shí)間為t=0.5。初始狀態(tài)。則生成的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3-2所示。</p><p>　　圖3-2 M的軌跡圖</p><p>　　3.3.1 t=0.1和t=0.5時(shí)將UKF和EKF濾波結(jié)果進(jìn)行比較</p><p>　　我

55、們將UKF和EKF濾波算法進(jìn)行比較，如圖3-3所示。為了方便對(duì)比，我們將測(cè)量值得到的距離和角度換算到笛卡爾坐標(biāo)系中得到x-y測(cè)量值，通過分別比較值t=0.1和t=0.5時(shí)的濾波值，我們可以直觀的看到UKF算法濾波結(jié)果優(yōu)于EKF算法。</p><p>　　圖3-3 濾波結(jié)果對(duì)比圖</p><p>　　3.3.2下面定量分析濾波結(jié)果</p><p>　　首先計(jì)算UKF

56、和EKF濾波值得到的位置、與該時(shí)刻的實(shí)際位置的距離、。為了定量地比較 UKF和EKF性能,我們定義一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的均方根誤差[15]為:</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　其中,T 表示一次實(shí)驗(yàn)的時(shí)間步長(zhǎng), 表示時(shí)刻的估計(jì)值,表示時(shí)刻的真值。對(duì)該模型做50次蒙特卡洛仿真，得到各個(gè)測(cè)量點(diǎn)（時(shí)刻）的距離均方根誤差，如圖3-4所示。在各個(gè)測(cè)量

57、時(shí)刻EKF濾波的RMSE值為3.5,UKF濾波的RMSE值為2.5,由此得出UKF濾波結(jié)果優(yōu)于EKF。</p><p>　　圖3-4 t=0.5時(shí)各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的距離RMSE對(duì)比圖</p><p>　　3.3.3采樣間隔t對(duì)濾波結(jié)果的影響</p><p>　　下面討論不同的采樣間隔t對(duì)濾波結(jié)果的影響。我們分別取x軸方向和y軸方向預(yù)測(cè)軌跡值的距離均方根誤差，取t=0.5

58、,1.0,1.5，得到RMSE仿真結(jié)果。如下圖所示。</p><p>　　圖3-5 采樣時(shí)間t=0.5時(shí)結(jié)果</p><p>　　圖3-6 采樣時(shí)間t=1.0時(shí)結(jié)果</p><p>　　圖 3-7 采樣時(shí)間t=1.5時(shí)結(jié)果</p><p>　　從圖3-5可以看到，在采樣間隔t不太大時(shí)（t=0.5），EKF和UKF算法均能跟蹤目標(biāo)，且UKF

59、算法濾波精度優(yōu)于EKF算法。從圖3-6可以看到，當(dāng)t=1.0時(shí)在x方向，EKF和UKF算法均能跟蹤目標(biāo)，在y方向UKF能跟蹤目標(biāo)，而EKF算法濾波發(fā)散，在圖3-7中可以看到，當(dāng)t=1.5時(shí)UKF算法跟蹤精度變化不大，EKF濾波在x方向和y方向均發(fā)散。</p><p>　　3.3.4濾波協(xié)方差陣對(duì)角線比較</p><p>　　對(duì)于EKF和UKF算法，在不同的t時(shí)，我們分別取其濾波協(xié)方差陣對(duì)角

60、線的第二個(gè)元素（即y軸方向位置方差），作出位置方差變化圖如下。</p><p>　　圖3-8 不同采樣間隔的y方向位置濾波方差變化圖</p><p>　　出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因?yàn)楫?dāng)采樣間隔t增大時(shí)，非線性函數(shù)Taylor展開式的高階項(xiàng)無法忽略，EKF算法線性化（一階展開）使得系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差，導(dǎo)致了濾波的不穩(wěn)定。由于UKF算法可以精確到二階或者三階Taylor展開項(xiàng)，所以這種現(xiàn)象不明顯，但是

61、當(dāng)t進(jìn)一步增大，尤其是跟蹤目標(biāo)的狀態(tài)變化劇烈時(shí)，更高階項(xiàng)誤差影響不可忽略，進(jìn)而UKF算法也會(huì)發(fā)散導(dǎo)致無法跟蹤目標(biāo)。</p><p>　　3.3.5測(cè)量誤差對(duì)濾波結(jié)果的影響。</p><p>　　取采樣間隔不變，如t=0.5s，對(duì)于不同的測(cè)量誤差，分析其對(duì)EKF和UKF算法濾波結(jié)果的影響。分別取，結(jié)果如下:</p><p>　　圖8 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果</

62、p><p>　　圖3-9 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果</p><p>　　圖3-10 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果</p><p>　　由上面四張圖對(duì)比可知，當(dāng)測(cè)量誤差較小時(shí)，UKF濾波精度優(yōu)于EKF；當(dāng)測(cè)量誤差較大時(shí)，UKF和EKF濾波精度相差不大。</p><p>　　3.3.6實(shí)驗(yàn)分析和總結(jié)：</p><p>　　綜合以上分

63、析可以看到，UKF算法對(duì)于解決非線性模型濾波問題時(shí)，相對(duì)于EKF算法，它不需要計(jì)算雅克比矩陣，具有較好的濾波精度，而且在非線性嚴(yán)重或者高階誤差引入時(shí)，會(huì)推遲或延緩濾波發(fā)散，在測(cè)量誤差較大或者采樣時(shí)間增大時(shí)，也會(huì)降低UKF的濾波精度。同時(shí) UKF利用確定的離散采樣點(diǎn)直接逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度, 由于不需計(jì)算量測(cè)方程的Jacobian矩陣, 實(shí)現(xiàn)也相對(duì)簡(jiǎn)單。以上仿真表明：UKF濾波方法算法較之EKF算法在相同仿真條件下對(duì)狀態(tài)的估計(jì)更準(zhǔn)確，定

64、位精度更高，算法對(duì)非線性系統(tǒng)的適應(yīng)性更強(qiáng)。</p><p><b>　　4 總結(jié)</b></p><p>　　UKF是近年來興起的非線性濾波方法, 它是將無味變換對(duì)隨機(jī)量經(jīng)非線性映射后統(tǒng)計(jì)信息的估計(jì)嵌入到卡爾曼的濾波算法中。對(duì)于解決大部分問題，它是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的，因此它被廣泛應(yīng)用于非線性估計(jì)領(lǐng)域及系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)等領(lǐng)域。本論文圍繞UKF的基礎(chǔ)理論，對(duì)U

65、KF在非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)應(yīng)用展開了研究。現(xiàn)將本文所做工作總結(jié)如下</p><p>　　(1)回顧了卡爾曼濾波的理論基礎(chǔ)、發(fā)展過程及應(yīng)用前景，依次講述了隨機(jī)非線性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論，并給出了擴(kuò)展卡爾曼濾波器的數(shù)學(xué)模型，接著詳細(xì)介紹了UT (Unscented Transformation)的理論和算法分析，并在此基礎(chǔ)上介紹了UKF的基礎(chǔ)理論并詳細(xì)推導(dǎo)了UKF基本方程。</p><p>

66、;　　(2)針對(duì)一個(gè)強(qiáng)非線性、高斯的系統(tǒng)的跟蹤問題進(jìn)行仿真,將UKF和EKF兩種算法的跟蹤效果進(jìn)行比較，從理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果兩方面表明：UKF濾波方法算法較之EKF算法在相同仿真條件下對(duì)狀態(tài)的估計(jì)更準(zhǔn)確，定位精度更高，算法對(duì)非線性系統(tǒng)的適應(yīng)性更強(qiáng)。</p><p>　　(3) 由于研究時(shí)間比較短、水平有限，本文沒有從理論上深入研究UKF的建模問題和系統(tǒng)特性，也沒有對(duì)UKF的濾波算法進(jìn)行改進(jìn)，在今后的研究中，要改善

67、UKF算法，提高UKF濾波器的精確性、跟蹤能力。</p><p><b>　　[參考文獻(xiàn)]</b></p><p>　　[1]Julier S,Uhlmann J,Durrant-Whyte H F.A new methodfor the nonlinear transformation of means and covariancesin filter and es

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75、沈陽(yáng)工程學(xué)院學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版),2009,5(4):356-358.</p><p>　　UKF based on the problem of nonlinear state estimation research LvBaoQiang</p><p>　　(College of Physics and Information Technology Shanxi Normal Uni

76、versity Xi’an 710062 Shaanxi)</p><p>　　Abstract: This paper summarized the kalman filter theory, the basic idea of UT (the Unscented Transformation) and the basic algorithm, and the UKF (Unscented Kalman F

77、iltering) theoretical analysis and algorithms. Environment for non-linear, high-precision measurement, we selected a example of radar nonlinear estimation target tracking to study, UKF and EKF of tracking algorithm (Exte

78、nded Kalman Filtering) are used to simulation, Comparing the filter performance and characteristics of both the no</p><p>　　Key words: Kalman filter; UT; UKF ;Nonlinear ; EKF.</p><p><b>　　

79、致 謝</b></p><p>　　首先我要特別感謝我的論文指導(dǎo)老師葛寶對(duì)我的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求。葛老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、循循善誘的教導(dǎo)、淵博的學(xué)識(shí)讓我受益匪淺。葛老師給我的精心指導(dǎo)，不僅使得我的理論水平有了很大的提高，同時(shí)還讓我學(xué)到了許多為人治學(xué)的道理，在此謹(jǐn)向葛老師致以誠(chéng)摯的謝意。</p><p>　　在學(xué)習(xí)和做論文期間，許多學(xué)術(shù)上的疑問都得到了李太華老師的細(xì)心回答和&

80、lt;/p><p>　　啟發(fā)，李老師對(duì)于本文的修改提出了許多寶貴的意見和建議，使文章增色不少，在此對(duì)李老師表示最誠(chéng)摯的謝意。</p><p>　　我對(duì)盛旺，王文杰 ，張利衛(wèi)，蔣先耀,高峰等同學(xué)們給予的支持和幫助表示最衷心的謝意。</p><p>　　同時(shí)我要感謝的我母校和大學(xué)四年中所有的老師，正是有你們的淳淳教導(dǎo)，使我們?cè)诖髮W(xué)四年中打下了堅(jiān)實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，這些知識(shí)將會(huì)